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初三一轮复习平行四边形矩形菱形正方形学案
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这是一份初三一轮复习平行四边形矩形菱形正方形学案，共26页。学案主要包含了四边形的内角和定理及外角和定理，矩形，菱形，正方形，梯形等内容，欢迎下载使用。
平行四边形，矩形，菱形，正方形复习
温习理解
一、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
二、 平行四边形
1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
三、矩形
1、矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
四、菱形
1、菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
五、正方形
1、正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
六、梯形
1、梯形的相关概念：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（2）等腰梯形的对角线相等。
（3）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
3、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
【典例分类】
类型一：平行四边形
1. （2018·浙江宁波·4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2. （2018四川省泸州市3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
3. （2018·浙江省台州·4分）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B．1 C． D．
4. 如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．
5. （2018•山东淄博•4分）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于 ．
6.（2018•株洲市•3分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.
7. （2018•湖北恩施•8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．
求证：AD与BE互相平分．
8. (2018四川省眉山市15分 ) 如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.
类型二：矩形
1. （2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（ ）
A. AD=BC′ B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=
2. （2018·台湾·分）如图1的矩形ABCD中，有一点E在AD上，今以BE为折线将A点往右折，如图2所示，再作过A点且与CD垂直的直线，交CD于F点，如图3所示，若AB=6，BC=13，∠BEA=60°，则图3中AF的长度为何？（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
3. （2018•莱芜•3分）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：
①AE=BC；②AF=CF；③BF2=FG•FC；④EG•AE=BG•AB
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 已知正方形ABCD边长为2，E是BC边上一点，将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，则BE的长等于 ．
5. 如图，面积为8的矩形ABOC的边OB、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A在双曲线y=的图象上，且AC=2．
（1）求k值；
（2）矩形BDEF，BD在x轴的正半轴上，F在AB上，且BD=OC，BF=OB．双曲线交DE于M点，交EF于N点，求△MEN的面积．
6. （2017.江苏宿迁）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．
（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；
（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；
（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．
类型三：菱形
1. （2018·湖北省孝感·3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．52 B．48 C．40 D．20
2. （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
3. （2018年江苏省宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（ ）。
A. B. 2 C. D. 4
4. （2018·广东·3分）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
5. （2018•湖北荆门•3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC的中点E，若菱形OACD的边长为3，则k的值为 ．
6. （2018·四川自贡·4分）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 菱 形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．
7. （2018·湖北省宜昌·8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．
8. （2018•江苏盐城•10分）在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 、 满足 ，连接 、 、 、 ，如图所示.
（1）求证： ；
（2）试判断四边形 的形状，并说明理由.
9. （2018·山东泰安·11分）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
类型四：正方形
1. （2017贵州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（ ）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
2. （2017山东泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（ ）
A．18 B． C． D．
3. （2018·天津·3分）如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A. B. C. D.
4. （2017•新疆）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 3 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm2．
5. （2018·浙江舟山·6分）如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。
求证：矩形ABCD是正方形
6. （2018·山东潍坊·8分）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．
（1）求证：AE=BF；
（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．
7. （2018•株洲市）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN.
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND
(2)线段MN与线段AD相交于T，若AT=,求的值
参考答案：
【典例分类】
类型一：平行四边形
1. （2018·浙江宁波·4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
选：D
2. （2018四川省泸州市3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
选：B
3. （2018·浙江省台州·4分）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B．1 C． D．
选：B
4. 如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．
选B
5. （2018•山东淄博•4分）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于 ．
6.（2018•株洲市•3分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.
7. （2018•湖北恩施•8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．
求证：AD与BE互相平分．
【解答】证明：如图，连接BD，AE，
∵FB=CE，
∴BC=EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AD与BE互相平分．
8. (2018四川省眉山市15分 ) 如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.
【答案】（1）证明：∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
又∵M为BC中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，
∴∠ABC+∠MAB=90°,
∵AC⊥BD，
在Rt△CBE中，
∴∠ACB+∠EBC=90°,
∴∠MAB=∠EBC,
又∵MB=MN，AM⊥BC，
∴△NBM为等腰直角三角形，
∴∠MBN=∠MNB=45°,
∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°,
∵∠MAB=∠EBC,
∴∠NBE=∠ABN,
∴BN平分∠ABE.
（2）解：∵四边形DNBC为平行四边形，
设BM=CM=MN=a，则DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵
∴△ABN≌△DBN中（SAS），
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，
∵BD=1，AB=AC=BD，
∴AB=1，
∴AM2+BM2=AB2 ，
∴（2a+a）2+a2=1，
解得：a= .
∴BC=2a= .
（3）解证明：∵MB=MN，M为BC中点，
∴MN=MB= BC，
又∵F是AB的中点，AB=AC=BD，
在Rt△ABM中，
∴MF=AF=BF= AB= BD，
∴∠MAB=∠FMN,
由（1）知∠MAB=∠EBC,
∴∠FMN=∠EBC,
又∵ ,
∴△MFN∽△BDC.
类型二：矩形
1. （2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（ ）
A. AD=BC′ B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=
答案：C
2. （2018·台湾·分）如图1的矩形ABCD中，有一点E在AD上，今以BE为折线将A点往右折，如图2所示，再作过A点且与CD垂直的直线，交CD于F点，如图3所示，若AB=6，BC=13，∠BEA=60°，则图3中AF的长度为何？（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
答案：C
3. （2018•莱芜•3分）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：
①AE=BC；②AF=CF；③BF2=FG•FC；④EG•AE=BG•AB
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
4. 已知正方形ABCD边长为2，E是BC边上一点，将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，则BE的长等于 4﹣2 ．
5. 如图，面积为8的矩形ABOC的边OB、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A在双曲线y=的图象上，且AC=2．
（1）求k值；
（2）矩形BDEF，BD在x轴的正半轴上，F在AB上，且BD=OC，BF=OB．双曲线交DE于M点，交EF于N点，求△MEN的面积．
【解答】解：（1）∵矩形ABOC的面积为8，AC=2，
∴OC=AB=8÷2=4，AC=OB=2，
∴A点的坐标为（2，4），
∵点A在双曲线y=的图象上，
∴代入得：k=8；
（2）由（1）知：反比例函数的解析式为y=，
∵BD=OC，BF=OB，OC=4，OB=2，
又∵四边形BDEF是矩形，
6. （2017.江苏宿迁）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．
（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；
（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；
（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．
【解答】解：（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，
∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°，
∴∠B′AD=∠EDC′，
∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD=，
∴DB′==，
∴△ADB′′∽△DEC，
∴=，
∴=，
∴x=﹣2．
∴CE=﹣2．
（2）如图2中，
∵∠BAD=∠B′=∠D=90°，∠DAE=22.5°，
∴∠EAB=∠EAB′=67.5°，
∴∠B′AF=∠B′FA=45°，
∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°，
∴DF=FG，
在Rt△AB′F中，AB′=FB′=1，
∴AF=AB′=，
∴DF=DG=﹣，
∴S△DFG=（﹣）2=﹣．
（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，
在Rt△ADC中，∵tan∠DAC==，
∴∠DAC=30°，AC=2CD=2，
∵∠C′AD=∠DAC=30°，
∴∠CAC′=60°，
∴的长==π．
类型三：菱形
1. （2018·湖北省孝感·3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．52 B．48 C．40 D．20
答案 A
2. （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
故选：B
3. （2018年江苏省宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（ ）。
A. B. 2 C. D. 4
【答案】A
4. （2018·广东·3分）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
故选：B．
5. （2018•湖北荆门•3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC的中点E，若菱形OACD的边长为3，则k的值为 ．
故答案为：2．
6. （2018·四川自贡·4分）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 菱 形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．
7. （2018·湖北省宜昌·8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，
∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．
（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，
解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．
8. （2018•江苏盐城•10分）在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 、 满足 ，连接 、 、 、 ，如图所示.
（1）求证： ；
（2）试判断四边形 的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，则∠ABE=∠ADF=135°，又∵BE=DF，
∴△ABE≅△ADF。
（2）解：解：四边形AECF是菱形。理由如下：由（1）得∴△ABE≅△ADF，∴AE=AF。
在正方形ABCD中，CB=CD，∠CBD=∠CDB=45°，则∠CBE=∠CDF=135°，
双∵BE=DF，
∴△CBE≅△CDF。
∴CE=CF。
∵BE=BE，∠CBE=∠ABE=135°，CB=AB，
∴△CBE≅△ABE。
∴CE=AE，
∴CE=AE=AF=CF，
∴四边形AECF是菱形。
9. （2018·山东泰安·11分）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
【解答】解：（1）∵AF=FG，
∴∠FAG=∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG=∠FGA，
∴∠CAG=∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE=GD，∠GDE=∠GED，
∴∠CGE=∠GDE，
∴△ECG≌△GHD；
（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，
∴GC=GP，而AG=AG，
∴△CAG≌△PAG，
∴AC=AP，
由（1）可得EG=DG，
∴Rt△ECG≌Rt△GPD，
∴EC=PD，
∴AD=AP+PD=AC+EC；
（3）四边形AEGF是菱形，
证明：∵∠B=30°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=AD，
∴AE=AF=FG，
由（1）得AE∥FG，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形．
类型四：正方形
1. （2017贵州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（ ）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
选A．
2. （2017山东泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（ ）
A．18 B． C． D．
选B．
3. （2018·天津·3分）如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
B. B. C. D.
【答案】D
4. （2017•新疆）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 3 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 18 cm2．
5. （2018·浙江舟山·6分）如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。
求证：矩形ABCD是正方形
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°
∵△AEF是等边三角形
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，
又∠CEF=45°，
∴∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB=AD,
∴矩形ABCD是正方形。
6. （2018·山东潍坊·8分）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．
（1）求证：AE=BF；
（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=AD，∠BAD=90°，
∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，
∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠EAD，
在△ABF和△DEA中
，
∴△ABF≌△DEA（AAS），
∴BF=AE；
（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，
∵四边形ABED的面积为24，
∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），
∴EF=x﹣2=4，
在Rt△BEF中，BE==2，
∴sin∠EBF===．
7. （2018•株洲市）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN.
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND
(2)线段MN与线段AD相交于T，若AT=,求的值
解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°
∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．
（2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM
∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°
∴∠DAM=∠AND
∴ND∥AM
∴△DNT∽△AMT
∴
∵AT=AD，
∴
∵Rt△ABM
∴tan∠ABM=．
平行四边形，矩形，菱形，正方形复习
温习理解
一、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
二、 平行四边形
1、平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
三、矩形
1、矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
四、菱形
1、菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
五、正方形
1、正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
六、梯形
1、梯形的相关概念：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（2）等腰梯形的对角线相等。
（3）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
3、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
【典例分类】
类型一：平行四边形
1. （2018·浙江宁波·4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2. （2018四川省泸州市3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
3. （2018·浙江省台州·4分）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B．1 C． D．
4. 如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．
5. （2018•山东淄博•4分）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于 ．
6.（2018•株洲市•3分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.
7. （2018•湖北恩施•8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．
求证：AD与BE互相平分．
8. (2018四川省眉山市15分 ) 如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.
类型二：矩形
1. （2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（ ）
A. AD=BC′ B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=
2. （2018·台湾·分）如图1的矩形ABCD中，有一点E在AD上，今以BE为折线将A点往右折，如图2所示，再作过A点且与CD垂直的直线，交CD于F点，如图3所示，若AB=6，BC=13，∠BEA=60°，则图3中AF的长度为何？（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
3. （2018•莱芜•3分）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：
①AE=BC；②AF=CF；③BF2=FG•FC；④EG•AE=BG•AB
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 已知正方形ABCD边长为2，E是BC边上一点，将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，则BE的长等于 ．
5. 如图，面积为8的矩形ABOC的边OB、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A在双曲线y=的图象上，且AC=2．
（1）求k值；
（2）矩形BDEF，BD在x轴的正半轴上，F在AB上，且BD=OC，BF=OB．双曲线交DE于M点，交EF于N点，求△MEN的面积．
6. （2017.江苏宿迁）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．
（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；
（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；
（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．
类型三：菱形
1. （2018·湖北省孝感·3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．52 B．48 C．40 D．20
2. （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
3. （2018年江苏省宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（ ）。
A. B. 2 C. D. 4
4. （2018·广东·3分）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
5. （2018•湖北荆门•3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC的中点E，若菱形OACD的边长为3，则k的值为 ．
6. （2018·四川自贡·4分）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 菱 形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．
7. （2018·湖北省宜昌·8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．
8. （2018•江苏盐城•10分）在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 、 满足 ，连接 、 、 、 ，如图所示.
（1）求证： ；
（2）试判断四边形 的形状，并说明理由.
9. （2018·山东泰安·11分）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
类型四：正方形
1. （2017贵州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（ ）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
2. （2017山东泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（ ）
A．18 B． C． D．
3. （2018·天津·3分）如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A. B. C. D.
4. （2017•新疆）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 3 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 cm2．
5. （2018·浙江舟山·6分）如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。
求证：矩形ABCD是正方形
6. （2018·山东潍坊·8分）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．
（1）求证：AE=BF；
（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．
7. （2018•株洲市）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN.
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND
(2)线段MN与线段AD相交于T，若AT=,求的值
参考答案：
【典例分类】
类型一：平行四边形
1. （2018·浙江宁波·4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
选：D
2. （2018四川省泸州市3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
选：B
3. （2018·浙江省台州·4分）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B．1 C． D．
选：B
4. 如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．
选B
5. （2018•山东淄博•4分）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于 ．
6.（2018•株洲市•3分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.
7. （2018•湖北恩施•8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．
求证：AD与BE互相平分．
【解答】证明：如图，连接BD，AE，
∵FB=CE，
∴BC=EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AD与BE互相平分．
8. (2018四川省眉山市15分 ) 如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.
【答案】（1）证明：∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
又∵M为BC中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，
∴∠ABC+∠MAB=90°,
∵AC⊥BD，
在Rt△CBE中，
∴∠ACB+∠EBC=90°,
∴∠MAB=∠EBC,
又∵MB=MN，AM⊥BC，
∴△NBM为等腰直角三角形，
∴∠MBN=∠MNB=45°,
∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°,
∵∠MAB=∠EBC,
∴∠NBE=∠ABN,
∴BN平分∠ABE.
（2）解：∵四边形DNBC为平行四边形，
设BM=CM=MN=a，则DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵
∴△ABN≌△DBN中（SAS），
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，
∵BD=1，AB=AC=BD，
∴AB=1，
∴AM2+BM2=AB2 ，
∴（2a+a）2+a2=1，
解得：a= .
∴BC=2a= .
（3）解证明：∵MB=MN，M为BC中点，
∴MN=MB= BC，
又∵F是AB的中点，AB=AC=BD，
在Rt△ABM中，
∴MF=AF=BF= AB= BD，
∴∠MAB=∠FMN,
由（1）知∠MAB=∠EBC,
∴∠FMN=∠EBC,
又∵ ,
∴△MFN∽△BDC.
类型二：矩形
1. （2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（ ）
A. AD=BC′ B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=
答案：C
2. （2018·台湾·分）如图1的矩形ABCD中，有一点E在AD上，今以BE为折线将A点往右折，如图2所示，再作过A点且与CD垂直的直线，交CD于F点，如图3所示，若AB=6，BC=13，∠BEA=60°，则图3中AF的长度为何？（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
答案：C
3. （2018•莱芜•3分）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G．有以下结论：
①AE=BC；②AF=CF；③BF2=FG•FC；④EG•AE=BG•AB
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
4. 已知正方形ABCD边长为2，E是BC边上一点，将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，则BE的长等于 4﹣2 ．
5. 如图，面积为8的矩形ABOC的边OB、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A在双曲线y=的图象上，且AC=2．
（1）求k值；
（2）矩形BDEF，BD在x轴的正半轴上，F在AB上，且BD=OC，BF=OB．双曲线交DE于M点，交EF于N点，求△MEN的面积．
【解答】解：（1）∵矩形ABOC的面积为8，AC=2，
∴OC=AB=8÷2=4，AC=OB=2，
∴A点的坐标为（2，4），
∵点A在双曲线y=的图象上，
∴代入得：k=8；
（2）由（1）知：反比例函数的解析式为y=，
∵BD=OC，BF=OB，OC=4，OB=2，
又∵四边形BDEF是矩形，
6. （2017.江苏宿迁）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．
（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；
（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；
（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．
【解答】解：（1）如图1中，设CE=EC′=x，则DE=1﹣x，
∵∠ADB′+∠EDC′=90°，∠B′AD+∠ADB′=90°，
∴∠B′AD=∠EDC′，
∵∠B′=∠C′=90°，AB′=AB=1，AD=，
∴DB′==，
∴△ADB′′∽△DEC，
∴=，
∴=，
∴x=﹣2．
∴CE=﹣2．
（2）如图2中，
∵∠BAD=∠B′=∠D=90°，∠DAE=22.5°，
∴∠EAB=∠EAB′=67.5°，
∴∠B′AF=∠B′FA=45°，
∴∠DFG=∠AFB′=∠DGF=45°，
∴DF=FG，
在Rt△AB′F中，AB′=FB′=1，
∴AF=AB′=，
∴DF=DG=﹣，
∴S△DFG=（﹣）2=﹣．
（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，
在Rt△ADC中，∵tan∠DAC==，
∴∠DAC=30°，AC=2CD=2，
∵∠C′AD=∠DAC=30°，
∴∠CAC′=60°，
∴的长==π．
类型三：菱形
1. （2018·湖北省孝感·3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．52 B．48 C．40 D．20
答案 A
2. （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
故选：B
3. （2018年江苏省宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（ ）。
A. B. 2 C. D. 4
【答案】A
4. （2018·广东·3分）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
故选：B．
5. （2018•湖北荆门•3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC的中点E，若菱形OACD的边长为3，则k的值为 ．
故答案为：2．
6. （2018·四川自贡·4分）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 菱 形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．
7. （2018·湖北省宜昌·8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，
∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．
（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，
解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．
8. （2018•江苏盐城•10分）在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 、 满足 ，连接 、 、 、 ，如图所示.
（1）求证： ；
（2）试判断四边形 的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，则∠ABE=∠ADF=135°，又∵BE=DF，
∴△ABE≅△ADF。
（2）解：解：四边形AECF是菱形。理由如下：由（1）得∴△ABE≅△ADF，∴AE=AF。
在正方形ABCD中，CB=CD，∠CBD=∠CDB=45°，则∠CBE=∠CDF=135°，
双∵BE=DF，
∴△CBE≅△CDF。
∴CE=CF。
∵BE=BE，∠CBE=∠ABE=135°，CB=AB，
∴△CBE≅△ABE。
∴CE=AE，
∴CE=AE=AF=CF，
∴四边形AECF是菱形。
9. （2018·山东泰安·11分）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．
（1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
【解答】解：（1）∵AF=FG，
∴∠FAG=∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG=∠FGA，
∴∠CAG=∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE=GD，∠GDE=∠GED，
∴∠CGE=∠GDE，
∴△ECG≌△GHD；
（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，
∴GC=GP，而AG=AG，
∴△CAG≌△PAG，
∴AC=AP，
由（1）可得EG=DG，
∴Rt△ECG≌Rt△GPD，
∴EC=PD，
∴AD=AP+PD=AC+EC；
（3）四边形AEGF是菱形，
证明：∵∠B=30°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=AD，
∴AE=AF=FG，
由（1）得AE∥FG，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形．
类型四：正方形
1. （2017贵州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（ ）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
选A．
2. （2017山东泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（ ）
A．18 B． C． D．
选B．
3. （2018·天津·3分）如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
B. B. C. D.
【答案】D
4. （2017•新疆）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 3 s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是 18 cm2．
5. （2018·浙江舟山·6分）如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。
求证：矩形ABCD是正方形
【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°
∵△AEF是等边三角形
∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60°，
又∠CEF=45°，
∴∠CFE=∠CEF=45°，
∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB=AD,
∴矩形ABCD是正方形。
6. （2018·山东潍坊·8分）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．
（1）求证：AE=BF；
（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=AD，∠BAD=90°，
∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，
∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠EAD，
在△ABF和△DEA中
，
∴△ABF≌△DEA（AAS），
∴BF=AE；
（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，
∵四边形ABED的面积为24，
∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），
∴EF=x﹣2=4，
在Rt△BEF中，BE==2，
∴sin∠EBF===．
7. （2018•株洲市）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN.
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND
(2)线段MN与线段AD相交于T，若AT=,求的值
解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°
∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．
（2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM
∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°
∴∠DAM=∠AND
∴ND∥AM
∴△DNT∽△AMT
∴
∵AT=AD，
∴
∵Rt△ABM
∴tan∠ABM=．
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