初一二元一次方程（中下）-无答案学案

二元一次方程（组）

【知识回顾】

1.二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2.二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

注意 ：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！ 　　也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。 　　

3.二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

①有一组解 如方程组x+y=5 ① 6x+13y=89② x= y= 为方程组的解 　

②有无数组解 　　如方程组x+y=6① 2x+2y=12  ② 因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 　　

③无解 　　如方程组x+y=4 ① 2x+2y=10 ②因为方程②化简后为 x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

5.一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 　　

消元的方法有两种： 　　

(1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

例：解方程组x+y=5    ① 　　

6x+13y=89 ② 　　

解：由①得 　　x=5-y③ 　　

把③带入②，得 　　6(5-y)+13y=89 　　y=　　

把y=带入③， x=5- 　　即x=　　∴x=　　

y= 为方程组的解 　　

基本思路：未知数由多变少。

消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

代入法解二元一次方程组的一般步骤：

1、  从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”

2、  将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。

3、  解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。

4、  把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”

5、  把x、y的值用｛联立起来即“联”

(2)加减消元法：像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 　　

例：解方程组x+y=9① 　　x-y=5② 　　

解：①+② 　2x=14 　　即 x=7 　　把x=7带入① 得7+y=9 　解得y=-2 　∴x=7 　y=-2 为方程组的解 　　

     用加减消元法解二元一次方程组的解

1.方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。

2.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。

3.解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”。

4.将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。

5.把求得的两个未知数的值用联立起来，即“联”。

注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。
6.教科书中没有的几种解法
(一)加减-代入混合使用的方法. 　　

例1,  13x+14y=41 (1) 　　

14x+13y=40 (2) 　　

解:(2)-(1)得 　　x-y=-1 　　x=y-1 (3) 　　

把(3)代入(1)得 　　13(y-1)+14y=41 　　13y-13+14y=41 　　27y=54 　　y=2 　　把y=2代入(3)得 　　x=1 　　所以:x=1, y=2 　　

特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元. 　　

(二)换元法 　　

例2.  (x+5)+(y-4)=8 　　 (x+5)-(y-4)=4 　　

令x+5=m,y-4=n 　　原方程可写为 　　m+n=8 　m-n=4 　　解得m=6, n=2 　　所以x+5=6,

y-4=2 　　所以x=1, y=6 　　

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。 　　

（三）另类换元 　　

例3.  x:y=1:4 　　5x+6y=29 　　

令x=t, y=4t 　方程2可写为：5t+6*4t=29 　　29t=29 　　t=1 　　所以x=1,y=4

7.三元一次方程组：如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组。举例如下：

8. 三元一次方程组解法：

主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程难解就用代入消元法，因题而异。

即三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程

9. 简单的三元一次方程组的解法步骤：

（1）思路:解三元一次方程组的基本思想仍是消元,其基本方法是代入法和加减法.

（2）步骤:①利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组；

　　②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值；

　　③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解。

灵活运用加减消元法,代入消元法解简单的三元一次方程组。

★重点★

一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组的解法

☆ 内容提要☆ 　　

二、 解方程的依据—等式性质 　　1．a=b←→a+c=b+c 　　2．a=b←→ac=bc (c≠0) 　　

三、 解法 　　

1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 　　系数化成1→解。 　　

2．二元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法 　　②加减法 　　

典例精讲

知识点一：二元一次方程的概念

例1：若是二元一次方程，则=        。

例2：已知下列方程，其中是二元一次方程的有（  ）

（1）2x-5=y    （2）x-4=3    （3）2xy=3

（4）2x+y+z=7  （5）5x+=2  （6）x+y=4

例3.给出两个问题：（1）两数之和为6，求这两个数？（2）两个房间共住6人，每个房间各住几人？这两问题的解的情况是     （    ）

A.都有无数解   B. 有只有唯一解

C.都有有限解   D.（1）无数解；（2）有限解

知识点二：二元一次方程组的概念

例4.下列方程组中，二元一次方程组有（   ）

（1）  （2） （3）

（4）  （5） （6）

例5.    已知：关于的方程组的值为         

 A、－1         B、         C、0            D、1

例6. 已知：与的和为零，则的值为              

A、7        B、5         C、3       D、1

知识点三：二元一次方程（组）的解

题型1：利用二元一次方程组的解求字母系数的值

例7.已知是方程的解，求的值.

题型2：代入消元法解二元一次方程组

例8.二元一次方程组的解中x与y互为相反数，求a的值.

题型3：加减消元法解二元一次方程组

例9.方程组的解是，被盖住的两个数分别为（   ）.

1. 5,1               B. 1,3            C. 2,3               D. 2,4

题型4：运用整体思想解二元一次方程组

例10：解方程

题型5：通过换元解二元一次方程组

例11：解方程组：

题型6：方程中的同解问题

例12：已知方程组与方程组有相同解，求的值.

题型7：运用二元一次方程组解开放创新型问题

例13：关于的方程组是否有解？若有，请写出方程的解；若没有，请说明理由.

巩固练习

1.以为解的二元一次方程组是（    ）

（1）  （2）  （3）  （4）

2.已知是二元一次方程ax+by+2=0的解，则2a+b-6=__________ 。

知识点四：三元一次方程（组）的解

题型一 灵活求解三元一次方程组

例14.解方程组：

题型二 用三元一次方程组解决同解问题

例15.已知关于的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值

巩固练习

一、选择题：

1．下列方程中，是二元一次方程的是（  ）

    A．3x－2y=4z     B．6xy+9=0     C．+4y=6     D．4x=

2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（  ）

    A．

3．二元一次方程5a－11b=21  （  ）

    A．有且只有一解    B．有无数解    C．无解         D．有且只有两解

4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（  ）

    A．

5．若│x－2│+（3y+2）2=0，则的值是（  ）

    A．－1        B．－2         C．－3        D．

6．方程组的解与x与y的值相等，则k等于（  ）

7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（  ）

    ①xy+2x－y=7；  ②4x+1=x－y；    ③+y=5； ④x=y；    ⑤x2－y2=2

    ⑥6x－2y        ⑦x+y+z=1        ⑧y（y－1）=2y2－y2+x

    A．1      B．2      C．3       D．4

二、填空题

8．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x为：x=________．

9．在二元一次方程－x+3y=2中，当x=4时，y=_______；当y=－1时，x=______．

10．若x3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．

11．已知是方程x－ky=1的解，那么k=_______．

12．已知│x－1│+（2y+1）2=0，且2x－ky=4，则k=_____．

13．二元一次方程x+y=5的正整数解有______________．

14．以为解的一个二元一次方程是_________．

15．已知的解，则m=_______，n=______．

16.若是方程的一个解，则的值为＿＿＿＿.

三、解答题

17.已知与都是方程的解，求的值.

18．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值．

19．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？

20.已知是二元一次方程3x-ky=5一个解，求k的值。

21．二元一次方程组的解x，y的值相等，求k．

22．已知x，y是有理数，且（│x│－1）2+（2y+1）2=0，则x－y的值是多少？

23．已知方程x+3y=5，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为．

24．方程组的解是否满足2x－y=8？满足2x－y=8的一对x，y的值是否是方程组的解？

25．（开放题）是否存在整数m，使关于x的方程2x+9=2－（m－2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值？你能求出相应的x的解吗？

26.小明和小华同时解方程组,小明看错了m，解得,小华看错了n，解得,你能知道原方程组正确的解吗？