初一下二元一次方程组的应用（中下）-无答案学案

一、教学目标

二、知识梳理

一、二元一次方程组

1. 二元一次方程 

含有两个未知数，并且两个未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母；

②有两个未知数——“二元”； 

③含有未知数的项的最高次数为1——“一次”． 

关于x、y的二元一次方程的一般形式：ax+by=c（a≠0，且b≠0）．

2、二元一次方程的解 

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解．在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示． 

如：方程x+y=2的一组解为，表明只有当x=1和y=1同时成立时，才能满足方程. 

一般的，二元一次方程都有无数组解，但如果确定了一个未知数的值，那么另一个未知数的值也就随之确定了．  

3、二元一次方程组 

由几个一次方程组成并且一共．．含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 特别地，

和也是二元一次方程组． 

4、二元一次方程组的解 

二元一次方程组中所有方程（一般为两个）的公共解叫做二元一次方程组的解． 注意： 

（1）二元一次方程组的解一定要写成联立的形式，如方程组的解是． 

（2）二元一次方程组的解必须同时满足所有方程，即将解代入方程组的每一个方程时，等号两边的值都相等．例如： 

因为能同时满足方程x+y=3、y-x=1，所以是方程组的解.

二、二元一次方程组的解

1、消元思想 

二元一次方程组中有两个未知数，如果能“消去”一个未知数，那么就能把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程． 

这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做“消元”．使用“消元法”减少未知数的个数，使多元方程组最终转化为一元方程，再逐步解出未知数的值．

 2、代入消元法 

1、代入消元法的概念 

将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法． 

2、用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 

①等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y），用另一个未知数（如x）的代数式表示出来，即将方程写成y=ax+b的形式； 

②代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出x的值； 

④回代：把求得的x的值代入y=ax+b的值，从而得出方程组的解； 

⑤把这个方程组的解写成的形式． 

3、加减消元法 

1、加减消元法的概念 

当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法． 

2、用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 

①变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等； 

②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 

③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； 

④回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；

⑤把这个方程组的解写成的形式．

三、二元一次方程组解决实际问题的基本步骤

1、审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系。（审题，寻找等量关系）

2、考虑如何根据等量关系设元，列出方程组。（设未知数，列方程组）

3、列出方程组并求解，得出答案。（解方程组）

4、检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意。（检验，答）

三、典例精讲

【作业精选】

1.甲、乙、丙、丁四人一起到冷饮店去买红豆与奶油两种棒冰.四人购买的数量及总价如表所示.其中有一人把总价算错了，则此人是(    )

  A.甲                B.乙              C.丙               D.丁

2.甲、乙两个药品仓库共存药品45吨，为共同抗击“非典”，现从甲仓库调出库存药品的60%，从乙仓库调出40%支援疫区.结果，乙仓库所余药品比甲仓库所余药品多3吨，那么甲、乙仓库原来所存药品分别为(    )

  A. 21吨、24吨                        B. 24吨、21吨

  C. 25吨、20吨                        D. 20吨、25吨

3.从地到地有一段上坡路和一段平路，如果车辆保持上坡每小时行驶30 km,平路每小时行驶50 km，下坡每小时行驶60 km，那么车辆从地到地需要36 min，从地到地需要21 min，问两地之间的坡路和平路各有多少km?若设两地之间的坡路为km，平路为km，根据题意可列方程组为(    )

  A.        B.      C.     D.

4.小明新买了一辆“和谐”牌自行车，说明书中关于轮胎的使用说明如下，小明看了说明书后，和爸爸讨论，则小明经过计算，得出这对轮胎能行驶的最长路程是(    )

  A.9.5千公里                           B. 9. 8千公里

  C.9.9千公里                           D. 10千公里

5.某快递公司有甲、乙两个仓库，各存有快件若干件，甲仓库发走80件后余下的快件数比乙仓库原有快件数的2倍少700件;乙仓库发走560件后剩余的快件数是甲仓库余下的快件数的还多210件，则甲、乙两个仓库原有快件的数量分别为           .

6.李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟;加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟.则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需（）             分钟.

7.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒长度之和为55 cm，此时木桶中水的深度是          cm.

8.如图1，在边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2.这个拼成的长方形的长为30，宽为20.则图2中Ⅱ部分的面积是          .

图1                   图2

9.小林在某商店购买商品共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品的数量和费用如表所示.

(1)小林以折扣价购买商品是第        次购物;

(2)求出商品的标价;

(3)若商品的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的?

10.一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3 520元;若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3 480元.问:

  (1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少元?

  (2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少?

  (3)若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店?请你帮助商店决策.[可用(1)(2)问的条件及结论]

11.在某条高速公路上依次排列着三个加油站，其中站到站的距离是120 km， 站到站的距离也是120 km.分别在两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后，同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往两个加油站驶去，结果往站驶来的团伙在1h后就被其中一辆迎面而来的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3h后才被另一辆巡逻车追赶上.则巡逻车和犯罪团伙车的速度各是多少?

12.某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器.(加工时接缝材料不计)

  (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片       张，正方形铁片       张;

  (2)现有长方形铁片2 014张，正方形铁片1 176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那么加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个?

  (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成与图1相同的长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板做成1个长方形铁片和2个正方形铁片.该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒?

知识点1  从图表中获取信息列二元一次方程组解决问题

1.如图所示的是由一个小长方形与52个边长为1的小正方形组成的大长方形，小长方形的长与宽之比是7:5，若设小长方形的长为，宽为，则根据题意可列方程组为(    )

  A.     B.     C.        D.

2.小林、小芳和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是       .

3.如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，且每个果冻的质量也相等，则每块巧克力和每个果冻的质量分别为(    )

A.10 g，40 g         B.15 g，35 g          C.20 g，30 g          D.30 g，20 g

4.根据图中的信息，求梅花鹿和长颈鹿现在的高度.

知识点2  行程问题

1. 两地相距80 km，一艘船从地出发，顺水航行4h到地;而从地出发，逆水航行5h到地.已知船顺水航行的速度为船在静水中航行的速度与水流速度的和，逆水航行的速度为船在静水中航行的速度与水流速度的差，求船在静水中的速度和水流速度.

2.甲、乙两地相距160 km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地以各自的速度匀速相向而行，h后相遇，相遇后，拖拉机以其原速度继续匀速前进，汽车在相遇处停留1h后掉头以其原速度匀速返回，在汽车再次出发0. 5 h后追上拖拉机，求这时汽车、拖拉机各自行驶的路程.

知识点3  和差倍分问题

1.父子二人并排竖直站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的李，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3. 4米.若设爸爸的身高为米，儿子的身高为米，则可列方程组为(    )

  A.       B.      C.     D.

2.某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产5%，小麦超产15%，该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨?

知识点4  计费问题

1.某城市规定:出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按路程(不足1千米按1千米计算)另收费.甲说:“我乘这种出租车行驶了11千米，付了20元.”乙说:“我乘这种出租车行驶了23千米，付了38元.”则这种出租车的起步价是        元，超过3千米后每千米收费        元。

2.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分.(水价计费=自来水销售费用+污水处

已知小王家2012年4月份用水20吨，缴水费66元;5月份用水25吨，缴水费91元.

(1)求的值;

(2)6月份小王家用水32吨，应缴水费多少元?

知识点5  销售问题

1.某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子.每件文化衫的批发价和零售价如下表:

假设文化衫全部售出，共获利1 860元，求黑白两种文化衫各多少件?

知识点6  工程问题

1.某市准备对一段长120 m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天;若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天.设甲工程队平均每天疏通河道m，乙工程队平均每天疏通河道m，则的值为(    )

A.20                 B.15             C.10               D.5

2.在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土.已知5辆甲种车和2辆乙种车一次共可运土64立方米，3辆甲种车和1辆乙种车一次共可运土36立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别可运土多少立方米.

知识点7   分配问题

1.用一根绳子测水泥柱一周的尺寸，若绳子绕水泥柱4周，则绳子还多3尺；若绳子绕水泥柱5周，则绳子还少2尺，求绳子及水泥柱一周的长度。

知识点8   调配问题

1.有一大群羊，其中一部分已上山，另一部分还在山下。如果山下的羊中有3只上了山，则山下的羊是整个羊群的；如果从山上下来3只羊，则山上、山下的羊就一样多了。问原来山上、山下各有羊多少只？

知识点9   配套问题

1.某车间有62名工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲零件12个或乙零件23个，应分配多少人生产甲零件，多少人生产乙零件，才能使每天生产的甲零件和乙零件刚好配套？（每3个甲零件和2个乙零件配成一套）

知识点10   年龄问题

1.已知仙鹤和乌龟是动物中的长寿星，一天鹤父、鹤女与龟祖、龟孙在聊天，它们发现鹤父的年龄是鹤女的2倍，龟祖的年龄是龟孙的5倍，它们四位的年龄和的3倍恰好是900岁。十年后，鹤父和鹤女之和的5倍，加上龟祖、龟孙的年龄也是900岁，试求它们分别是多少岁？

知识点11   数据问题

1.有一个三位数现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又已知百位数字的9倍比由十位数字和各位数字组成的两位数小3，试求原来的三位数。