数学必修 第一册4.4 对数函数当堂达标检测题

对数函数的图象和性质的应用(习题课)

[A级　基础巩固]

1．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)

A．0<k<1　　　　　　 B．0≤k<1

C．k≤0或k≥1  D．k＝0或k≥1

解析：选C　令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.

2．(多选)设集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝lg x}，则下列关系中不正确的有(　　)

A．A∪B＝B  B．A∩B＝∅

C．A＝B  D．A⊆B

解析：选BC　由题意知集合A＝{x|x>0}，B＝{y|y∈R}，所以A⊆B.

3．已知函数f(x)＝lg(x2＋1)，则(　　)

A．f(x)是偶函数

B．f(x)是奇函数

C．f(x)是R上的增函数

D．f(x)是R上的减函数

解析：选A　因为f(－x)＝lg[(－x)2＋1]＝lg(x2＋1)＝f(x)，且定义域为R，关于原点对称，所以f(x)是偶函数．故选A.

4．(2021·浙江杭州西湖区高一月考)若定义运算f(a⊗b)＝则函数f(log2(1＋x)⊗log2(1－x))的值域是(　　)

A．(－1，1)  B．[0，1)

C．[0，＋∞)  D．[0，1]

解析：选B　∵f(a⊗b)＝

∴y＝f(log2(1＋x)⊗log2(1－x))＝

当0≤x<1时，函数y＝log2(1＋x)，因为y＝log2(1＋x)在[0，1)上为增函数，所以y∈[0，1)．

当－1<x<0时，函数y＝log2(1－x)，因为y＝log2(1－x)在(－1，0)上为减函数，所以y∈(0，1)．

综上可得y∈[0，1)，

所以函数f(log2(1＋x)⊗log2(1－x))的值域为[0，1)，故选B.

5．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是(　　)

A.  B．(0，1]

C．(0，＋∞)  D．[1，＋∞)

解析：选D　f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．

6．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．

解析：若f(x)，g(x)均为增函数，

则即1<a<2；

若f(x)，g(x)均为减函数，则无解，故1<a<2.

答案：(1，2)

7．函数y＝log0.3(3－2x)在其定义域内是________函数(填“增”或“减”)．

解析：由3－2x>0，解得x<.设t＝3－2x，x∈.因为函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，所以函数y＝log0.3(3－2x)在上是增函数．

答案：增

8．已知函数f(x)＝|lg x|＋2，若实数a，b满足b>a>0，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．

解析：由f(x)的图象可知，0<a<1<b，

又f(a)＝f(b)，因此|lg a|＝|lg b|，于是lg a＝－lg b，则b＝，所以a＋2b＝a＋，

设g(a)＝a＋(0<a<1)．

因为g(a)在(0，1)上为减函数，所以g(a)>g(1)＝3，即a＋>3，所以a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．

答案：(3，＋∞)

9．设函数f(x)＝lg (a∈R)，且f(1)＝0.

(1)求a的值；

(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．

解：(1)函数f(x)＝lg (a∈R)，且f(1)＝0，

则f(1)＝lg ＝0.则＝1，解得a＝2.

(2)f(x)＝lg 在区间(0，＋∞)上单调递减．

证明：设0<x1<x2，f(x1)－f(x2)＝lg －lg ＝lg ＝lg(x2＋1)－lg(x1＋1)，

因为0<x1<x2，所以lg(x2＋1)>lg(x1＋1)，

即f(x1)>f(x2)，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

10．已知函数f(x)＝log2x.

(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；

(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值．

解：函数f(x)＝log2x的图象如图所示．

(1)∵f(x)＝log2x为增函数，f(a)>f(2)，

∴log2a>log22.

∴a>2，即a的取值范围是(2，＋∞)．

(2)∵2≤x≤14，

∴3≤2x－1≤27.

∴log23≤log2(2x－1)≤log227.

∴函数f(x)＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为log227.

[B级　综合运用]

11．若函数f(x)＝对任意x1≠x2，都有<0，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0，1)  B.

C.  D.

解析：选D　由条件知，分段函数f(x)在R上单调递减，

则

所以所以≤a<，故选D.

12．(多选)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　　)

A．f(4)＝－3

B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点

C．函数y＝f(x)的最小值为－4

D．函数y＝f(x)的最大值为4

解析：选ABC　A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．

13．已知函数y＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

解析：令u＝2－ax，则y＝logau，因为a＞0，所以u＝2－ax递减，由题意知y＝logau在[0，1]内递增，所以a＞1.又u＝2－ax在x∈[0，1]上恒大于0，所以2－a＞0，即a＜2，综上，1＜a＜2.

答案：(1，2)

14．已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1.

(1)求a的值；

(2)解不等式log(x－1)>log(a－x)；

(3)求函数g(x)＝|logax－1|的单调区间．

解：(1)∵loga3>loga2，∴a>1，

∴y＝logax在[a，2a]上为增函数，

∴loga(2a)－logaa＝loga2＝1，∴a＝2.

(2)依题意可知解得1<x<，

∴不等式的解集为.

(3)g(x)＝|log2x－1|，

∴当x＝2时，g(x)＝0，

则g(x)＝

∴函数g(x)在(0，2]上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，

∴g(x)的单调递减区间为(0，2]，单调递增区间为(2，＋∞)．

[C级　拓展探究]

15．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f(x)＝lg 为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：

①同学甲发现：函数f(x)的定义域为(－1，1)；

②同学乙发现：函数f(x)是偶函数；

③同学丙发现：对于任意的x∈(－1，1)都有f＝2f(x)；

④同学丁发现：对于任意的a，b∈(－1，1)，都有f(a)＋f(b)＝f；

⑤同学戊发现：对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足＞0.

其中所有正确研究成果的序号是__________．

解析：在①中，因为f(x)＝lg ，所以＞0，解得函数的定义域为(－1，1)，所以①是正确的；在②中，f(x)＝lg ＝－lg ＝－f(－x)，所以函数f(x)为奇函数，所以②是错误的；在③中，对于任意x∈(－1，1)，有f＝lg＝lg ＝lg ，又2f(x)＝2lg ＝lg ，所以③是正确的；在④中，对于任意的a，b∈(－1，1)，有f(a)＋f(b)＝lg ＋lg＝lg＝

lg，又f＝lg ＝lg，所以④是正确的；在⑤中，对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足＞0，即说明f(x)是单调递增函数，但f(x)＝lg ＝lg是减函数，所以⑤是错误的．综上可知，正确研究成果的序号为①③④.

答案：①③④