2022唐山高三下学期二模考试数学试题含答案

唐山市2022年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集，集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数z满足，则（）

A.  B.  C.  D. 2

3. 将函数图象向右平移个单位，可以得到（）

A. 图象 B. 的图象 C. 的图象 D. 的图象

4. 如图，圆锥的轴为PO，其底面直径和高均为2，过PO的中点作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则圆锥与所得圆柱的体积之比为（）

A.  B.  C.  D.

5. F为抛物线焦点，点在C上，直线MF交C的准线于点N，则（）

A.  B.  C. 5 D. 12

6. 已知实数x，y满足，则的最大值是（）

A.  B.  C. 6 D. 3

7. 已知函数，若，则x的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

8已知，函数，若，则（）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（）

A.  B.

C. 常数项是672 D. 展开式中所有项的系数和是-1

10. 小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：

基于以上统计信息，则（）

A. 骑车时间的中位数的估计值是22分钟

B. 骑车时间的众数的估计值是21分钟

C. 坐公交车时间的中位数的估计值是20分钟

D. 坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值

11. 双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，下列结论正确的是（）

A. 若，则

B. 当n过时，光由所经过的路程为13

C. 射线n所在直线的斜率为k，则

D. 若，直线PT与C相切，则

12. 如图，正方体中，顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，顶点，B，C到的距离分别为，1，2，则（）

A. 平面 B. 平面平面

C. 直线与所成角比直线与所成角大 D. 正方体的棱长为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 设向量，，若与共线，则实数______．

14. 若圆的圆心在直线上，则C的半径为______．

15. 已知数列满足，，则前5项和的最大值为______．

16. 若函数，，则的最小值为______；若，且，则的最小值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知等比数列满足，，．

（1）求的通项公式；

（2）记，，求数列的前n项和．

18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

（1）求A；

（2）若点D在BC边上，AD平分BAC，且，求的周长．

19. 如图，是边长为的等边三角形，E，F分别为AB，AC的中点，G是的中心，以EF为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且平面ABC．

（1）证明：；

（2）求平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值．

20. 目前，全国多数省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．注：甲、乙两名同学对选择性科目的选择是随机的．

（1）A省规定：选择性考试科目学生可以从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中任选3门参加选择性考试．求甲同学在选择物理科目的条件下，选择化学科目的概率；

（2）B省规定：3门选择性科目由学生首先从物理科目和历史科目中任选1门，再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中任选2门．

①求乙同学同时选择物理科目和化学科目概率；

②为调查学生的选科情况，从某校高二年级抽取了10名同学，其中有6名首选物理，4名首选历史．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查．将其中首选历史的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望．

21. 已知椭圆的右焦点为F，椭圆．

（1）求的离心率；

（2）如图：直线交椭圆于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．

①求证：；

②若，求面积的最大值．

22. 已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线l．

（1）求b的值以及l的方程；

（2）判断函数在上零点的个数，并说明理由．

【1题答案】

【答案】B

【2题答案】

【答案】C

【3题答案】

【答案】D

【4题答案】

【答案】D

【5题答案】

【答案】B

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】C

【8题答案】

【答案】B

【9题答案】

【答案】AD

【10题答案】

【答案】BCD

【11题答案】

【答案】CD

【12题答案】

【答案】BD

【13题答案】

【答案】-4

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】8

【16题答案】

【答案】    ①.     ②.

【17题答案】

【答案】（1）

（2）

【小问1】

解：因为等比数列满足，，设公比为，

所以，解得，

所以；

【小问2】

解：由（1）知，，

所以数列的前n项和.

【18题答案】

【答案】（1）

（2）

【小问1】

由正弦定理得，

在中，，

化简为，又，

，又

；

【小问2】

依题意得，

即，

由余弦定理得，

解得

的周长为.

【19题答案】

【小问1】

证明：连接，由为等边三角形，为的中点，所以，

由平面，平面，所以，

又，平面，所以平面，

又平面，所以；

【小问2】

解：依题意，，在中，，

以为坐标原点，以为轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，，由（1）可知，是平面的一个法向量，

设平面的法向量为，则，令，则，

所以，所以

所以平面PEF与平面PBF所成二面角的正弦值为；

【20题答案】

【小问1】

“选择物理”记作事件，“选择化学”为事件，则

，，则.

【小问2】

对于①，“选择物理”记作事件，“选择化学”记作事件，则

，

事件与事件相互独立，则；

对于②，随机变量可以取0，1，2，3.

，，

，，

随机变量的分布列为

.

【21题答案】

【答案】（1）

【小问1】

椭圆的标准方程为：，

则椭圆的离心率为

小问2】

对于①，设，，，，

直线与联立整理得

则

则的中点坐标

同理可知的中点坐标.

所以与中点重合，故.

对于②，由①知，直线被椭圆截得弦长为

把代入得，

把代入得，

到的距离为，

则面积为：

当时，的面积最大值是.

【22题答案】

【小问1】

依题意得：，.

，

，的方程：.

【小问2】

当时，，，此时无零点.

当时，

令

则，显然在上单调递增，

又，，所以存在使得，

因此可得时，，单调递减；

时，，单调递增；又，

所以存在，使得，

即时，，，单调递减；

时，，，单调递增；

又，，所以在上有一个零点.

综上，在上有1个零点.