2022宜春上高二中高一下学期第七次月考试题（4月）数学含解析

2024届高一年级第七次月考数学试卷

命题人：肖锋     审题人：付小清

一、单选题(共40分)

1．(本题5分)等于（       ）

A． B． C． D．

2．(本题5分)在△ABC中，已知，则等于（       ）

A． B． C． D．

3．(本题5分)由下列条件解，其中有两解的是（       ）

A． B．

C． D．

4．(本题5分)已知向量，则的取值范围是（       ）

A． B．[0，2 ]

C．[1，2] D．

5．(本题5分)已知向量，，且，则与的夹角为（       ）

A． B． C． D．

6．(本题5分)在中，，则形状是（       ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定

7．(本题5分)已知，且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

8．(本题5分)在中，、、分别为内角、、的对边，，，点为线段上一点，，则的最大值为（       ）

A． B．1 C． D．2

二、多选题(共20分)

9．(本题5分)已知为的重心，为的中点，则下列等式成立的是（       ）

A．    B．

C．    D．

10．(本题5分)为了得到函数的图象，可以将函数的图象作怎样的平移变换得到（       ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

11．(本题5分)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列判断中正确的是（       ）

A．若，则该三角形有两解 B．若，则该三角形有两解

C．周长有最大值12 D．面积有最小值

12．(本题5分)如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（       ）

A．设，，若，则，

B．设，则

C．设，，若，则

D．设，，若与的夹角为，则

三、填空题(共20分)

13．(本题5分)函数的最小值为______．

14．(本题5分)已知是内的一点，角、、所对的边长分别为、、，而且，若，则_____

15．(本题5分)如图所示，在平面四边形ABCD中，若，，，，则△ABC的面积的最大值为________．

16．(本题5分)将函数的图像向左平移个单位，再向下平移2个单位，得到的图像，若，且，，则的最大值为__________．

四、解答题(共70分)

17．(本题10分)如图，在中，，为线段上的点，且，.

（1）求的长；

（2）求的面积.

18．已知关于的方程的两根为和.

(1)求实数的值；

(2)求的值.

19．(本题12分)已知的三边分别为a，b，c所对的角分别为A，B，C，且三边满足，已知的外接圆的面积为3π.

(1)求角B的大小；.

(2)求的周长的取值范围.

20．(本题12分)在中，角A，B，C所对的边分别为，且．

(1)若，求的值；

(2)若的面积为，求边长c的最小值．

21．(本题12分)如图，在△AOB中，已知||= 2，|| = 2，∠AOB = 90°，单位圆O与OA交于C， = λ，λ（0，1），P为单位圆O上的动点.

（1）若 + = ，求λ的值；

（2）记||的最小值为f（λ），求f（λ）的表达式及f（λ）的最小值.

22．(本题12分)如图，在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．

（1）若，求最小值；

（2）若，△ABC的面积为，求的最小值．

2024届高一年级第七次月考数学试卷参考答案

1．C

【分析】

利用两角和的余弦公式结合诱导公式即可得出答案.

【详解】

==

故选：C.

2．A

【分析】

根据条件判断出D为线段BC的三等分点，从而根据向量加法的三角形法则和向量的减法得出.

【详解】

如图所示，由已知得D点在线段上，且D为线段BC的三等分点，

  由向量加法的三角形法则可得，

.

故选：A．

3．C

【分析】

只有是已知两边及一边的对角，且已知角为锐角才可能出现两解，此时先求另一边所对的角，再结合边角关系来判断解的个数

【详解】

对于A，,由正弦定理可得,

由和可知和只有唯一解,

所以只有唯一解，所以A错误；

对于B，由余弦定理可知只有唯一解，

由余弦定理可得,又且在上单调递减，

所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解，

所以只有唯一解，所以B错误；

对于C，由正弦定理可得,所以,由可知，

因此满足的有两个，

所以有两解，所以C正确；

对于D.由余弦定理可知只有唯一解，

由余弦定理可得,又且在上单调递减,

所以只有唯一解，同理可知也只有唯一解，

所以只有唯一解,所以D错误

故选：C

4．D

【分析】

根据题意得，，再根据三角函数的值域求解即可.

【详解】

解：因为，所以，

所以，

因为，所以，

所以，故.

故选：D

5．A

【分析】

对化简可求出，再利用向量的夹角公式求解即可

【详解】

因为，所以，

因为，所以，所以，

设与的夹角为，则，

因为，所以，

故选：A

6．A

【分析】

利用基底向量的方法,可得,再化简求得,,再利用余弦定理求解得即可判断.

【详解】

解：由得：

,

,因为不共线,

故

由正弦定理有,

,,

令,则,,

∴C为钝角,

故是钝角三角形,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了基底向量与正余弦定理的运用,需要根据题意根据利用基底向量表示化简.属于中档题.

7．B

【分析】

由两边平方，根据同角三角函数的平方关系，可化简求出,计算即可求值.

【详解】

,

,

即，

所以2，

所以，

因为，

所以，

所以，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数的关系，正余弦函数的性质，属于中档题.

8．B

【分析】

由，结合余弦定理可求，结合三角形的面积公式可求，再由，结合均为单位向量，和平行线分线段成比例可得，，结合基本不等式可求．

【详解】

解：，

，化简可得，

，

，

，

，且表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，过分别作，，垂足分别为，，

则，，

，，两式相加可得，

由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，

解得，则的最大值为．

故选：B．

9．BD

【分析】

根据重心的性质及向量的运算、三角形面积公式求解判断．

【详解】

如图，为的重心，则，A错误，B正确；

，C错误；

由得，D正确．

故选：BD．

10．BC

【分析】

由函数解析式应用辅助角公式化简，结合左加右减的原则，即可判断平移变换的过程.

【详解】

，

，

∴向左平移个单位或向右平移个单位得到.

故选：BC

11．BC

【分析】

根据、选项给出的条件，利用正弦定理解出和，结合角度大小进行判断；，选项，根据余弦定理结合均值不等式即可判断．

【详解】

解：对于，由，得，

由于，所以，故为锐角，所以只有一组解，错误；

对于，同理，由，可得，

由于，所以，有两个解，则相应的有两个解，正确；

对于，由，

得．

故，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大，最大值为，此时三角形为等边三角形，故正确；

对于，由推导过程知得，

即，当且仅当时取等号，此时三角形面积最大，最大值为，故错误，

故选：．

12．ACD

【分析】

A选项由题意知，结合即可判断；B选项根据模长的含义得，结合的范围即可判断；C选项结合平行向量的知识点分析判断即可；D选项根据平面向量的数量积的定义可得，求得，进一步得即可求得的值，据此判断即可.

【详解】

A：由题意知，因为，所以，所以，故A正确；

B：由题意知，，因为，且，所以，因此，故B错误；

C：由题意知，因为，则，即，则，即，因此；故C正确；

D：根据平面向量的数量积的定义，而，所以

，所以，因此，所以，所以，故D正确.

故选：ACD.

13．

【解析】

【分析】

根据，并结合基本不等式“1”的用法求解即可.

【详解】

解：因为，

所以

，当且仅当时，等号成立．

故函数的最小值为.

故答案为：

14．25

【解析】

【分析】

根据给定向量等式，作出以点G为重心的，再借助面积比求解作答.

【详解】

延长分别至，使，如图，

则有，是的重心，延长交于D，则D是的中点，且，

，同理，

而，

同理得,又，则，，

所以，.

故答案为：25

15．

【分析】

先用余弦定理求出，再用余弦定理和基本不等式求出，使用面积公式求出最大值.

【详解】

在△ACD中，利用余弦定理得：，故，

在△ABC中，由余弦定理得：，故，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，故，

又△ABC的面积为，故△ABC的面积的最大值为.

故答案为：

16．

【详解】

分析：由已知可得，若，且，则，则，结合，可得结论.

详解：函数的图象向左平移个单位，

可得的图象，

再向下平移个单位，得到的图象，

若，且，

则，

则，

即，

由，得，

当时，取最大值，故答案为.

点睛：本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）利用三角形的内角关系及两角和的正弦公式求得，再利用正弦定理即可得出答案；

（2）根据三角形ABC内角关系可得，再利用三角形的面积公式即可得出答案.

【详解】

解：（l）

，

由正弦定理可得，

即，

解得.

（2）因为，

所以，

则，

所以

.

18．(1);

(2)

【分析】

（1）第一问利用韦达定理确定出两根和与两根积，再结合平方关系，求得.

（2）借助于两根和与两根积，确定出两根差，将其代入式子，求得结果.

(1)

，为方程的两根，

则有：，            

由（2）、（3）有：，

解得：，此时，

又， ，

则 ，

则，.

(2)

由（1）得 ，

，

所以 .

19．(1)

(2)

【分析】

（1）先由化简得到，再结合余弦定理即可求得角B；

（2）先利用的外接圆的面积为3π结合正弦定理求出，再由余弦定理和基本不等式求出的范围，即可求解.

(1)

由，可知，

化简得，

由余弦定理可得，又，所以.

(2)

因为，解得，由（1）知.

由，解得，

由余弦定理得，

由基本不等式可得，解得，当且仅当时取等号，

又根据两边之和大于第三边可得，即.

又因为，所以.

即的周长的取值范围为.

20．(1)

(2)

【分析】

利用诱导公式和正弦定理边化角可化简已知等式求得，由此可得；

（1）由同角三角函数平方关系可求得，根据，利用两角和差余弦公式即可求得结果；

（2）根据三角形面积公式可求得，利用余弦定理和基本不等式可得，由此可求得结果.

(1)

，

，

由正弦定理得：，

即，

又，

，

，又，

，则，

，，

为锐角，，

；

(2)

，

，

由余弦定理得：

（当且仅当时等号成立），

，即边长的最小值为.

21．（1）或，（2），最小值为

【解析】

【分析】

（1）以为原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标，记，由 + = ，可得，从而可求得答案；

（2）由,当且仅当在上等号成立，可得，再结合二次函数的性质可得答案

【详解】

解：（1）以为原点，所在的直线分别为轴，建立直角坐标，则，记，则，

所以，

因为 + = ，所以，

所以，

所以，解得或，

（2）因为，当且仅当在上等号成立，

所以

因为，所以

22．（1）；（2）．

【分析】

（1）由M是边BC的中点，得，由可得，然后利用E，G，F三点共线，结合已知条件可得，从而有，可得，令，从而可求出其最小值；

（2）由已知条件可得，由，△ABC的面积为，可得，则，进而可求得结果

【详解】

（1）因为M是边BC的中点，则有，

又因为，所以

因为E，G，F三点共线，可设

又因为，所以．

根据平面向量基本定理知

则，所以令．

则有有解，要求．

所以最小值为．

（2）取角A，B，C的对边分别为a，b，c

由M是边BC的中点，N是线段BM的中点知，，

故．

由于，所以．

进一步可得，从而bc＝4，

则

所以当时，的最小值为．