2022届浙江省金丽衢十二校、七彩阳光联盟高三下学期3月阶段性联考数学试题含解析

金丽衢十二校、七彩阳光联盟2022届高三下学期3月阶段性联考

数学学科试题

考生须知：

1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．

4．考试结束后，只需上交答题卷．

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么      

如果事件A，B相互独立，那么     

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

柱体的体积公式 ，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

台体的体积公式，其中分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高

球的表面积公式

球的体积公式，其中R表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1．已知全集，集合，则（    ）

A．         B．          C．             D．

2．已知，若（i为虚数单位）是实数，则（    ）

A．               B．0                 C．1               D．2

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件         B．必要而不充分条件

C．充分必要条件              D．既不充分也不必要条件

4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A．                 B．              C．             D．

5．若x，y满足约束条件，则点所在区域的面积（    ）

A．           B．              C．1           D．3

6．每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图．若点G、H、M、N分别是正八面体的棱的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．平面            B．与是异面直线

C．平面             D．与是相交直线

7．已知函数，则图象为右图的函数可能是（    ）

A．     B．     C．      D．

8．已知圆上一动点M，点，线段的中垂线交直线于点，且点P到y轴的距离是，则（    ）

A．           B．          C．3          D．2

9．已知定义在R上的奇函数在时满足，且在有解，则实数m的最大值为（    ）

A．           B．2            C．             D．4

10．已知数列满足，且，若，则（    ）

A．     B．     C．      D．

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11．梅花1朵花开五瓣，加花蕊部分，抽象后绘成图（1），得端点数．若再以五片花瓣为蕊作五个缩小版梅花，记为缩小1次．抽象后绘成图（2），得梅花数，端点数．以此类推，缩小4次后有梅花_________朵?缩小3次后共得端点数________个?

12．，则_______，_________．

13．已知且，则______，______．

14．如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形（顶点A与P重合）沿圆周逆时针滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为___________．

15．一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1个．每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出红球即停．记拿出的黑球个数为，且，则随机变量的数学期望______．

16．已知抛物线上一点处的切线l与圆相切于另一点B，

则抛物线焦点F与切点A距离的最小值为________．

17．已知平面向量满足，若则的取值范围为_________．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

（1）求角A的大小；（2）若，求的取值范围．

19．（本题满分15分）

如图，直角梯形和直角梯形中，，

，点M为线段中点，点N在线段上．

（1）若平面，判断N的位置并说明理由；

（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．

20．（本题满分15分）

已知数列的首项，前n项和为，且；

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，正项数列满足，数列的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．

21．（本题满分15分）过抛物线焦点F的直线l交抛物线于点A、B，弦长的最小值为4，直线分别交直线于点C，D（O为原点）·

（1）求抛物线E的方程；

（2）圆M过点C、D，交x轴于点，证明：若t为定值时，m也为定值．并求时面积S的最小值．

22．（本题满分15分）

已知函数在处的切线经过点．

（1）若函数至多有一个零点，求实数a的取值范围；

（2）若函数有两个不同的零点，且，求证（）

高三数学参考答案解析

━、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，共40分．

1．D        2．B        3．B        4．D         5．A

6．C        7．C         8．A        9．D       10．B

解析：

1．，∴，选D

2．，∴，选B

3．，反之不成立，故必要不充分

4．如图，几何体是正四棱柱截去两个小三棱锥所得，，∴，选D

5．所在区域面积是区域面积的2倍．区域如图：其中交点，∴，选A

6．连，则它们相交且相互平分，故四边形为平行四边形，则．又，∴，且是平行四边形，排除B、D易证平面平面，∴平面，选C

7．习为奇函数，故均为奇函数，不符，排除A、B

当时，∴，排除D，故选C

8．由定义知，点Р是椭圆与抛物线的交点，

解得，选A

9．时，，∴在R上单调递增．

∵，∴∴

∴在有解，∴，∴m最大值为4，选D

10．解析： ，且，∴，∴

∴，∴，故由累加法可得

∴，同理

故选B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11．781，781       12．    13．     14．

15．     16．8      17．

解析：

11．

12．令，则，∴，∴

∴

13．，∴

时

∴∴

14．正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为，顶点两次回到点P时，正方

形顶点将圆周正好分成六等分，故本题实质为4和6的最小公倍数问题．，

故到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮．

故只需求出正方形滚动1轮时点A走过的路径长度即可

这一轮中，点A路径： ，是圆心角为，半径分别为2，，2

的三段弧，故路径长，∴点A与P重合时总路径长为

I5．解析：设白球n个，显然

若，则符合：若，则

，∴，∴黑球有3个

，∴，∴

16解析：切线方程，有：，将代入得

∴

17解析：解．如图，，则由知C在

以为圆心，1为半径的圆上，，其中，M为中点∴D在以为圆心3为半径的圆内（含边界）

∴

三、解答题：本大题共5小题，共74分．

18．本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识，同时考查数学运算等素养．满分14分．

解：（1）                3分

∵，∴                             5分

（2）

，               9分

∵                 12分

∴                           14分

19．本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查直观想象

和数学运算等素养．满分15分．

（1）取中点G，连，则，                      2分

∴平面．又平面，则平面平面，          4分

∴，∴N为中点；                                              5分

（2）易知，∴平面，∵，∴平面．

∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，

∴，∴可以G为原点建系如图，                 8分

则∵，

∴设，

则                  10分

设平面法向量，则

取，则                              12分

∴

由正弦函数单调性知，此时角最大                  15分

20．本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查数学运算和逻辑推理等素养．满分15分．

（1）

∵，∴，∴，                 3分

∴，∴                     5分

（2），∴     7分

，∴，设公比为q，则，∴，∴，                9分

∴

∴     12分

∵，∴，∴在单调递减，

∴单调递增，∴，，∴，∴，         15分

21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与椭圆、抛物线的位置关系等基础知识，同时考查数学抽象、数学运算与逻辑推理等素养．满分15分．

（1），∴抛物线                   4分

（2）设，则，

且易证，∴

设圆心为，则                          7分

若（t为定值），，则由得：

，∴也为定值．

∴H也为定点．                                         10分

若，则，

当且仅当时取到最值．                           15分

22．本题主要考查函数的单调性、零点，导数的运算及其应用，同时考查数学抽象、逻辑推理与数学运算等素养．满分15分．

（1），∴，∴处的切线方程为，

过点，∴．                 3分

∵的零点不为1，

∴在上至多一个解．设，

则在上至多一个解．                  5分

，∴在和上减， 上增，

时，至多有一个零点，∴                       7分

（2）由（1）知，∴且，即，

故要证，只需证，                               9分

由（1）知，故只需证，

∵．令，

，∴在上递增，                  12分

∴，∴在上递增，

∴，∴，∴                15分