人教B版 (2019)必修 第二册4.2.1 对数运算导学案

对数的运算

【学习目标】

1．掌握对数运算性质，理解其推导过程和成立条件。

2．掌握换底公式及其推论，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值。

【学习重难点】

1．对数运算法则。

2．换底公式。

【学习过程】

问题导学

预习教材P20－P23的内容，思考以下问题：

1．对数运算法则是什么？

2．换底公式是如何表述的？

新知初探

1．对数运算法则

loga（MN）=logaM＋logaN，

logaMα=αlogaM，

loga=logaM－logaN。

（其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R）

2．换底公式

logab=。（其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1）

■名师点拨

对数的这三条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立。

【自我检测】

1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）积、商的对数可以化为对数的和、差。（　　）

（2）logaxy=logax·logay。（　　）

（3）loga（－2）3=3loga（－2）。（　　）

2．计算log916·log881的值为（　　）

A．18     B．     C．     D．

3．若lg5=a，lg7=b，用a，b表示log75等于（　　）

A．a＋b

B．a－b

C．

D．

4．lg20＋lg50的值为________。

【探究】

一、具体数的化简求值

1．计算：（1）log345－log35；

（2）log2（23×45）；

（3）；

（4）log29·log38．

[规律方法]

具体数的化简求值主要遵循两个原则：

（1）把数字化为质因数的幂、积、商的形式。

（2）不同底化为同底。

2．计算：（1）2log63＋log64；

（2）÷100－；

（3）log43·log98；

（4）log2．56．25＋ln－0.064。

二、代数式的化简

命题角度一：代数式恒等变换

化简loga。

【解】因为>0且x2>0，>0，

所以y>0，z>0.

loga=loga（x2）－loga=logax2＋loga－loga=2loga|x|＋logay－logaz。

[规律方法]

使用公式要注意成立条件：

如lgx2不一定等于2lgx，反例：log10（－10）2=2log10（－10）是不成立的。要特别注意loga（MN）≠logaM·logaN，loga（M±N）≠logaM±logaN。

1．已知y>0，化简loga。

命题角度二：用代数式表示对数

2．已知log189=a，18b=5，求log3645．

[规律方法]

用代数式表示对数问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元。

3．已知log23=a，log37=b，用a，b表示log4256．

【达标反馈】

1．log5＋log53等于（　　）

A．0 B．1

C．－1 D．log5

2．（2019·广西南京市期中）在对数式b=loga－2（5－a）中，实数a的取值范围是（　　）

A．{a|a>5或a<2}

B．{a|2<a<5}

C．{a|2<a<3或3<a<5}

D．{a|3<a<4}

3．log29×log34等于（　　）

A．

B．

C．2

D．4

4．log3＋lg25＋lg4＋7log72＋（－9.8）0=________。

解析：原式=log333＋lg（25×4）＋2＋1=＋2＋3=。

【参考答案】

【自我检测】

1．答案：（1）√（2）×（3）×

2．解析：选C．原式=log3224·log2334=log32·log23=。

3．解析：选D．log75==。

4．解析：lg20＋lg50=lg1000=3．

答案：3

【探究】

一、具体数的化简求值

1．【解】（1）log345－log35=log3=log39=log332

=2log33=2．

（2）log2（23×45）=log2（23×210）=log2（213）

=13log22=13．

（3）原式=

==

==。

（4）log29·log38=log2（32）·log3（23）

=2log23·3log32

=6·log23·=6

2．解：（1）原式=log632＋log64=log6（32×4）

=log6（62）=2log66=2．

（2）原式=÷102×（－）=lg102÷10－1=2×10=20.

（3）原式=·=·=。

（4）原式=log2.5（2.5）2＋－

=2＋－

=。

二、代数式的化简

1．解：因为>0，y>0，所以x>0，z>0.

所以loga=loga－loga（yz）=logax－logay－logaz。

2．【解】法一：因为log189=a，18b=5，

所以log185=b，

所以log3645===

==。

法二：因为log189=a，18b=5，所以log185=b，

所以log3645==

==。

法三：因为log189=a，18b=5，

所以lg9=alg18，lg5=blg18，

所以log3645===

==。

3．解：因为log23=a，则=log32，

又因为log37=b，

所以log4256===。

【达标反馈】

1．答案：A

2．解析：选C．由题意得解得2<a<3或3<a<5．

3．答案：D

4．答案：