数学必修 第二册4.2.1 对数运算学案设计

对数的运算

【学习目标】

1．能说出对数的概念，知道什么是对数的底数，什么是对数的真数；

2．能记住对数恒等式，并能应用对数恒等式进行有关的计算；

3．能记住对数的性质；

4．能解决对数式与指数式的互化问题。

【学习重难点】

重点：对数的概念以及对数式与指数式的互化；

难点：对数概念的理解以及对数中的计算问题；

疑点：对数与指数的关系。

【学习过程】

1．对数及有关概念

如果ab＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫做以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN，这里，a叫做对数的底，N叫做对数的真数。

在对数符号logaN中，为什么只有在a＞0，a≠1且N＞0时才有意义？

提示：（1）若a＜0，则N取某些数值时，logaN不存在，因此规定a不能小于0.

（2）若a＝0，则当N≠0时，logaN不存在，当N＝0时，则logaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠0.

（3）若a＝1，当N≠1时，则logaN不存在，当N＝1时，

则logaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠1．

（4）正数的任何次幂都是正数，因此N＞0.

对数的定义是由指数式推得的，那么指数式ab＝N与对数式logaN＝b有何关系？

提示：（1）在关系式ab＝N中，已知a和b求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N，求b就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算。

（2）指数式和对数式的关系及相应各部分的名称。

所有的指数式都可以改写为对数式吗？

提示：并不是所有的指数式都可以改写为对数式，例如(－2)4＝16就不能改写为log(－2)16＝4，只有当ab＝N中，a＞0且a≠1，N＞0时才可以进行改写。

2．对数恒等式

对数的基本恒等式是，b＝logaaB．

3．对数的性质

对数logaN(a＞0且a≠1)的性质是：

（1）零和负数没有对数，即N＞0；

（2）1的对数为零，即loga1＝0；

（3）底的对数等于1，即logaa＝1．

一、对数概念的理解

在对数式log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是什么？

思路分析：根据对数的概念，列出实数a满足的不等式组，解不等式组得到实数a的取值范围。

解：由对数的概念知解得

则实数a的取值范围为{a|2＜a＜3或3＜a＜5}。

求下列各式中的x的取值范围：

（1）logx＋1(x－2)；（2）logx＋2(x＋2)＝1．

解：根据对数定义中各字母的取值范围来求。

（1）由得x＞2．

（2）由得x＞－2且x≠－1．

求形如logf(x)g(x)的式子有意义的x的取值范围，可利用对数的定义，即满足进而求得x的取值范围。

2．已知含x的对数等式，确定x的值时，易忽视使其真数、底数有意义的x的取值范围，也就是解对数方程不可忽视对所求x值的检验。

二、指数式与对数式的互化

将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

（1）54＝625；（2）2－6＝；（3）m＝5．73；

（4）；（5）；（6）log5＝－2．

思路分析：利用ab＝N⇔logaN＝b进行互化。

解：（1）log5625＝4；（2）log2＝－6；

（3）；（4）－4＝16；

（5）()6＝125；（6）5－2＝。

1．用对数式填空：

36＝729⇔__________，⇔__________，

⇔__________。

答案：log3729＝6　　log64＝－

2．用指数式填空：

log2512＝9⇔____________，log100.000 1＝－4⇔__________，⇔__________。

答案：29＝512　10－4＝0.000 1　m＝4．2

1．logaN＝b与ab＝N(a＞0且a≠1，N＞0)是等价的，表示a，b，N三者之间的同一种关系。可以利用其中两个量表示第三个量。

2．对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系。

三、利用对数的概念、性质以及对数恒等式求值

解答下列各题：

（1）求值；

（2）若logx27＝，则x＝__________；

（3）log2(log5x)＝1，则x＝__________；

（4）已知loga2＝m，loga3＝n，求am＋3n的值。

思路分析：根据题目条件，利用对数恒等式、对数的性质以及对数式与指数式的关系分别进行求解。

解：（1）＝5×＝；

（2）由logx27＝可得，即，故x＝9；

（3）由log2(log5x)＝1可知log5x＝2，所以x＝52＝25；

（4）由于loga2＝m，loga3＝n，

∴am＝2，an＝3．

∴am＋3n＝am·a3n＝am·(an)3＝2×33＝54．

故am＋3n＝54．

求解下列各题：

（1）若，则x＝__________；

（2）若logx(＋1)＝－1，则x＝__________；

（3）若x＝log23，则4x－2－x＝__________。

答案：（1）－2　（2）－1　（3）

解析：（1）由可得＝1，解得x＝－2；

（2）由logx(＋1)＝－1可得x－1＝＋1，即＝＋1，∴x＝＝－1；

（3）∵x＝log23，∴2x＝3，于是4x－2－x＝(2x)2－＝32－＝。

1．进行对数式的运算时，一方面要熟练掌握对数恒等式、对数的性质；另一方面还要熟悉指数式与对数式的互化关系。

2．在对数运算中，要注意总结常见幂式的值，以便在计算中灵活应用。

1．把对数式m＝lognq化为指数式是(　　)。

A．mn＝q      B．nm＝q      C．nq＝m      D．qm＝n

答案：B

2．，则x等于(　　)。

A．      B．27      C．      D．9

答案：B

3．有以下四个命题：

① 若log5x＝3，则x＝15；

② 若log25x＝，则x＝5；

③ 若，则x＝；

④ 若，则x＝125．

其中真命题的个数为(　　)。

A．1      B．2      C．3      D．4

答案：B

解析：只有② 和④ 是真命题，故选B．

4．在对数式log(x－1)(x＋5)中，x的取值范围是__________。

答案：{x|x＞1且x≠2}

解析：依题意有解得x＞1且x≠2．

5．，则x＝__________。

答案：5

解析：∵，∴log3(x－2)＝1．

∴x－2＝3，x＝5．