2021-2022学年西藏自治区拉萨中学高二上学期第四次月考数学试题含解析

2021-2022学年西藏自治区拉萨中学高二上学期第四次月考数学试题

一、单选题

1．若集合 ， 集合 ， 则 （       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的解法求得集合，结合集合并集的运算，即可求解.

【详解】由不等式，解得，

所以，且，

根据集合并集的概念及运算，可得.

故选：C.

2．已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（       ）

A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为

C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x

D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线

【答案】B

【分析】就不同的取值结合曲线方程的形式逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A，当m＞n＞0时，有，

方程化为，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；

对于B，由m＝n＞0，方程变形为，

该方程表示半径为的圆，故B错误；

对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为，故C正确；

对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，故D正确．

故选：B.

3．设数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，则（       ）

A．255 B．257 C．127 D．129

【答案】C

【分析】由题设可得，再由即可求值.

【详解】由数列是公比为2的等比数列，且，

∴，即，

∴.

故选：C.

4．在等比数列中，，，则（       ）

A． B． C．或  D．或

【答案】C

【分析】先根据，，求出或，分情况求出的值.

【详解】设公比为，则，因为，所以，所以或，当时，，当时，

故选：C

5．已知命题p：，，则是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定为全称命题可得.

【详解】因为特称命题的否定为全称命题，

所以是，.

故选：D.

6．某烟花厂按以下方案测试一种“烟花”的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点）进行该烟花的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距30米，∠BAC＝60°，其中B到C的距离为70米.在A地测得C处的俯角为∠OAC＝15°，最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该烟花的垂直弹射高度CH约为（参考数据：≈2.446）（       ）

A．40米 B．56米 C．65米 D．113米

【答案】C

【分析】通过余弦定理求出AC，进而求出CH,OH，然后得到CH，最后通过辅助角公式化简求出答案.

【详解】在中，由余弦定理：.

因为，所以，

又因为，所以，

于是，.

故选：C.

7．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的可能为（       ）

A．9 B．5 C．4 D．3

【答案】D

【分析】根据输出结果可得输出时，结合执行逻辑确定输入k的可能值，即可知答案.

【详解】由，得，则输人的可能为.

∴结合选项知：D符合要求.

故选：D.

8．劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定了社会主义建设者和接班人的劳动价值取向､劳动精神面貌和劳动技能水平．新学期到来，夷陵中学开展了学农基地劳动实践课，面向2021级学生开放．现设置种植白菜､夢卜､菠菜､油麦菜四个品类．某班班主任选完内容后，其他三位同学根据班主任小夷老师的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．

甲说：“小夷老师选的不是白菜，选的是夢卜．”

乙说：“小夷老师选的不是萝卜，选的是菠菜．”

丙说：“小夷老师选的不是萝卜，也不是油麦菜．”

已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小夷老师选择的内容（       ）

A．可能是油麦菜 B．可能是白菜

C．可能是菠菜 D．一定是萝卜

【答案】B

【分析】分别假设小夷老师选择的是白菜､夢卜､菠菜､油麦菜，以此判断甲乙丙的说法是否满足题意。

【详解】根据题意，

假设小夷老师选择的油麦菜，则甲、乙、丙都各对一半，排除；

假设小夷老师选择的白菜，则甲全不对，乙对一半，丙全对，符合；

假设小夷老师选择的菠菜，则甲对一半，乙全对，丙全对，不符合，排除；

假设小夷老师选择的萝卜，则甲全对，乙全不对，丙对一半，符合；

由此推断小夷老师选择的内容可能是白菜或萝卜．

故选：B．

9．已知双曲线的方程，其焦点到渐近线的距离为（       ）

A． B．3 C． D．

【答案】B

【分析】写出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得结果.

【详解】在双曲线，，，，

该双曲线的焦点为，渐近线方程为，即，

因此，该双曲线焦点到渐近线的距离为.

故选：B.

10．同时掷两个骰子，则向上点数不相同的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】应用独立事件乘法公式求向上点数相同的概率，再利用对立事件的概率求法求向上点数不相同的概率即可.

【详解】向上点数相同，对于每个点数都有，

∴向上点数相同的概率为.

∴向上点数不相同的概率为.

故选：D.

11．已知公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列，则其前项和取得最大值时，的值为（       ）

A．12 B．13 C．12或13 D．13或14

【答案】C

【分析】设等差数列的公差为q，根据，，成等比数列，利用等比中项求得公差，再由等差数列前n项和公式求解.

【详解】设等差数列的公差为q，

因为，且，，成等比数列，

所以，

解得，

所以，

所以当12或13时，取得最大值，

故选：C

12．已知椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上，且，（为原点），则椭圆的离心率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆的定义及余弦定理可得与，进而可得离心率.

【详解】

由椭圆定义可知①，

又，

所以，

即②，

由①②整理可得③，

又在与中，，

且，，

即，

即，

有又①③，整理可得，，，

离心率，

故选：C.

二、填空题

13．已知动圆M与圆外切与圆内切，则动圆圆心M的轨迹C的方程为___________.

【答案】

【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义即可求得答案.

【详解】设动圆圆心，半径为，因为圆M与圆外切与圆内切，圆心，，所以，则，于是点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支.

由题意，，于是，C的方程为：.

故答案为：.

14．在中，角所对的边分别为，若角依次成等差数列，且，则____________．

【答案】

【分析】由题设易得，根据已知及余弦定理可得，即可求c，再利用三角形面积公式求面积即可.

【详解】由题设，若公差为，则，可得，

由余弦定理有，即，

∴，则.

故答案为：.

15．若满足约束条件，则的最小值为___________.

【答案】-8

【分析】作可行域，根据目标函数的几何意义求其最小值.

【详解】作出不等式组表示的可行域可得，

设，则表示斜率为3的直线在轴上的截距的相反数，

过可行域内的点作斜率为3的直线，观察可得

可知当直线经过点时，直线的截距最大，

所以当时，取得最小值，且最小值为，

故答案为：-8.

16．已知双曲线的右焦点为，左顶点为，过点作轴的垂线交双曲线于，两点，若为直角三角形，则双曲线的离心率为___________.

【答案】2

【分析】将代入双曲线方程，得出，根据双曲线的对称性可得，结合条件从而可得,即，得出答案.

【详解】设，其中

当时，，则，即

所以

由为直角三角形，根据双曲线的对称性可得,即

所以,即，也即

所以，解得

故答案为：2

三、解答题

17．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形生态种植园．设生态种植园的长为，宽为．

(1)若生态种植园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值．

【答案】(1)为，为；

(2).

【分析】（1）根据题意，可得，篱笆总长为，利用基本不等式可求出的最小值，即可得出对应的值；

（2）由题可知，再利用整体乘“1”法和基本不等式，求得，进而得出的最小值.

(1)

解：由已知可得，而篱笆总长为，

又，则，

当且仅当，即时等号成立，

菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小．

(2)

解：由已知得，，

又，

，当且仅当，即时等号成立，

的最小值是．

18．1.已知集合，集合．

(1)求常数m、n的值；

(2)设，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）把不等式的解集转化为方程的两个根，用韦达定理求解；（2）先求集合B，注意对a进行分类讨论，利用p是q的充分不必要条件，转化为集合之间的包含关系，求解a的取值范围

(1)

因为，所以-1和3是方程的两个根，由韦达定理得：，，解得：，

(2)

，解得：当时，集合，当时，集合，当时，解集为

因为p是q的充分不必要条件，，

当时，，此时p是q的必要不充分条件，不满足题意，舍去

当时，需要满足，此时，解得：

当时，需要满足，此时，解得：

综上：实数a的取值范围为

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知12（acosC＋ccosA）＝13bcosB．

(1)求cosB；

(2)若a＋c＝15，且△ABC的面积为5，求b的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，结合正弦定理，利用三角恒等变换，依据三角形内角取值范围，求得的值；

（2）根据（1）的结论，利用平方关系，求得，利用三角形面积公式求得ac＝26，根据a＋c＝15，利用余弦定理求得b＝．

(1)

因为12（acosC＋ccosA）＝13bcosB，

由正弦定理 得12（sinAcosC＋sinCcosA）＝13sinBcosB，

因此12sin（A＋C）＝13sinBcosB．

在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以12sin（π－B）＝13sinBcosB，

于是12sinB＝13sinBcosB，因为B∈（0，π），所以sinB＞0，所以．

(2)

由（1）知，sinB＞0，所以．

因为△ABC的面积为5，即S△ABC＝acsinB＝5，

所以ac＝5，即ac＝26．

又因为a＋c＝15，

所以 b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝（a＋c）2－ac＝152－×26＝125，

因此b＝．

20．已知等差数列的首项为，公差，且是与的等比中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由等比中项的性质可得将其转化为关于首项和公差的方程，解方程求得公差，再由等差数列的通项公式即可求解；

（2）由（1）求出的通项公式，再由裂项求和即可求解.

(1)

设等差数列的公差为d，

因为是与的等比中项，

所以即

所以，整理可得：，

解得：或（舍），所以.

(2)

由（1）知

所以，

所以

.

21．已知点在圆上运动，点，线段的中点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)过点是否存在直线与曲线有且只有一个交点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，或

【分析】（1）利用中点坐标公式，又点P在圆上，代入圆的方程化简即可；

（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当斜率不存在时，是特殊情形，可直接得出，当斜率存在时，利用点到直线的距离公式，可求出圆心到直线的距离，结合题意即可求解.

(1)

设，则

在圆上

，整理得：

曲线的方程为.

(2)

当斜率不存在时，符合条件；

当斜率存在时，设直线方程为，则，解得.

满足条件的直线存在，直线的方程为：或.

22．为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2020年11月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见下表）：

由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程，并预测2020年11月份参与竞拍的人数.

参考公式及数据：①回归方程，其中，；②，，.

【答案】，2万人.

【分析】先求出，，再根据题目提供的数据计算，，则可得到y关于t的线性回归方程，利用回归方程即可预测2020年11月份参与竞拍的人数.

【详解】由已知，，

，

，

则y关于t的线性回归方程为.

当时，，即2020年11月份参与竞拍的人数估计为2万人.