2021-2022学年西藏拉萨中学高二上学期第三次月考数学试题含解析

2021-2022学年西藏拉萨中学高二上学期第三次月考

数学试题

一、单选题

1．已知集合则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.

【详解】由解得，

所以，

又因为，所以，

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.

2．已知，，则下列不等式恒成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】通过反例，，可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确.

【详解】若，，则，，则AB错误；

若，，则，则C错误；

，，又，，则D正确.

故选：D

3．已知等差数列的前项和为，且满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用等差数列的性质求出，代入求和公式计算即可．

【详解】，，

，

所以，

故选：

4．下列命题中，真命题是（       ）

A．命题“若，则”的逆否命题是真命题

B．命题“若，则且”的否命题是“若，则且

C．“”是“”的必要不充分条件

D．对任意，

【答案】D

【分析】根据命题的相关概念及基本不等式分别判断；

【详解】A选项：由，得或，，所以原命题为假命题，其逆否命题也为假命题，A选项错误；

B选项：“若，则且”的否命题是“若，则或”，B选项错误；

C选项：当时，恒成立，所以“”是“”的充分条件，当时，或

，所以“”不是“”的必要条件，即“”是“”的充分不必要条件，C选项错误；

D选项：由，，所以，当且仅当，即时等号成立，D选项正确；

故选：D.

5．下图是2020年2月15日至3月2日来巾新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图.则下列说法不正确的是（       ）

A．2020年2月19日该市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数

B．该市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低

C．2020年2月19日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例低于人的有天

D．2020年2月15日到3月2日该市新冠肺炎新增确诊病例一直呈下降趋势

【答案】D

【分析】根据折线图对选项逐一分析，由此确定说法不正确的选项.

【详解】A，2020年2月19日该市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数，正确.

B，该市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低，正确.

C，2020年2月19日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例低于人的有天，正确.

D，2020年2月15日到3月2日该市新冠肺炎新增确诊病例一直呈下降趋势，错误，因为这三天有反弹.

故选：D

6．已知变量，满足约束条件，则的最大值为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】作出约束条件表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义即可求得最大值.

【详解】约束条件表示的平面区域如图中阴影，其中点，，，

目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，作直线，

平移直线到直线，且直线过点A，此时直线的纵截距最大，即z最大，则，

所以的最大值为3.

故选：C

7．直线平分圆的周长，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】从已知条件得到圆心在直线上，代入后得到一个等式，变形为的形式，利用“1”的代换，用基本不等式来求解最小值.

【详解】圆心为，因为直线平分圆的周长，所以圆心在直线上，即，化为：，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为

故选：C

8．运行如图所示的程序框图，输出的的值为（       ）

A．4 B．5

C．6 D．7

【答案】B

【分析】根据程序框图的循环逻辑，逐步写出各步的执行结果，即可判断最终输出结果

【详解】由程序框图的逻辑，其执行步骤如下：

：，，；

：，，；

：，，；

：，，，

∴输出.

故选：B

9．某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料（吨）的相关性，在生产过程中收集了组对应数据如下表所示：

根据表中数据，得出关于的回归直线方程为.据此计算出在样处的残差为，则表中的值为（       ）（注：称为对应样本点的残差）A．              B．              C．              D．

【答案】A

【分析】根据残差可得回归直线方程，再根据样本中心可计算的值.

【详解】由残差为可知，当时，，即，解得，

所以回归直线方程为，

又，，且样本中心在回归直线上，

所以，解得，

故选：A.

10．关于的不等式的解集为，则实数的范围是（       ）

A． B．

C． D．或

【答案】B

【分析】根据该不等式是否为二次不等式，分情况讨论.

【详解】当时，该不等式为，解集为，不成立；

当时，由不等式的解集为，得，

解得，

故选：B.

11．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积．根据此公式，若，且，则的面积为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据正弦定理可求，再求出后可求面积.

【详解】因为，故由正弦定理可得：

即，

而，故，故，

由余弦定理可得，故，

故，

故选：C.

12．设不等式组表示的平面区域为，若直线上存在中的点，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先画出不等式组表示的平面区域M，再以动直线和平面区域M产生交点，从而计算出实数的取值范围.

【详解】画出不等式组表示的平面区域M如下:

画出目标函数（虚线），可知直线过点M时实数取最小值；

直线过点N时实数取最大值.

由可得；由可得

将代入直线得

将代入直线得

故实数的取值范围为

故选：A

二、填空题

13．不等式的解集是___________.

【答案】

【分析】将分式不等式等价转化为不等式组，求解即得.

【详解】原不等式等价于，解得,

故答案为：.

14．如图，边长为2的正方形中有一阴影区域.在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是 ,则明影区域的面积为_________

【答案】B

【分析】由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果．

【详解】解：设阴影部分的面积为，结合几何概型公式可得：，解得：．

故选：．

15．在中，角的对边分别是，若，则的大小是__________.

【答案】

【详解】∵在中，，

∴由正弦定理和基本不等式可得：，

当且仅当即时取等号，

∴，由，故，∴在三角形中，故答案为．

16．已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前n项和，若，则的最小值为______．

【答案】18

【分析】先根据得到，从而，对进行整理，用含的式子表示，再用基本不等式进行求解最小值.

【详解】由得，所以，，故，解得：或，因为数列是各项均为正数，所以，故，

所以

．

当且仅当时取得最小值．

故答案为：18

三、解答题

17．已知.

（1）当不等式的解集为时，求实数的值；

（2）解关于的不等式.

【答案】(1) 或 (2) 当时，即时，不等式的解集为；当时，即时，不等式的解集为.

【解析】【详解】试题分析：（1）由不等式的解集为，可得是的根，根据韦达定理列方程组可求出实数的值；（2）不等式化为，讨论判别式，利用一元二次不等式的解法求解即可.

试题解析：（1）∵不等式的解集为，

∴与不等式同解，

∴

∴或

（2） ，

∵，∴，

当时，即时，不等式的解集为；

当时，即时，不等式的解集为.

18．已知是公差不为0的等差数列，，，成等比数列，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，数列的前项和为，证明：.

【答案】（1）        （2）证明见解析

【分析】（1）由题意列式求得数列的首项和公差，然后代入等差数列的通项公式得答案.

（2）求出数列的通项，利用裂项相消法求出数列的前项和得答案．

【详解】（1）差数列中，，成等比数列有：

即，得

所以

又，即，.

所以.

（2）

所以

.

所以

所以

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，等比数列的性质，裂项相消法求数列的前项和，是中档题．

19．已知在中，角，，的对边分别为，，.若，.

(1)求；

(2)若的面积为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，可得；

（2）根据面积公式可得，再用余弦定理可求得.

(1)

，，

由正弦定理可得，

又，所以，

所以，即，，

所以；

(2)

由，解得，

又由余弦定理得，

所以.

20．某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．

规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．

按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示

求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；

根据频率分布直方图，求成绩的中位数精确到；

在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．

【答案】（1），；合格等级的概率为；（2）中位数为；（3）

【分析】由题意求出样本容量，再计算x、y的值，用频率估计概率值；

根据频率分布直方图，计算成绩的中位数即可；

由茎叶图中的数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．

【详解】由题意知，样本容量，

，

；

因为成绩是合格等级人数为：人，

抽取的50人中成绩是合格等级的概率为，

即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为；

根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为；

由茎叶图知，A等级的学生有3人，D等级的学生有人，

记A等级的学生为A、B、C，D等级的学生为d、e、f、g、h，

从这8人中随机抽取2人，基本事件是：

AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、

Cd、Ce、Cf、Cg、Ch、de、df、dg、dh、ef、eg、eh、fg、fh、gh共28个；

至少有一名是A等级的基本事件是：

AB、AC、Ad、Ae、Af、Ag、Ah、BC、Bd、Be、Bf、Bg、Bh、

Cd、Ce、Cf、Cg、Ch共18个；

故所求的概率为．

【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．

21．的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

【答案】(1) ;(2).

【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.

【详解】(1)根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．

，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.

(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，

故，解得.

又应用正弦定理，，

由三角形面积公式有：

.

又因,故，

故.

故的取值范围是

【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.

22．各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意，有.

(1)求常数的值；

(2)求数列的通项公式；

(3)记，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）（3）

【分析】(1)令中n=1即得p的值.(2)利用项和公式求数列的通项公式.(3)先求出，再利用错位相减法求数列的前项和.

【详解】解：(1)由及，得：，

∴.

(2)由①，得②

由②－①，得，

即：，

∴，

由于数列各项均为正数，∴，即，

∴数列是首项为1，公差为的等差数列，

∴数列的通项公式是.

(3)由，得：，∴，

∴

，

.

【点睛】（1）本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差数列的通项和求和公式，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.