2021安徽省“五校联盟”高三下学期理科数学第二次联考试题答案

2021届安徽省“五校联盟”高三下学期理科数学第二次联考试题答案颍上一中  涡阳一中  蒙城一中  淮南一中  怀远一中

一、选择题

1-5：ABCCA 6-10：BDBDC 11-12：DB

详解：

12. B  ∵，当时，.

设进行替换，作出函数的图象如下图所示：

由于函数在上满足的实数有且只有3个，

即函数在上有且只有3个零点，

由图象可知，解得，结论④不正确；

由图象知，在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论①正确，结论②错误；

当时，，

由知，所以在上递增，

则函数在上单调递增，结论③正确.综上，正确的有①③.故选B.

二、填空题

13. -1     14. -672     15.      16.

详解：

16. 将沿折起后，取中点为，连接，，则，，

所以即为二面角的平面角，所以；

与是边长为4的等边三角形.

分别记三角形与的重心为、，

则，；即；

因为与都是边长为4的等边三角形，

所以点是的外心，点是的外心；

记该几何体的外接球球心为，连接，，

根据球的性质，可得平面，平面，

所以与都是直角三角形，且为公共边，

所以与全等，因此，

所以；

因为，，，且平面，平面，

所以平面；

又平面，所以，

连接，则外接球半径，

所以外接球表面积为.

故答案为：.

三、解答题

17. 解：由①，

当时，解得，

当时，②，

①-②得，所以是等比数列，，

由是等差数列，，.得.

（2），，

，.

18.（1）证明：因为面，面，所以.

又∵正中，，

∴面，

∴.

（2）解：连接交于点，连接，因为平面，

所以，由重心性质知为靠近点的三等分点.

∴，，，，，

设面的法向量为，

，，∴，

平面的法向量为，，

∴平面与平面所成角的正弦值为.

19. 解：（1）由圆，可得圆心，半径，

因为，所以点在圆内，

又由点在线段的垂直平分线上，所以，

所以，

由椭圆的定义知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

其中，，，

所以点的轨迹方程为.

（2）设直线的方程为，，，，，

将代入，

得，

，，

要证明直线过点，只要证明，的斜率相等，

直线的方程为，令得，

.

或设的直线方程，代入得

，

，，

，

或，，的直线方程为，

代入

.

20. 解：（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢.

由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部奖金.

当时，甲以赢，所以；

当时，甲以赢，所以；

当时，甲以赢，所以.

所以，甲赢的概率为.

所以，；

（2）设比赛继续进行局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.

当时，乙以赢，；

当时，乙以赢，；

所以，乙赢得全部奖金的概率为.

于是甲赢得全部奖金的概率.

求导，.

因为，所以，所以在上单调递增，

于是.

故乙赢的概率为，故事件是小概率事件.

21. 解：（1），

由题意得，即，

当时，，此时在上递减，在上递增，所以符合要求；

当时，，此时在上递增，在递减，递减，所以不符合要求.

综上得，.

（2）方法1：直接研究差函数的最小值，需借助隐零点.

由得不等式恒成立，

令，求导得，

当时，，所以在上递增，

因为，所以不符合题意；

当时，令，则在上递增，

又，，且在上连续，

所以存在唯一，使得，

当时，，故递减；当时，故递增，

所以，

所以，即，

令，则，所以在上递减，在上递增，

又，所以.

方法2：指数化、换元处理

由得，指数化得不等式恒成立，

令，则，不等式恒成立，

令，则，

当时，，所以不符合题意；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，即，

令，则，所以在上递减，在上递增，

又，所以.

22. 解：（1）曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为，

即，

直线的直角坐标方程为，

∴圆心到直线的距离（弦心距），

即圆心到直线的距离为，∴或.

（2）曲线的方程可化为，其参数方程为（为参数）.

∵为曲线上任意一点，

，

∴的取值范围是.

23. 解：（1）当时，，

∵，∴；

当时，，

∵，∴；

当时，，

∵，∴，此时无实数解.

综上所述，不等式的解集为.

（2）有解.

由（1）可知

当时，；

当时，；

当时，.

∴，

∴，故，

即实数的取值范围为.

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