高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第一课时学案设计

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集合的概念新课程标准解读核心素养1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系数学抽象、逻辑推理2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合数学抽象 第一课时　集合的概念2020年初，武汉暴发了新冠肺炎疫情，且呈蔓延趋势．在党中央、国务院的坚强领导下，经过广大群众和医疗工作者的努力，在短短的两个多月的时间内疫情得到了全面的控制，打赢了抗击疫情这场战役，彰显了中国力量、中国速度、中国精神！[问题]　(1)奋战在抗疫前线的医疗工作者中涌现出了许多英雄人物，这些英雄人物能否构成一个集合？(2)疫情就是命令，人民子弟兵迅速奔赴一线，带着中国军人特有的精神冲在最前面．参与武汉救援的所有中国军人能否构成一个集合？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　元素与集合1．元素2．集合3．集合中元素的三个特征(1)确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素必须是确定的．其作用为判断一组对象能否组成集合；(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都不相同，相同的对象只能算一个元素；(3)无序性：集合中的元素没有先后顺序，只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素的排列顺序无关．1．集合中的元素只能是数、点、代数式吗？提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．2．某班所有的高个子男生能否构成一个集合？提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准．1．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(　　)A．1　　　 B．2　　　　C．3　　　 D．4解析：选C　由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．2．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有________个元素．解析：由x2－1＝0，得x＝±1；由x＋1＝0，得x＝－1，故集合中只有2个元素1和－1.答案：2知识点二　元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A 符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向．　　　　 已知集合A由x＜1的数构成，则有(　　)A．3∈A  B．1∈A  C．0∈A  D．－1∉A答案：C知识点三　常见的数集及符号表示数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N*或N＋ 下列元素与集合的关系判断正确的是_______(填序号)．①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④－1∈Z；⑤∉R.解析：N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集，故0∈N，π∉Q，∉Q，－1∈Z，∈R.答案：①④集合概念的理解[例1]　(链接教科书第5页练习1题)(多选)判断下列每组对象，能组成一个集合的是(　　)A．某校高一年级成绩优秀的学生B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点C．不小于3的自然数D．截止到2021年1月1日，参加一带一路的国家[解析]　A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合．[答案]　BCD判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．　　　　 [跟踪训练]1．(多选)现有以下说法，其中正确的是(　　)A．接近于0的数的全体构成一个集合B．正方体的全体构成一个集合C．未来世界的高科技产品构成一个集合D．不大于3的所有自然数构成一个集合解析：选BD　A、C不符合集合中元素的确定性，B、D具有确定性．2．方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为M，则M中的元素个数为(　　)A．1　　　　　　　　　 B．2C．3  D．4解析：选C　这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合中元素的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素． 元素与集合的关系[例2]　(1)(多选)由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则(　　)A．a∈A  B．a2∈AC.∈A  D．a＋1∈A(2)若集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．[解析]　(1)a＝＋＜＋＝4＜5，所以a∈A.a＋1＜＋＋1＝5，所以a＋1∈A，a2＝()2＋2×＋()2＝5＋2＞5，所以a2∉A，＝＝＝－＜5，所以∈A.(2)由题意可得：x为自然数，所以可以为2，3，6，因此x的值为2，1，0.因此A中元素有2，1，0.[答案]　(1)ACD　(2)2，1，0判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：①使用前提：集合中的元素是直接给出的；②判断方法：首先明确集合由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：①使用前提：对于某些不便直接表示的集合；②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．　　　　 [跟踪训练]用∈，∉填空：已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17________A，－5________A.解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A.令3k＋2＝－5得，k＝－∉Z.所以－5∉A.答案：∈　∉元素特性的应用[例3]　已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．[解析]　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性．∴a＝－1.[答案]　－1[母题探究]1．(变条件)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝或a＝－.经检验符合元素的互异性．2．(变条件)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解：因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1.3．(变条件)已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值．解：由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1.当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去)．综上可知，a＝0.根据集合中元素的特性求值的三个步骤　　　　 [跟踪训练]1．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　)A．梯形  B．平行四边形C．菱形  D．矩形解析：选A　A中元素a，b，c，d各不相等，所以四边形只可能是梯形．2．集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P与Q相等，则a＝________．解析：由题意知a2＝4，即a＝±2.答案：±21．(多选)下列结论中，正确的是(　　)A．若a∈N，则∉N  B．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈Q  D．若a∈R，则∈R解析：选BCD　A不正确．反例：a＝1∈N，＝1∈N.2．下列说法正确的是(　　)A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合B．由1，2，3和 ，1，组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素解析：选C　A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．3．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是(　　)A．锐角三角形  B．直角三角形C．钝角三角形  D．等腰三角形解析：选D　因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等，故选D.4．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________．解析：∵x∈N，2<x<a，且集合P中恰有三个元素，易知a＝6.答案：65．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，则实数a的值为________．解析：若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，实数a的值为0或－1.答案：0或－1