人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数第二课时学案及答案

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某大型国企2020年的生产总值为a，根据相关资料判断，未来20年，该企业每一年的生产总值是上一年的eq \r(a)倍．据此回答下列问题．
[问题] (1)一年后，该企业的生产总值是多少？
(2)五年后，该企业的生产总值是多少？



知识点 指数幂及其运算性质
1．分数指数幂的意义
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
eq \a\vs4\al()
1．分数指数幂aeq \s\up6(\f(m,n))不可理解为eq \f(m,n)个a相乘，它是根式的一种写法．
2．正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．
3．把根式eq \r(n,am)化成分数指数幂的形式时，不要轻易对eq \f(m,n)进行约分．
为什么分数指数幂的底数规定a>0?
提示：①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则aeq \s\up6(\f(m,n))，aeq \s\up6(－\f(m,n))无意义；
②当a＝0时，a0无意义．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)eq \r(x3)＝xeq \s\up6(\f(2,3))(x>0)．( )
(2)分数指数幂aeq \s\up6(\f(m,n))可以理解为eq \f(m,n)个a相乘．( )
(3)0的任何指数幂都等于0.( )
(4)化简式子[(－eq \r(3))2]eq \s\up6(－\f(1,2))的结果是eq \r(3).( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列运算中正确的是( )
A．a2a3＝a6 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(eq \r(a)－1)0＝1 D．(－a2)5＝－a10
答案：D
3．将下列根式与分数指数幂进行互化aeq \s\up6(\f(5,6))＝________；aeq \s\up6(－\f(4,3))＝________．
答案：eq \r(6,a5) eq \f(1,\r(3,a4))
[例1] (链接教科书第106页例3)用根式或分数指数幂表示下列各式：aeq \s\up6(\f(1,5))，aeq \s\up6(\f(3,4))(a>0)，eq \r(3,a6)，eq \f(1,\r(a3))(a>0), eq \r(a\r(a))(a>0)．
[解] aeq \s\up6(\f(1,5))＝eq \r(5,a)；aeq \s\up6(\f(3,4))＝eq \r(4,a3)(a>0)；eq \r(3,a6)＝aeq \s\up6(\f(6,3))＝a2；
eq \f(1,\r(a3))＝eq \f(1,a\s\up6(\f(3,2)))＝aeq \s\up6(－\f(3,2)) (a>0); eq \r(a\r(a))＝ eq \r(a·a\s\up6(\f(1,2)))＝ eq \r(a\s\up6(\f(3,2)))＝aeq \s\up6(\f(3,4))(a>0)．
eq \a\vs4\al()
根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子；
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
[跟踪训练]
1．用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)：
(1)xeq \s\up6(\f(2,3))＝________；(2)xeq \s\up6(－\f(3,5))＝________；(3)x－eq \f(1,2)yeq \s\up6(\f(4,7))＝________．
答案：(1)eq \r(3,x2) (2)eq \f(1,\r(5,x3)) (3)eq \f(\r(7,y4),\r(x))
2．用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：
(1)eq \f(1,\r(3,a2))；(2)a3·eq \r(3,a2)；(3)(eq \r(4,b－\f(2,3)))－eq \f(2,3)(b>0)．
解：(1)eq \f(1,\r(3,a2))＝eq \f(1,a\s\up6(\f(2,3)))＝a－eq \f(2,3).
(2)a3·eq \r(3,a2)＝a3·aeq \s\up6(\f(2,3))＝a3＋eq \f(2,3)＝aeq \s\up6(\f(11,3)).
(3)(eq \r(4,beq \s\up12(－\f(2,3)))) eq \s\up12(－\f(2,3))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(beq \s\up12(－\f(2,3))))\s\up6(\f(1,4))))eq \s\up12(－\f(2,3))＝beq \s\up12(－eq \f(2,3)×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))))＝beq \s\up6(\f(1,9)).
[例2] (链接教科书第106页例2、例4)计算下列各式：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5)))eq \s\up12(0)＋2－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))eq \s\up12(－\f(1,2))－0.010.5；
(2)0.064eq \s\up12(－\f(1,3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,8)))eq \s\up12(0)＋[(－2)3]eq \s\up12(－\f(4,3))＋16－0.75；
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－\f(1,2))·eq \f(（\r(4ab－1)）3,0.1－2（a3b－3）\s\up6(\f(1,2)))(a>0，b>0)．
[解] (1)原式＝1＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up6(\f(1,2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))eq \s\up6(\f(1,2))＝1＋eq \f(1,6)－eq \f(1,10)＝eq \f(16,15).
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝eq \f(5,2)－1＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,8)＝eq \f(27,16).
(3)原式＝eq \f(4\s\up6(\f(1,2))·4\s\up6(\f(3,2)),100)·aeq \s\up6(\f(3,2))·aeq \s\up12(－\f(3,3))·beq \s\up12(－\f(3,3))·beq \s\up6(\f(3,2))＝eq \f(4,25)a0b0＝eq \f(4,25).
eq \a\vs4\al()
指数幂运算的解题通法
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数；
(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；
(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一．
[跟踪训练]
1．计算：(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)＋8eq \s\up6(\f(2,3))＋(eq \r(2)－1)0；
(2)216eq \s\up6(\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(－2)－343eq \s\up6(\f(1,3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,125)))eq \s\up12(－\f(1,3)).
解：(1)原式＝2＋(23)eq \s\up6(\f(2,3))＋1＝2＋22＋1＝7.
(2)原式＝(63)eq \s\up6(\f(2,3))＋32－(73)eq \s\up6(\f(1,3))－(5－3) eq \s\up12(－\f(1,3))
＝36＋9－7－5＝33.
2．化简下列各式：
(1)(xeq \s\up6(\f(2,3))·yeq \s\up6(\f(1,4))·z－1)·(x－1·yeq \s\up6(\f(3,4))·z3) eq \s\up12(－\f(1,3)) (x>0，y>0，z>0)；
(2)eq \f(\r(3,aeq \r(3))·eq \r(aeq \r(3)),aeq \s\up6(\f(5\r(3),6)))＋(a－eq \r(3)＋1)0.
解：(1)原式＝(xeq \s\up6(\f(2,3))yeq \s\up6(\f(1,4))z－1)·(xeq \s\up6(\f(1,3))yeq \s\up12(－\f(1,4))z－1)＝xeq \s\up12(eq \f(2,3)＋eq \f(1,3))·yeq \s\up12(eq \f(1,4)－eq \f(1,4))·z－1－1＝xz－2.
(2)原式＝eq \f(a\s\up6(\f(\r(3),3))·a\s\up6(\f(\r(3),2)),a\s\up6(\f(5\r(3),6)))＋1＝1＋1＝2.
[例3] (链接教科书第110页习题8题)已知aeq \s\up6(\f(1,2))＋a－eq \f(1,2)＝eq \r(5)，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
[解] (1)将aeq \s\up6(\f(1,2))＋aeq \s\up12(－\f(1,2))＝eq \r(5)两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
即a2＋a－2＝7.
[母题探究]
(变设问)在本例条件下，a2－a－2＝________．
解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3eq \r(5)，即a2－a－2＝±3eq \r(5).
答案：±3eq \r(5)
eq \a\vs4\al()
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：
(1)a±2aeq \s\up6(\f(1,2))beq \s\up6(\f(1,2))＋b＝(aeq \s\up6(\f(1,2))±beq \s\up6(\f(1,2)))2；
(2)a－b＝(aeq \s\up6(\f(1,2))＋beq \s\up6(\f(1,2)))(aeq \s\up6(\f(1,2))－beq \s\up6(\f(1,2)))；
(3)aeq \s\up6(\f(3,2))＋beq \s\up6(\f(3,2))＝(aeq \s\up6(\f(1,2))＋beq \s\up6(\f(1,2)))(a－aeq \s\up6(\f(1,2))beq \s\up6(\f(1,2))＋b)；
(4)aeq \s\up6(\f(3,2))－beq \s\up6(\f(3,2))＝(aeq \s\up6(\f(1,2))－beq \s\up6(\f(1,2)))(a＋aeq \s\up6(\f(1,2))beq \s\up6(\f(1,2))＋b)．
[跟踪训练]
已知x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(2,3)，求eq \f(\r(x)＋\r(y),\r(x)－\r(y))－eq \f(\r(x)－\r(y),\r(x)＋\r(y))的值．
解：eq \f(\r(x)＋\r(y),\r(x)－\r(y))－eq \f(\r(x)－\r(y),\r(x)＋\r(y))＝eq \f(（\r(x)＋\r(y)）2,x－y)－eq \f(（\r(x)－\r(y)）2,x－y)＝eq \f(4\r(xy),x－y).
因为x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(2,3)，
所以原式＝eq \f(4 \r(\f(1,2)×\f(2,3)),\f(1,2)－\f(2,3))＝－24eq \r(\f(1,3))＝－8eq \r(3).
1．将5eq \s\up6(\f(3,2))写为根式，正确的是( )
A.eq \r(3,52) B.eq \r(\r(3,5))
C.eq \r(5,\f(3,2)) D.eq \r(53)
解析：选D 5eq \s\up6(\f(3,2))＝eq \r(53).
2．计算：(－27)eq \s\up6(\f(2,3))×9eq \s\up6(-\f(3,2))＝( )
A．－3 B．－eq \f(1,3)
C．3 D.eq \f(1,3)
解析：选D (－27)eq \s\up6(\f(2,3))×9eq \s\up6(-\f(3,2))＝[(－3)3]eq \s\up6(\f(2,3))×(32) eq \s\up6(-\f(3,2))＝(－3)2×3－3＝9×eq \f(1,27)＝eq \f(1,3).故选D.
3．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为( )
A.eq \f(1,9) B.eq \r(4,3)
C．1 D.eq \r(3,9)
解析：选B ∵xy＝yx，y＝9x，∴x9x＝(9x)x，∴(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.∴x8＝9.∴x＝eq \r(8,9)＝eq \r(4,3).
4．若10x＝3eq \s\up6(-\f(1,8))，10y＝eq \r(4,27)，则102x－y＝________．
解析：102x－y＝(10x)2÷10y＝(3eq \s\up6(-\f(1,8)))2÷eq \r(4,27)＝3eq \s\up6(-\f(1,4))÷3eq \s\up6(\f(3,4))＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
5. eq \r(6\f(1,4))－eq \r(3,3\f(3,8))＋eq \r(3,0.125) 的值为________．
解析：原式＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up12(2))－ eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(3))＋ eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(3))＝eq \f(5,2)－eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
分数指数幂
正分数
指数幂
规定：aeq \s\up6(\f(m,n))＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数
指数幂
规定：aeq \s\up6(-\f(m,n))＝eq \f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数
指数幂
0的正分数指数幂等于eq \a\vs4\al(0)，0的负分数指数幂没有意义
根式与分数指数幂的互化
指数幂的运算
条件求值问题