高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数学案设计

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对数是指数的另一种表达形式．对数运算是指数运算的逆运算，我们已知道指数运算有指数运算的性质，那么对数运算是否有对数的运算性质？
[问题] 计算下列三组对数运算式，观察各组结果，你能猜想对数的运算性质吗？
(1)lg2(4×8)，lg24＋lg28；
(2)lg2eq \f(32,4)，lg232－lg24；
(3)lg225，5lg22.





知识点一 对数的运算性质
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
(1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )
(2)lga(xy)＝lgax·lgay.( )
(3)lg2(－5)2＝2lg2(－5)．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．lg84＋lg82＝________．
解析：lg84＋lg82＝lg8(4×2)＝lg88＝1.
答案：1
3．lg510－lg52＝________．
解析：lg510－lg52＝lg5eq \f(10,2)＝lg55＝1.
答案：1
知识点二 换底公式
1．换底公式
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．几个常用推论
(1)lganbn＝lgab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
(3)lgab·lgba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．
1.eq \f(lg49,lg43)＝________．
解析：eq \f(lg49,lg43)＝lg39＝2.
答案：2
2．lg29·lg32＝________．
解析：lg29·lg32＝eq \f(lg 9,lg 2)·eq \f(lg 2,lg 3)＝eq \f(2lg 3,lg 3)＝2.
答案：2
[例1] (链接教科书第124页例3)求下列各式的值：
(1)lg2(49×26)；
(2)lgeq \r(7,1 000)；
(3)lg 14－2lgeq \f(7,3)＋lg 7－lg 18；
(4)lg 52＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
[解] (1)lg2(49×26)＝lg249＋lg226＝9lg24＋6lg22＝9×2＋6×1＝24.
(2)lgeq \r(7,1 000)＝lg 1 000eq \s\up6(\f(1,7))＝eq \f(1,7)lg 1 000＝eq \f(1,7)×3＝eq \f(3,7).
(3)lg 14－2lgeq \f(7,3)＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(4)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
eq \a\vs4\al()
对数式化简与求值的基本原则和方法
(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行；
(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
[跟踪训练]
1．(2021·温州高一检测)lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,100)))eq \s\up12(2)＝( )
A．－4 B．4
C．10 D．－10
解析：选A lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,100)))eq \s\up12(2)＝lgeq \f(1,1002)＝lg 1－lg 104＝－4.
2．已知ab>0，有下列四个等式：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；②lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))＝lg a－lg b；③eq \f(1,2)lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))eq \s\up12(2)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,b)))；④lg(ab)＝eq \f(1,lgab10).其中正确的是________(填序号)．
解析：①②式成立的前提条件是a>0，b>0；④式成立的前提条件是ab≠1.只有③式成立．
答案：③
3．化简下列各式：
(1)4lg 2＋3lg 5－lg eq \f(1,5)；
(2)eq \f(lg\r(27)＋lg 8－lg\r(1 000),lg 1.2).
解：(1)原式＝lgeq \f(24×53,\f(1,5))＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.
(2)原式＝eq \f(\f(3,2)lg 3＋3lg 2－\f(3,2),lg 3＋2lg 2－1)＝eq \f(\f(3,2)（lg 3＋2lg 2－1）,lg 3＋2lg 2－1)＝eq \f(3,2).
[例2] (链接教科书第126页练习3题)计算：
(1)lg29·lg34；
(2)eq \f(lg5\r(2)×lg79,lg5 \f(1,3)×lg7\r(3,4)).
[解] (1)由换底公式可得，
lg29·lg34＝eq \f(lg 9,lg 2)·eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 3,lg 2)·eq \f(2lg 2,lg 3)＝4.
(2)原式＝eq \f(lg5\r(2),lg5\f(1,3))×eq \f(lg79,lg7\r(3,4))＝lgeq \s\d9(\f(1,3))eq \r(2)×lg eq \r(3,4)9
＝eq \f(lg\r(2),lg\f(1,3))×eq \f(lg 9,lg 4\s\up6(\f(1,3)))＝eq \f(\f(1,2)lg 2,－lg 3)×eq \f(2lg 3,\f(2,3)lg 2)＝－eq \f(3,2).
eq \a\vs4\al()
利用换底公式求值的思想与注意点

[跟踪训练]
1．式子lg32·lg227的值为( )
A．2 B．3
C.eq \f(1,3) D．－3
解析：选B lg32·lg227＝eq \f(lg 2,lg 3)·eq \f(lg 27,lg 2)＝eq \f(lg 27,lg 3)＝lg327＝3，故选B.
2．若lg2x·lg34·lg59＝8，则x等于( )
A．8 B．25
C．16 D．4
解析：选B ∵lg2x·lg34·lg59＝eq \f(lg x,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)×eq \f(lg 9,lg 5)＝eq \f(lg x,lg 2)×eq \f(2lg 2,lg 3)×eq \f(2lg 3,lg 5)＝8，∴lg x＝2lg 5，∴x＝25.
3．已知lg32＝a，则lg3218用a表示为________．
解析：因为lg32＝a，所以lg23＝eq \f(1,a)，所以lg3218＝eq \f(1,5)lg2(2×32)＝eq \f(1,5)(1＋2lg23)＝eq \f(1,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋2×\f(1,a)))＝eq \f(a＋2,5a).
答案：eq \f(a＋2,5a)
[例3] 分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，说明声音环境优良，60～110为过渡区，110以上为有害区．
(1)试列出分贝y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？
[解] (1)由已知得y＝20lg eq \f(P,P0)(其中P0＝2×10－5)．
(2)当P＝0.002 时，
y＝20lg eq \f(0.002,2×10－5)＝20lg 102＝40(分贝)．
由已知条件知40分贝小于60分贝，
所以此地为噪音无害区，声音环境优良．
eq \a\vs4\al()
解决对数应用题的一般步骤

[跟踪训练]
在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
解析：选A 由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，得－26.7＋1.45＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，∴lg eq \f(E1,E2)＝－10.1，lg eq \f(E2,E1)＝10.1，eq \f(E2,E1)＝1010.1.
1．计算2lg63＋lg64的结果是( )
A．2 B．lg62
C．lg63 D．3
解析：选A 2lg63＋lg64＝lg69＋lg64＝lg636＝2.
2．已知3x＝lg12(3y)＋lg12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,y)))(y>0)，则x的值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
解析：选B 3x＝lg12(3y)＋lg12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,y)))＝lg1212＝1，所以x＝0，故选B.
3．已知lg34·lg48·lg8m＝lg416，则m等于( )
A.eq \f(9,2) B．9
C．18 D．27
解析：选B ∵lg34·lg48·lg8m＝eq \f(lg 4,lg 3)·eq \f(lg 8,lg 4)·eq \f(lg m,lg 8)＝eq \f(lg m,lg 3)＝2，∴lg m＝2lg 3，∴m＝9.
4．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，则下列各式：
①(lgax)n＝nlgax；
②(lgax)n＝lgaxn；
③lgax＝－lgaeq \f(1,x)；
④ eq \r(n,lgax)＝eq \f(1,n)lgax；
⑤eq \f(lgax,n)＝lgaeq \r(n,x).
其中正确的是________．
解析：根据对数的运算性质lgaMn＝nlgaM(M＞0，a＞0，且a≠1)知③与⑤正确．
答案：③⑤
5．计算：eq \f(（1－lg63）2＋lg62·lg618,lg64)＝________．
解析：原式＝eq \f(1－2lg63＋（lg63）2＋lg6\f(6,3)×lg6（6×3）,lg64)
＝eq \f(1－2lg63＋（lg63）2＋1－（lg63）2,lg64)
＝eq \f(2（1－lg63）,2lg62)＝eq \f(lg66－lg63,lg62)＝eq \f(lg62,lg62)＝1.
答案：1
对数式的运算
对数换底公式的应用
对数式的实际应用