高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第一课时导学案及答案

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第一课时 对数函数的图象和性质
观察下图，回答下面的问题．
[问题] (1)从图①上看，函数y＝lg2x与y＝lgeq \s\d9(\f(1,2))x的图象有什么关系？函数y＝lgax与y＝lgeq \s\d9(\f(1,a))x(a>0，且a≠1)呢？
(2)从图②上看，对数函数的图象的分布与底数有什么关系？



知识点一 对数函数的图象及性质
eq \a\vs4\al()
对数函数图象的再理解
(1)对数函数的图象永远在y轴的右侧，对数函数的图象都经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，(1，0)，(a，1)，且图象都在第一、四象限内；
(2)①若01且x>1，则有y>0；
②若01，或a>1且01．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝lg0.3x是减函数．( )
(2)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )
答案：(1)√ (2)√
2．下列所给函数图象可以是y＝lg2x的图象的是( )
答案：C
3．函数f(x)＝lga(x＋1)(a＞0，且a≠1)恒过________点．
答案：(0，0)
知识点二 反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数．两者的定义域和值域正好互换．
eq \a\vs4\al()
反函数性质的再理解
(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称；
(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．
1．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(x)的反函数是________．
答案：f(x)＝lgeq \s\d9(\f(2,3))x
2．函数g(x)＝lg8x的反函数是________．
答案：g(x)＝8x
3．已知y＝ax在R上是增函数，则y＝lgax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)
答案：增
[例1] (1)当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝lgax的图象为( )
(2)已知f(x)＝lga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
(1)[解析] y＝a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)，∵a＞1，∴0＜eq \f(1,a)＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0，1)；对数函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0)．故选C.
[答案] C
(2)[解] 因为f(－5)＝1，所以lga5＝1，即a＝5，故f(x)＝lg5|x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg5x（x＞0），,lg5（－x）（x＜0）.))
所以函数y＝lg5|x|的图象如图所示．
eq \a\vs4\al()
有关对数型函数图象的判断及应用技巧
(1)求函数y＝m＋lgaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)；
(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法；
(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．
[跟踪训练]
1．函数f(x)＝lga(x－1)＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过点( )
A．(1，1) B．(1，2)
C．(2，1) D．(2，2)
解析：选C 令x－1＝1，即x＝2，
得f(2)＝lga1＋1＝1，因此f(x)的图象恒过点(2，1)．故选C.
2．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是________．
解析：当a>1时，对数函数y＝lgax的图象是上升的；当0答案：eq \r(3)，eq \f(4,3)，eq \f(3,5)，eq \f(1,10)
3．作出函数y＝|lg2(x＋1)|的图象．
解：第一步：作y＝lg2x的图象，如图(1)所示．
第二步：将y＝lg2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝lg2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝lg2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|lg2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
[例2] (链接教科书第133页例3)比较下列各题中两个值的大小：
(1)lg31.9，lg32；
(2)lg23，lg0.32；
(3)lgaπ，lga3.14(a>0，且a≠1)．
[解] (1)因为y＝lg3x在(0，＋∞)上是增函数，且1.9<2，所以lg31.9(2)因为lg23>lg21＝0，lg0.32lg0.32.
(3)π>3.14，当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，
有lgaπ>lga3.14；
当0有lgaπ综上可得，当a>1时，lgaπ>lga3.14；当0eq \a\vs4\al()
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；
(4)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．
[跟踪训练]
比较下列各组对数值的大小：
(1)lgeq \s\d9(\f(1,2))eq \f(4,5)与lgeq \s\d9(\f(1,2))eq \f(6,7)；
(2)3lg45与2lg23；
(3)lgeq \s\d9(\f(1,3))0.3与lgeq \s\d9(\f(1,2))3；
解：(1)因为y＝lgeq \s\d9(\f(1,2))x在(0，＋∞)上单调递减，且eq \f(4,5)lgeq \s\d9(\f(1,2))eq \f(6,7).
(2)∵3lg45＝lg4125，2lg23＝lg29＝lg481，且函数y＝lg4x在区间(0，＋∞)上增函数，又125>81，所以3lg45>2lg23.
(3)由对数的性质知lgeq \s\d9(\f(1,3))0.3>0>lgeq \s\d9(\f(1,2))3，所以lgeq \s\d9(\f(1,3))0.3>lgeq \s\d9(\f(1,2))3.
[例3] 解不等式：
(1)lg2(2x＋3)≥lg2(5x－6)；
(2)lga(x－4)－lga(2x－1)＞0(a＞0且a≠1)．
[解] (1)原不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3＞0，,5x－6＞0，,2x＋3≥5x－6，))
解得eq \f(6,5)＜x≤3.
所以不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))＜x≤3)).
(2)原不等式化为lga(x－4)＞lga(2x－1)．
当a＞1时，
不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4＞0，,2x－1＞0，,x－4＞2x－1，)) 无解．
当0＜a＜1时，不等式等价于eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4＞0，,2x－1＞0，,x－4＜2x－1，))解得x＞4.
综上可知，当a＞1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解集为{x|x＞4}．
eq \a\vs4\al()
常见对数不等式的]2种解法
(1)形如lgax＞lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
(2)形如lgax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解．
[跟踪训练]
1．求满足不等式lg3x<1的x的取值集合．
解：∵lg3x<1＝lg33，
∴x满足的条件为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x>0，,lg3x即0∴x的取值集合为{x|02．已知lg0.7(2x)解：∵函数y＝lg0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
∴由lg0.7(2x)得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x>0，,x－1>0，,2x>x－1，))
解得x>1.
∴x的取值范围是(1，＋∞)．
1．函数y＝lga(x－2)(a＞0且a≠1)的图象恒过的定点是( )
A．(1，0) B．(2，0)
C．(3，0) D．(4，0)
解析：选C 令x－2＝1，得x＝3.当x＝3时，y＝0，故函数的图象恒过定点(3，0)．
2.如图，若C1，C2分别为函数y＝lgax和y＝lgbx的图象，则( )
A．0＜a＜b＜1
B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1
D．b＞a＞1
解析：选B 作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
3．已知lgaeq \f(1,2)>1，求a的取值范围．
解：由lgaeq \f(1,2)>1得lgaeq \f(1,2)>lgaa.
①当a>1时，有a②当0所以a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
新课程标准解读
核心素养
1.能用描点法或借助计算机工具画出具体对数函数的图象
直观想象
2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点
直观想象、逻辑推理
3.知道对数函数y＝lgax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)
数学抽象
a的范围
0＜a＜1
a＞1
图 象
性 质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
定点
(1，0)，即x＝eq \a\vs4\al(1)时，y＝eq \a\vs4\al(0)
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数
对数型函数的图象
比较对数值的大小
求解对数不等式