人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示随堂练习题，共5页。

1．(多选)下面几种说法中正确的有( )
A．相等向量的坐标相同
B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C．一个坐标对应唯一的一个向量
D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
解析：选ABD 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误，A、B、D正确．
2．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与eq \(AB,\s\up6(―→))相等，且A(1，3)，B(2，4)，则x的值为( )
A．1 B．1或4
C．0 D．－4
解析：选A 由已知得，eq \(AB,\s\up6(―→))＝(2－1，4－3)＝(1，1)，∵a＝(2x－1，x2＋3x－3)与eq \(AB,\s\up6(―→))相等，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1＝1，,x2＋3x－3＝1，))解得x＝1.故选A.
3．若eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1，1)，eq \(AD,\s\up6(―→))＝(0，1)，eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CD,\s\up6(―→))＝(a，b)，则a＋b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选A eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CD,\s\up6(―→))＝eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))＝(0，1)－(1，1)＝(－1，0)，故a＝－1，b＝0，a＋b＝－1.
4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))，则顶点D的坐标为( )
A．(4，5) B．(5，－4)
C．(3，2) D．(1，3)
解析：选A 设D点坐标为(x，y)，则eq \(BC,\s\up6(―→))＝(4，3)，eq \(AD,\s\up6(―→))＝(x，y－2)，由eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝x，,3＝y－2，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝5，))∴D(4，5)．
5．已知平行四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up6(―→))＝(3，7)，eq \(AB,\s\up6(―→))＝(－2，3)，对角线为eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(BD,\s\up6(―→))，则eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(BD,\s\up6(―→))＝( )
A．(1，10) B．(5，4)
C．(－4，6) D．(－5，2)
解析：选C ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＝(1，10)，eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AB,\s\up6(―→))＝(5，4)，
∴eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \(BD,\s\up6(―→))＝(1，10)－(5，4)＝(－4，6)．
6．在如图所示的平面直角坐标系中，向量eq \(AB,\s\up6(―→))的坐标是( )
A．(2，2) B．(－2，－2)
C．(1，1) D．(－1，－1)
解析：选D 因为A(2，2)，B(1，1)，所以eq \(AB,\s\up6(―→))＝(－1，－1)．故选D.
7．已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且eq \(OA,\s\up6(―→))＝eq \(BC,\s\up6(―→))，则点C的坐标为________．
解析：设C(x，y)，则eq \(BC,\s\up6(―→))＝(x＋2，y－3)，eq \(OA,\s\up6(―→))＝(2，1)．由eq \(OA,\s\up6(―→))＝eq \(BC,\s\up6(―→))，则x＝0，y＝4.∴点C的坐标为(0，4)．
答案：(0，4)
8．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＝________．
解析：法一：由题意得eq \(AB,\s\up6(―→))＝(2，3)，eq \(BC,\s\up6(―→))＝(－3，3)，
所以eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＝(2，3)＋(－3，3)＝(－1，6)．
法二：eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(AC,\s\up6(―→))＝(－1，6)．
答案：(－1，6)
9.如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和eq \(AB,\s\up6(―→))与eq \(AD,\s\up6(―→))的坐标．
解：由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函数的定义，得x1＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，y1＝sin 30°＝eq \f(1,2)，
∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).
x2＝cs 120°＝－eq \f(1,2)，y2＝sin 120°＝eq \f(\r(3),2)，
∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
∴eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
10．已知a＝eq \(AB,\s\up6(―→))，B点坐标为(1，0)，b＝(－9，12)，c＝(－2，2)，且a＝b－c，求点A的坐标．
解：∵b＝(－9，12)，c＝(－2，2)，
∴b－c＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，
即a＝(－7，10)＝eq \(AB,\s\up6(―→)).
又B(1，0)，设A点坐标为(x，y)，则eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1－x，0－y)＝(－7，10)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x＝－7，,0－y＝10))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝－10，))
即A点坐标为(8，－10)．
[B级 综合运用]
11．如果将eq \(OA,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，绕原点O逆时针方向旋转120°得到eq \(OB,\s\up6(―→))，则eq \(OB,\s\up6(―→))的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))
C．(－1，eq \r(3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
解析：选D 设eq \(OA,\s\up6(―→))绕原点O逆时针方向旋转120°得到的eq \(OB,\s\up6(―→))的坐标为(x，y)，则x＝|eq \(OA,\s\up6(―→))|cs(120°＋30°)＝－eq \f(\r(3),2)，y＝|eq \(OA,\s\up6(―→))|·sin(120°＋30°)＝eq \f(1,2)，由此可知B点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，故eq \(OB,\s\up6(―→))的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).故选D.
12．(多选)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，关于坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论，正确的结论有( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点不一定是原点
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
解析：选AC 由平面向量基本定理，可知A正确；例如，a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C正确；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故D错误．
13．已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且|eq \(AP,\s\up6(―→))|＝|eq \(PB,\s\up6(―→))|，则点P的坐标为________．
解析：设P点坐标为(x，y)，|eq \(AP,\s\up6(―→))|＝|eq \(PB,\s\up6(―→))|.
当P在线段AB上时，eq \(AP,\s\up6(―→))＝eq \(PB,\s\up6(―→)).
∴(x－3，y＋4)＝(－1－x，2－y)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3＝－1－x，,y＋4＝2－y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1.))
∴P点坐标为(1，－1)．
当P在线段AB延长线上时，eq \(AP,\s\up6(―→))＝－eq \(PB,\s\up6(―→)).
∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x，2－y)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3＝1＋x，,y＋4＝－2＋y，))此时无解．
综上所述，点P的坐标为(1，－1)．
答案：(1，－1)
14．在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
(1)若eq \(OP,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AC,\s\up6(―→))，求点P的坐标；
(2)若eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \(PB,\s\up6(―→))＋eq \(PC,\s\up6(―→))＝0，求eq \(OP,\s\up6(―→))的坐标．
解：(1)因为eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1，2)，eq \(AC,\s\up6(―→))＝(2，1)，
所以eq \(OP,\s\up6(―→))＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，
即点P的坐标为(3，3)．
(2)设点P的坐标为(x，y)，
因为eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \(PB,\s\up6(―→))＋eq \(PC,\s\up6(―→))＝0，又eq \(PA,\s\up6(―→))＋eq \(PB,\s\up6(―→))＋eq \(PC,\s\up6(―→))＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))
所以点P的坐标为(2，2)，故eq \(OP,\s\up6(―→))＝(2，2)．
[C级 拓展探究]
15．已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．
解：设D点的坐标为(x，y)，当平行四边形为ABCD时，由eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1，2)，eq \(DC,\s\up6(―→))＝(3－x，4－y)，且eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(DC,\s\up6(―→))，得D(2，2)．
当平行四边形为ACDB时，由eq \(AB,\s\up6(―→))＝(1，2)，eq \(CD,\s\up6(―→))＝(x－3，y－4)，且eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(CD,\s\up6(―→))，得D(4，6)．
当平行四边形为ACBD时，由eq \(AC,\s\up6(―→))＝(5，3)，eq \(DB,\s\up6(―→))＝(－1－x，3－y)，且eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(DB,\s\up6(―→))，得D(－6，0)，
故D点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0)．