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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算一课一练
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算一课一练，共6页。
1．在△ABC中，eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(―→))，则eq \f(BD,DC)＝( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D．2
解析：选B 因为eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(―→))，所以eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(―→))，即eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(―→))，所以eq \(DC,\s\up6(―→))＝2eq \(BD,\s\up6(―→))，所以eq \f(BD,DC)＝eq \f(|\(BD,\s\up6(―→))|,|\(DC,\s\up6(―→))|)＝eq \f(1,2)，故选B.
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a＋\f(1,2)b＋c))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,4)b－c))＝( )
A．a－eq \f(1,4)b＋2c B．5a－eq \f(1,4)b＋2c
C．a＋eq \f(5,4)b＋2c D．5a＋eq \f(5,4)b
解析：选A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a＋\f(1,2)b＋c))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,4)b－c))＝(3a－2a)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b－\f(3,4)b))＋(c＋c)＝a－eq \f(1,4)b＋2c.故选A.
3．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝( )
A.eq \f(5,7)b B．－eq \f(5,7)b
C.eq \f(7,5)b D．－eq \f(7,5)b
解析：选B ∵b与a的方向相反，∴存在实数λ<0，使a＝λb，∴|a|＝－λ|b|，即5＝－λ×7，∴λ＝－eq \f(5,7)，∴a＝－eq \f(5,7)b.
4．在梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(―→))＝3eq \(DC,\s\up6(―→))，则eq \(BC,\s\up6(―→))等于( )
A．－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→)) B．－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(4,3)eq \(AD,\s\up6(―→))
C．－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(―→)) D．－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))
解析：选A ∵在梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(―→))＝3eq \(DC,\s\up6(―→))，∴eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(DC,\s\up6(―→))＝－eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→)).故选A.
5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在不相等的两个实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，eq \(CD,\s\up6(―→))＝b
解析：选AB 对于A，可解得a＝eq \f(2,7)e，b＝－eq \f(8,7)e，故a与b共线；对于B，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0得a＝eq \f(μ,λ)b，故a与b共线；对于C，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能AD∥BC，故a与b不一定共线．
6．化简eq \f(2,5)(a－b)－eq \f(1,3)(2a＋4b)＋eq \f(2,15)(2a＋13b)＝________．
解析：原式＝eq \f(2,5)a－eq \f(2,5)b－eq \f(2,3)a－eq \f(4,3)b＋eq \f(4,15)a＋eq \f(26,15)b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)－\f(2,3)＋\f(4,15)))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)－\f(4,3)＋\f(26,15)))b＝0a＋0b＝0.
答案：0
7．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b.
解析：∵a与b共线，且方向相同，∴a＝λb(λ>0)，∴|a|＝|λb|＝|λ||b|.又|a|＝8|b|，∴|λ|＝8，∴λ＝8.
答案：8
8．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(1,3)，则eq \(DE,\s\up6(―→))＝________eq \(BC,\s\up6(―→)).
解析：∵eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(1,3)，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(1,3).又eq \(DE,\s\up6(―→))与eq \(BC,\s\up6(―→))同向，∴eq \(DE,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(―→)).
答案：eq \f(1,3)
9．在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，eq \(AD,\s\up6(―→))＝b，eq \(AN,\s\up6(―→))＝3eq \(NC,\s\up6(―→))，M为BC的中点，求eq \(MN,\s\up6(―→))(用a，b表示)．
解：法一：如图所示，在▱ABCD中，AC交BD于点O，
则点O平分AC和BD.
∵eq \(AN,\s\up6(―→))＝3eq \(NC,\s\up6(―→))，∴eq \(NC,\s\up6(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(―→))，
∴N为OC的中点，
又M为BC的中点，∴MN綉eq \f(1,2)BO，
∴eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(BO,\s\up6(―→))＝eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,4)(b－a)．
法二：eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \(MB,\s\up6(―→))＋eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(AN,\s\up6(―→))＝－eq \f(1,2)b－a＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(―→))
＝－eq \f(1,2)b－a＋eq \f(3,4)(a＋b)＝eq \f(1,4)(b－a)．
10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足eq \(AB,\s\up6(―→))＝e＋2f，eq \(BC,\s\up6(―→))＝－4e－f，eq \(CD,\s\up6(―→))＝－5e－3f.
(1)用e，f表示eq \(AD,\s\up6(―→))；
(2)证明四边形ABCD为梯形．
解：(1)由题意，有eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CD,\s\up6(―→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：由(1)知eq \(AD,\s\up6(―→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2eq \(BC,\s\up6(―→))，即eq \(AD,\s\up6(―→))＝2eq \(BC,\s\up6(―→)).
根据向量数乘的定义，eq \(AD,\s\up6(―→))与eq \(BC,\s\up6(―→))同方向，且eq \(AD,\s\up6(―→))的长度为eq \(BC,\s\up6(―→))的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形．
[B级 综合运用]
11．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )
A．a B．b
C．c D．0
解析：选D 依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，m，n∈R，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na，所以(1＋n)a＝(m＋1)c，又a与c不共线，所以m＝－1，n＝－1，故a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.故选D.
12.(多选)如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB＝2CD，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是( )
A.eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(―→))
B.eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CD,\s\up6(―→))＋eq \(DA,\s\up6(―→))＝0
C．|eq \(OA,\s\up6(―→))＋2eq \(OD,\s\up6(―→))|＝0
D.eq \(OA,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)eq \(DC,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(―→))
解析：选ABC 对于A，eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(CD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(―→))，所以A正确；对于B，eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CD,\s\up6(―→))＋eq \(DA,\s\up6(―→))＝0，所以B正确；对于C，易知△OCD∽△OBA，所以eq \f(CD,BA)＝eq \f(OD,OA)＝eq \f(1,2)，即eq \(OD,\s\up6(―→))＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(―→))，所以|eq \(OA,\s\up6(―→))＋2eq \(OD,\s\up6(―→))|＝|eq \(OA,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))|＝|0|eq \a\vs4\al(＝)0，所以C正确；对于D，eq \(OA,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)eq \(DA,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)(eq \(DB,\s\up6(―→))＋eq \(BA,\s\up6(―→)))＝eq \f(2,3)(eq \(DB,\s\up6(―→))＋2eq \(DC,\s\up6(―→)))＝eq \f(2,3)eq \(DB,\s\up6(―→))＋eq \f(4,3)eq \(DC,\s\up6(―→))，故D不正确．故选A、B、C.
13.如图，在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(NC,\s\up6(―→))，P是BN上的一点，若eq \(AP,\s\up6(―→))＝meq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up6(―→))，则实数m的值为________．
解析：eq \(AP,\s\up6(―→))＝eq \(AN,\s\up6(―→))＋eq \(NP,\s\up6(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(NP,\s\up6(―→))＝meq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up6(―→))，
∴eq \(NP,\s\up6(―→))＝meq \(AB,\s\up6(―→))－eq \f(3,44)eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(NB,\s\up6(―→))＝eq \(NC,\s\up6(―→))＋eq \(CB,\s\up6(―→))＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(―→))＋(eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→)))＝eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(―→))，
设eq \(NP,\s\up6(―→))＝λeq \(NB,\s\up6(―→))(0≤λ≤1)，则meq \(AB,\s\up6(―→))－eq \f(3,44)eq \(AC,\s\up6(―→))＝λeq \(AB,\s\up6(―→))－eq \f(1,4)λeq \(AC,\s\up6(―→))，
即(λ－m)eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,44)＋\f(1,4)λ))eq \(AC,\s\up6(―→))，
∵eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(AC,\s\up6(―→))不共线，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ－m＝0，,－\f(3,44)＋\f(1,4)λ＝0，))
∴m＝λ＝eq \f(3,11).
答案：eq \f(3,11)
14．如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝eq \f(1,3)BD，求证：M，N，C三点共线．
证明：因为eq \(BM,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(―→))，eq \(BN,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→)))，所以eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \(BN,\s\up6(―→))－eq \(BM,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \f(1,6)eq \(BA,\s\up6(―→))，①
eq \(MC,\s\up6(―→))＝eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \(BM,\s\up6(―→))＝eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(―→))，②
由①②可知eq \(MC,\s\up6(―→))＝3eq \(MN,\s\up6(―→))，所以eq \(MC,\s\up6(―→))与eq \(MN,\s\up6(―→))共线且有公共点M，所以M，N，C三点共线．
[C级 拓展探究]
15.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若eq \(OA,\s\up6(―→))＝a，eq \(OB,\s\up6(―→))＝b.
(1)试用a，b表示eq \(OP,\s\up6(―→))，eq \(OQ,\s\up6(―→))，并判断eq \(OP,\s\up6(―→))＋eq \(OQ,\s\up6(―→))与eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))的关系；
(2)受(1)的启发，如果点A1，A2，A3，…，An－1是AB的n(n≥3)等分点，你能得出什么结论？证明你的结论．
解：(1)eq \(OP,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(AP,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(―→))－\(OA,\s\up6(―→))))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
eq \(OQ,\s\up6(―→))＝eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \(BQ,\s\up6(―→))＝eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(―→))＝eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(―→))－eq \(OB,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b.
∴eq \(OP,\s\up6(―→))＋eq \(OQ,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a＋\f(2,3)b))＝a＋b，
即eq \(OP,\s\up6(―→))＋eq \(OQ,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)).
(2)结论：eq \(OA1,\s\up6(―→))＋eq \(OA2,\s\up6(―→))＋…＋eq \(OAn－1,\s\up6(――→))＝eq \f(n－1,2)·(a＋b)．
证明：先证明eq \(OAk,\s\up6(―→))＋eq \(OAn－k,\s\up6(――→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))(1≤k≤n－1，n，k∈N*)，
eq \(OAk,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(AAk,\s\up6(―→))， eq \(OAn－k,\s\up6(――→))＝eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \(BAn－k,\s\up6(―――→))，
∵eq \(AAk,\s\up6(―→))与eq \(BAn－k,\s\up6(―――→))是相反向量，
∴eq \(AAk,\s\up6(―→))＋eq \(BAn－k,\s\up6(――→))＝0，
∴eq \(OAk,\s\up6(―→))＋eq \(OAn－k,\s\up6(――→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)).
记S＝eq \(OA1,\s\up6(―→))＋eq \(OA2,\s\up6(―→))＋eq \(OA3,\s\up6(―→))＋…＋eq \(OAn－2,\s\up6(――→))＋eq \(OAn－1,\s\up6(――→))，
又S＝eq \(OAn－1,\s\up6(――→))＋eq \(OAn－2,\s\up6(――→))＋…＋eq \(OA2,\s\up6(―→))＋eq \(OA1,\s\up6(―→))，
∴2S＝(eq \(OA1,\s\up6(―→))＋eq \(OAn－1,\s\up6(――→)))＋(eq \(OA2,\s\up6(―→))＋eq \(OAn－2,\s\up6(――→)))＋…＋(eq \(OAn－1,\s\up6(――→))＋eq \(OA1,\s\up6(―→)))＝(n－1)(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)))，
∴S＝eq \f(n－1,2)(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)))，
∴eq \(OA1,\s\up6(―→))＋eq \(OA2,\s\up6(―→))＋…＋eq \(OAn－1,\s\up6(――→))＝eq \f(n－1,2)(a＋b)．
(结论：eq \(OA1,\s\up6(―→))＋eq \(OAn－1,\s\up6(――→))＝eq \(OA2,\s\up6(―→))＋eq \(OAn－2,\s\up6(――→))＝…＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))也正确，证明略)
1．在△ABC中，eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(―→))，则eq \f(BD,DC)＝( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D．2
解析：选B 因为eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(―→))，所以eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(―→))－eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(―→))，即eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(―→))，所以eq \(DC,\s\up6(―→))＝2eq \(BD,\s\up6(―→))，所以eq \f(BD,DC)＝eq \f(|\(BD,\s\up6(―→))|,|\(DC,\s\up6(―→))|)＝eq \f(1,2)，故选B.
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a＋\f(1,2)b＋c))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,4)b－c))＝( )
A．a－eq \f(1,4)b＋2c B．5a－eq \f(1,4)b＋2c
C．a＋eq \f(5,4)b＋2c D．5a＋eq \f(5,4)b
解析：选A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a＋\f(1,2)b＋c))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,4)b－c))＝(3a－2a)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b－\f(3,4)b))＋(c＋c)＝a－eq \f(1,4)b＋2c.故选A.
3．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝( )
A.eq \f(5,7)b B．－eq \f(5,7)b
C.eq \f(7,5)b D．－eq \f(7,5)b
解析：选B ∵b与a的方向相反，∴存在实数λ<0，使a＝λb，∴|a|＝－λ|b|，即5＝－λ×7，∴λ＝－eq \f(5,7)，∴a＝－eq \f(5,7)b.
4．在梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(―→))＝3eq \(DC,\s\up6(―→))，则eq \(BC,\s\up6(―→))等于( )
A．－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→)) B．－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(4,3)eq \(AD,\s\up6(―→))
C．－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(―→)) D．－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AD,\s\up6(―→))
解析：选A ∵在梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(―→))＝3eq \(DC,\s\up6(―→))，∴eq \(BC,\s\up6(―→))＝eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \(DC,\s\up6(―→))＝－eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(AD,\s\up6(―→)).故选A.
5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在不相等的两个实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，eq \(CD,\s\up6(―→))＝b
解析：选AB 对于A，可解得a＝eq \f(2,7)e，b＝－eq \f(8,7)e，故a与b共线；对于B，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0得a＝eq \f(μ,λ)b，故a与b共线；对于C，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能AD∥BC，故a与b不一定共线．
6．化简eq \f(2,5)(a－b)－eq \f(1,3)(2a＋4b)＋eq \f(2,15)(2a＋13b)＝________．
解析：原式＝eq \f(2,5)a－eq \f(2,5)b－eq \f(2,3)a－eq \f(4,3)b＋eq \f(4,15)a＋eq \f(26,15)b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)－\f(2,3)＋\f(4,15)))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)－\f(4,3)＋\f(26,15)))b＝0a＋0b＝0.
答案：0
7．已知a与b共线，且方向相同，若|a|＝8|b|，则a＝________b.
解析：∵a与b共线，且方向相同，∴a＝λb(λ>0)，∴|a|＝|λb|＝|λ||b|.又|a|＝8|b|，∴|λ|＝8，∴λ＝8.
答案：8
8．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(1,3)，则eq \(DE,\s\up6(―→))＝________eq \(BC,\s\up6(―→)).
解析：∵eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(1,3)，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(1,3).又eq \(DE,\s\up6(―→))与eq \(BC,\s\up6(―→))同向，∴eq \(DE,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(―→)).
答案：eq \f(1,3)
9．在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up6(―→))＝a，eq \(AD,\s\up6(―→))＝b，eq \(AN,\s\up6(―→))＝3eq \(NC,\s\up6(―→))，M为BC的中点，求eq \(MN,\s\up6(―→))(用a，b表示)．
解：法一：如图所示，在▱ABCD中，AC交BD于点O，
则点O平分AC和BD.
∵eq \(AN,\s\up6(―→))＝3eq \(NC,\s\up6(―→))，∴eq \(NC,\s\up6(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(―→))，
∴N为OC的中点，
又M为BC的中点，∴MN綉eq \f(1,2)BO，
∴eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(BO,\s\up6(―→))＝eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,4)(b－a)．
法二：eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \(MB,\s\up6(―→))＋eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(AN,\s\up6(―→))＝－eq \f(1,2)b－a＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(―→))
＝－eq \f(1,2)b－a＋eq \f(3,4)(a＋b)＝eq \f(1,4)(b－a)．
10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足eq \(AB,\s\up6(―→))＝e＋2f，eq \(BC,\s\up6(―→))＝－4e－f，eq \(CD,\s\up6(―→))＝－5e－3f.
(1)用e，f表示eq \(AD,\s\up6(―→))；
(2)证明四边形ABCD为梯形．
解：(1)由题意，有eq \(AD,\s\up6(―→))＝eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CD,\s\up6(―→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：由(1)知eq \(AD,\s\up6(―→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2eq \(BC,\s\up6(―→))，即eq \(AD,\s\up6(―→))＝2eq \(BC,\s\up6(―→)).
根据向量数乘的定义，eq \(AD,\s\up6(―→))与eq \(BC,\s\up6(―→))同方向，且eq \(AD,\s\up6(―→))的长度为eq \(BC,\s\up6(―→))的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形．
[B级 综合运用]
11．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝( )
A．a B．b
C．c D．0
解析：选D 依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，m，n∈R，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na，所以(1＋n)a＝(m＋1)c，又a与c不共线，所以m＝－1，n＝－1，故a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.故选D.
12.(多选)如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB＝2CD，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是( )
A.eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(―→))
B.eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CD,\s\up6(―→))＋eq \(DA,\s\up6(―→))＝0
C．|eq \(OA,\s\up6(―→))＋2eq \(OD,\s\up6(―→))|＝0
D.eq \(OA,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)eq \(DC,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(―→))
解析：选ABC 对于A，eq \(AD,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→))＝eq \(CD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(―→))，所以A正确；对于B，eq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→))＋eq \(CD,\s\up6(―→))＋eq \(DA,\s\up6(―→))＝0，所以B正确；对于C，易知△OCD∽△OBA，所以eq \f(CD,BA)＝eq \f(OD,OA)＝eq \f(1,2)，即eq \(OD,\s\up6(―→))＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(―→))，所以|eq \(OA,\s\up6(―→))＋2eq \(OD,\s\up6(―→))|＝|eq \(OA,\s\up6(―→))－eq \(OA,\s\up6(―→))|＝|0|eq \a\vs4\al(＝)0，所以C正确；对于D，eq \(OA,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)eq \(DA,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)(eq \(DB,\s\up6(―→))＋eq \(BA,\s\up6(―→)))＝eq \f(2,3)(eq \(DB,\s\up6(―→))＋2eq \(DC,\s\up6(―→)))＝eq \f(2,3)eq \(DB,\s\up6(―→))＋eq \f(4,3)eq \(DC,\s\up6(―→))，故D不正确．故选A、B、C.
13.如图，在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(NC,\s\up6(―→))，P是BN上的一点，若eq \(AP,\s\up6(―→))＝meq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up6(―→))，则实数m的值为________．
解析：eq \(AP,\s\up6(―→))＝eq \(AN,\s\up6(―→))＋eq \(NP,\s\up6(―→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(―→))＋eq \(NP,\s\up6(―→))＝meq \(AB,\s\up6(―→))＋eq \f(2,11)eq \(AC,\s\up6(―→))，
∴eq \(NP,\s\up6(―→))＝meq \(AB,\s\up6(―→))－eq \f(3,44)eq \(AC,\s\up6(―→))，eq \(NB,\s\up6(―→))＝eq \(NC,\s\up6(―→))＋eq \(CB,\s\up6(―→))＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(―→))＋(eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \(AC,\s\up6(―→)))＝eq \(AB,\s\up6(―→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(―→))，
设eq \(NP,\s\up6(―→))＝λeq \(NB,\s\up6(―→))(0≤λ≤1)，则meq \(AB,\s\up6(―→))－eq \f(3,44)eq \(AC,\s\up6(―→))＝λeq \(AB,\s\up6(―→))－eq \f(1,4)λeq \(AC,\s\up6(―→))，
即(λ－m)eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,44)＋\f(1,4)λ))eq \(AC,\s\up6(―→))，
∵eq \(AB,\s\up6(―→))，eq \(AC,\s\up6(―→))不共线，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ－m＝0，,－\f(3,44)＋\f(1,4)λ＝0，))
∴m＝λ＝eq \f(3,11).
答案：eq \f(3,11)
14．如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝eq \f(1,3)BD，求证：M，N，C三点共线．
证明：因为eq \(BM,\s\up6(―→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(―→))，eq \(BN,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)(eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \(BC,\s\up6(―→)))，所以eq \(MN,\s\up6(―→))＝eq \(BN,\s\up6(―→))－eq \(BM,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \f(1,6)eq \(BA,\s\up6(―→))，①
eq \(MC,\s\up6(―→))＝eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \(BM,\s\up6(―→))＝eq \(BC,\s\up6(―→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(―→))，②
由①②可知eq \(MC,\s\up6(―→))＝3eq \(MN,\s\up6(―→))，所以eq \(MC,\s\up6(―→))与eq \(MN,\s\up6(―→))共线且有公共点M，所以M，N，C三点共线．
[C级 拓展探究]
15.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若eq \(OA,\s\up6(―→))＝a，eq \(OB,\s\up6(―→))＝b.
(1)试用a，b表示eq \(OP,\s\up6(―→))，eq \(OQ,\s\up6(―→))，并判断eq \(OP,\s\up6(―→))＋eq \(OQ,\s\up6(―→))与eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))的关系；
(2)受(1)的启发，如果点A1，A2，A3，…，An－1是AB的n(n≥3)等分点，你能得出什么结论？证明你的结论．
解：(1)eq \(OP,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(AP,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(―→))－\(OA,\s\up6(―→))))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(―→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
eq \(OQ,\s\up6(―→))＝eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \(BQ,\s\up6(―→))＝eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BA,\s\up6(―→))＝eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(―→))－eq \(OB,\s\up6(―→)))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(―→))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b.
∴eq \(OP,\s\up6(―→))＋eq \(OQ,\s\up6(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a＋\f(2,3)b))＝a＋b，
即eq \(OP,\s\up6(―→))＋eq \(OQ,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)).
(2)结论：eq \(OA1,\s\up6(―→))＋eq \(OA2,\s\up6(―→))＋…＋eq \(OAn－1,\s\up6(――→))＝eq \f(n－1,2)·(a＋b)．
证明：先证明eq \(OAk,\s\up6(―→))＋eq \(OAn－k,\s\up6(――→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))(1≤k≤n－1，n，k∈N*)，
eq \(OAk,\s\up6(―→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(AAk,\s\up6(―→))， eq \(OAn－k,\s\up6(――→))＝eq \(OB,\s\up6(―→))＋eq \(BAn－k,\s\up6(―――→))，
∵eq \(AAk,\s\up6(―→))与eq \(BAn－k,\s\up6(―――→))是相反向量，
∴eq \(AAk,\s\up6(―→))＋eq \(BAn－k,\s\up6(――→))＝0，
∴eq \(OAk,\s\up6(―→))＋eq \(OAn－k,\s\up6(――→))＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)).
记S＝eq \(OA1,\s\up6(―→))＋eq \(OA2,\s\up6(―→))＋eq \(OA3,\s\up6(―→))＋…＋eq \(OAn－2,\s\up6(――→))＋eq \(OAn－1,\s\up6(――→))，
又S＝eq \(OAn－1,\s\up6(――→))＋eq \(OAn－2,\s\up6(――→))＋…＋eq \(OA2,\s\up6(―→))＋eq \(OA1,\s\up6(―→))，
∴2S＝(eq \(OA1,\s\up6(―→))＋eq \(OAn－1,\s\up6(――→)))＋(eq \(OA2,\s\up6(―→))＋eq \(OAn－2,\s\up6(――→)))＋…＋(eq \(OAn－1,\s\up6(――→))＋eq \(OA1,\s\up6(―→)))＝(n－1)(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)))，
∴S＝eq \f(n－1,2)(eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→)))，
∴eq \(OA1,\s\up6(―→))＋eq \(OA2,\s\up6(―→))＋…＋eq \(OAn－1,\s\up6(――→))＝eq \f(n－1,2)(a＋b)．
(结论：eq \(OA1,\s\up6(―→))＋eq \(OAn－1,\s\up6(――→))＝eq \(OA2,\s\up6(―→))＋eq \(OAn－2,\s\up6(――→))＝…＝eq \(OA,\s\up6(―→))＋eq \(OB,\s\up6(―→))也正确，证明略)
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