人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示一课一练

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复数的三角表示式　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义[A级　基础巩固]1．若a<0，则a的三角形式为(　　)A．a(cos 0＋isin 0)　　　 B．a(cos π＋isin π)C．－a(cos π＋isin π)  D．－a(cos π－isin π)解析：选C　因为a<0，所以辐角主值为π，故其三角形式为－a(cos π＋isin π)．故选C.2．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是(　　)A．sin 30°＋icos 30°  B．cos 160°＋isin 160°C．cos 30°＋isin 30°  D．sin 160°＋icos 160°解析：选B　(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)＝(cos 80°＋isin 80°)(cos 80°＋isin 80°)＝cos 160°＋isin160°.故选B.3．(多选)设p：两个复数z1，z2的模与辐角分别相等，q：z1＝z2，则(　　)A．p⇒q  B．p⇒/ qC．q⇒p  D．q⇒/ p解析：选AD　当两个复数z1，z2的模与辐角分别相等时，z1＝z2成立；当z1＝z2时，两个复数的模相等，但辐角不一定相等，故p⇒q，q⇒/ p．故选A、D.4．将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是(　　)A．＋i  B．－＋iC．－－i  D．－i解析：选A　i＝cos ＋isin ，将绕原点按顺时针方向旋转得到＝cos ＋isin ＝＋i.5．2÷2(cos 60°＋isin 60°)＝(　　)A.＋i  B.－iC.＋i  D.－i解析：选B　2÷2(cos 60°＋isin 60°)＝2(cos 0°＋isin 0°)÷2(cos 60°＋isin 60°)＝cos(0°－60°)＋isin(0°－60°)＝cos(－60°)＋isin(－60°)＝－i.故选B.6．若|z|＝2，arg z＝，则复数z＝________．解析：由题意知，z＝2＝1＋i.答案：1＋i7．复数cos＋isin的辐角主值是________．解析：原式＝cos＋isin＝cos＋isin，故其辐角主值为.答案：8．计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝________．解析：(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝ cos(40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos 30°＋isin 30°＝＋i.答案：＋i9．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)－2；(2)sin ＋icos .解：(1)不是．－2＝2＝2＝2.(2)不是．sin ＋icos ＝cos＋isin＝cos＋isin.10．计算：(1)2×；(2)2÷.解：(1)原式＝2×＝＝－＋i.(2)原式＝2÷＝2＝2＝－2i.[B级　综合运用]11．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ＋isin θ)的辐角的主值是(　　)A．θ＋  B．θ＋C．θ－  D．θ＋解析：选B　(1＋i)(cos θ＋isin θ)＝·(cos θ＋isin θ)＝，∵θ∈，∴θ＋∈，∴该复数的辐角主值是θ＋.故选B.12．设z＝1＋i，则复数的代数形式为________，三角形式是________．解析：将z＝1＋i代入，得原式＝＝＝1－i＝.答案：1－i　13.如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．解析：∵A，B所表示的复数分别是＋i和2，所表示的复数为－i，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为＝＋i，＝＋＝＋i＋＋i＝2＋i，即点C对应的复数是2＋i.答案：2＋i14．设z1＝＋i，z2＝1－i，z3＝sin ＋icos ，求的值．解：∵z1＝＋i＝2，z2＝1－i＝，∴＝＝＝4＝4＝－2－2i.[C级　拓展探究]15．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，且z1·z在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式．解：因为z1＝＋i＝2(cos ＋isin )，设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，所以z1·z＝2×4(cos 2α＋isin 2α)＝8.由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z)．又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2＝－1＋i.