高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性巩固练习，共7页。

1．社区开展“建军90周年主题活动——军事知识竞赛”，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为eq \f(3,5)和eq \f(2,3)，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,15)
C.eq \f(13,15) D.eq \f(8,15)
解析：选C 由题意可知，甲、乙两人都不能获得一等奖的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(2,15)，故这两人中至少有一人获得一等奖的概率为1－eq \f(2,15)＝eq \f(13,15).故选C.
2．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒．某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为( )
A.eq \f(7,64) B.eq \f(25,192)
C.eq \f(35,192) D.eq \f(35,576)
解析：选C 由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为eq \f(5,12)，eq \f(7,12)，eq \f(3,4).在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为eq \f(5,12)×eq \f(7,12)×eq \f(3,4)＝eq \f(35,192).
3．从甲袋中摸出1个白球的概率为eq \f(1,3)，从乙袋内摸出1个白球的概率是eq \f(1,2)，从两个袋内各摸1个球，那么概率为eq \f(5,6)的事件是( )
A．2个球都是白球 B．2个球都不是白球
C．2个球不都是白球 D．2个球恰好有1个白球
解析：选C 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)，
∴两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝eq \f(5,6).
4．设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq \f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,18)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
解析：选D 由题意，P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,9)，
P(eq \x\t(A))·P(B)＝P(A)·P(eq \x\t(B))．
设P(A)＝x，P(B)＝y，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x1－y＝\f(1,9)，,1－xy＝x1－y，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x－y＋xy＝\f(1,9)，,x＝y.))
∴x2－2x＋1＝eq \f(1,9)，
∴x－1＝－eq \f(1,3)或x－1＝eq \f(1,3)(舍去)，
∴x＝eq \f(2,3).
5．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个命题：
①事件A与事件B相互独立；
②事件B与事件C相互独立；
③事件C与事件A相互独立．
以上命题中，正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,2)，P(C)＝eq \f(1,2)，
P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝eq \f(1,4).
因为P(AB)＝eq \f(1,4)＝P(A)P(B)，所以A，B相互独立；
因为P(AC)＝eq \f(1,4)＝P(A)P(C)，所以A，C相互独立；
因为P(BC)＝eq \f(1,4)＝P(B)P(C)，所以B，C相互独立．
6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．
解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
答案：0.26
7．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．
解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.
答案：0.09
8．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是________．
解析：设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为事件eq \x\t(A)，eq \x\t(B)，eq \x\t(C)，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P(eq \x\t(A))＝0.2，P(eq \x\t(B))＝0.3，P(eq \x\t(C))＝0.1，至少两颗预报准确的事件有ABeq \x\t(C)，Aeq \x\t(B)C，eq \x\t(A)BC，ABC，这四个事件两两互斥．
∴至少两颗卫星预报准确的概率为P＝P(ABeq \x\t(C))＋P(Aeq \x\t(B)C)＋P(eq \x\t(A)BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.
答案：0.902
9．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率．
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．
解：设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1,2,3.
(1)第3次才接通电话可表示为eq \x\t(A)1 eq \a\vs4\al(\x\t(A)2)A3，
于是所求概率为P(eq \a\vs4\al(\x\t(A)1) eq \a\vs4\al(\x\t(A)2)A3)＝eq \f(9,10)×eq \f(8,9)×eq \f(1,8)＝eq \f(1,10).
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋eq \x\t(A)1A2＋eq \a\vs4\al(\x\t(A)1) eq \a\vs4\al(\x\t(A)2)A3，由于事件A1，eq \x\t(A)1A2，eq \a\vs4\al(\x\t(A)1) eq \a\vs4\al(\x\t(A)2)A3两两互斥，
于是所求概率为P(A1＋eq \x\t(A)1A2＋eq \a\vs4\al(\x\t(A)1) eq \a\vs4\al(\x\t(A)2)A3)
＝P(A1)＋P(eq \x\t(A)1A2)＋P(eq \a\vs4\al(\x\t(A)1) eq \a\vs4\al(\x\t(A)2)A3)
＝eq \f(1,10)＋eq \f(9,10)×eq \f(1,9)＋eq \f(9,10)×eq \f(8,9)×eq \f(1,8)＝eq \f(3,10).
10．甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
(3)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
解：记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai，Bi相互独立．
(1)“甲试跳三次，第三次才成功”为事件eq \a\vs4\al(\x\t(A)1) eq \a\vs4\al(\x\t(A)2)A3，且这三次试跳相互独立．
所以P(eq \a\vs4\al(\x\t(A)1) eq \a\vs4\al(\x\t(A)2)A3)＝P(eq \x\t(A)1)P(eq \x\t(A)2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.
(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C，则P(C)＝1－P(eq \x\t(A)1)P(eq \x\t(B)1)＝1－0.3×0.4＝0.88.
(3)记“甲在两次试跳中成功j次”为事件Mj(j＝0,1,2)，“乙在两次试跳中成功j次”为事件Nj(j＝0,1,2)，因为事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0＋M2N1，且M1N0，M2N1为互斥事件，则所求的概率为
P(M1N0＋M2N1)
＝P(M1N0)＋P(M2N1)
＝P(M1)P(N0)＋P(M2)P(N1)
＝2×0.7×0.3×0.42＋0.72×2×0.6×0.4
＝0.067 2＋0.235 2＝0.302 4.
所以甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.302 4.
[B级 综合运用]
11．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是eq \f(1,2)，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )
A.eq \f(3,16) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(13,16) D.eq \f(1,4)
解析：选C 记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为P(eq \x\t(C))P(eq \x\t(D))[1－P(AB)]＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq \f(3,16).所以灯亮的概率为1－eq \f(3,16)＝eq \f(13,16).故选C.
12．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝eq \f(1,6)，P(eq \x\t(B) C)＝eq \f(1,8)，P(ABeq \x\t(C))＝eq \f(1,8)，则P(B)＝________，P(eq \x\t(A)B)＝________.
解析：∵P(ABeq \x\t(C))＝P(AB)P(eq \x\t(C))＝eq \f(1,6)P(eq \x\t(C))＝eq \f(1,8)，
∴P(eq \x\t(C))＝eq \f(3,4)，即P(C)＝eq \f(1,4).
又P(eq \x\t(B) C)＝P(eq \x\t(B))P(C)＝eq \f(1,8)，
∴P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,2).
又P(AB)＝eq \f(1,6)，则P(A)＝eq \f(1,3)，
∴P(eq \x\t(A)B)＝P(eq \x\t(A))P(B)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,2) eq \f(1,3)
13．在某校运动会上，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为eq \f(1,3)，甲胜丙的概率为eq \f(1,4)，乙胜丙的概率为eq \f(1,3).
(1)甲队获第一名且丙队获第二名的概率为________；
(2)在该次比赛中甲队至少得3分的概率为________．
解析：(1)设甲队获第一且丙队获第二为事件A，
则P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,18).
(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，则P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,12)＋eq \f(1,12)＝eq \f(1,2).
答案：(1)eq \f(1,18) (2)eq \f(1,2)
14．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是P，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
(1)求P;
(2)求电流能在M与N之间通过的概率．
解：记事件Ai表示“电流能通过Ti”，i＝1,2,3,4，
事件A表示“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流”，
事件B表示“电流能在M与N之间通过”．
(1)eq \(A,\s\up6(－))＝eq \(A,\s\up6(－))1eq \(A,\s\up6(－))2eq \(A,\s\up6(－))3，A1，A2，A3相互独立，
所以P(eq \(A,\s\up6(－)))＝P(eq \x\t(A1)eq \x\t(A2)eq \x\t(A3))＝P(eq \x\t(A1))P(eq \x\t(A2))P(eq \x\t(A3))＝(1－P)3.
又P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，
所以(1－P)3＝0.001，解得P＝0.9.
(2)因为B＝A4＋eq \x\t(A4)A1A3＋eq \x\t(A4)eq \x\t(A1)A2A3，
所以P(B)＝P(A4)＋P(eq \x\t(A4)A1A3)＋P(eq \x\t(A4)eq \x\t(A1)A2A3)
＝P(A4)＋P(eq \x\t(A4))P(A1)P(A3)＋P(eq \x\t(A4))P(eq \x\t(A1))P(A2)·P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9
＝0.989 1.
[C级 拓展探究]
15．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为eq \f(3,4)，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为eq \f(1,2).假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢．
(1)求第四盘棋甲赢的概率；
(2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
解：(1)第四盘棋甲赢分两种情况．
①第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，此时的概率P1＝eq \f(3,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(9,16)；
②第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，此时的概率P2＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8).
设事件A为“第四盘棋甲赢”，
则P(A)＝P1＋P2＝eq \f(9,16)＋eq \f(1,8)＝eq \f(11,16).
(2)若甲恰好赢三盘棋，则他在后三盘棋中只赢一盘，分三种情况．
①甲第三盘赢，此时的概率P3＝eq \f(3,4)×eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,32)；
②甲第四盘赢，此时的概率P4＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,16)；
③甲第五盘赢，此时的概率P5＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,16).
设事件B为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋”，
则P(B)＝P3＋P4＋P5＝eq \f(3,32)＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,16)＝eq \f(7,32).