人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件练习

充要条件

[A级　基础巩固]

1．“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的(　　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选C　因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件．

2．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

解析：选B　由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，

反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.

∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B.

3．已知命题p：－1<x<1，命题q：x≥－2，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

解析：选A　依题意可知p⇒q成立，反之不成立．即p是q的充分不必要条件，故选A.

4．a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)

A．ab＝0  B．ab＞0

C．a2＋b2＝0  D．a2＋b2＞0

解析：选D　a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.

5．(多选)下列说法中正确的是(　　)

A．“A∩B＝B”是“B＝∅”的必要不充分条件

B．“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”

C．“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”

D．“|x|＝1”是“x＝1”的充分条件

解析：选ABC　由A∩B＝B得B⊆A，所以“B＝∅”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，所以A正确；“x＝3”可推出“x2－2x－3＝0”，反之不一定成立，所以B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，所以C正确；由“|x|＝1”，推不出“x＝1”，“x＝1”可推出“|x|＝1”，故“|x|＝1”是“x＝1”的必要不充分条件，所以D错．故选A、B、C.

6．已知x，y为两个正整数，p：x＝2且y＝3，q：x＋y＝5，则p是q的________条件．

解析：若x＝2且y＝3，则x＋y＝5成立；

反之当x＝1，y＝4时，满足x＋y＝5，但x＝2且y＝3不成立，即p⇒q，q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．

答案：充分不必要

7．对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈(A∪B)的________条件．

解析：由x∈B，可得x∈(A∪B)；反之，因为A⊆B，A∪B＝B，所以由x∈(A∪B)可得x∈B，故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件．

答案：充要

8．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个合适的填空．

(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；

(2)“x＜5”是“x＜3”的________．

解析：(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．

(2)设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＜3}，因为A⃘B，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件．

答案：(1)充要条件　(2)必要不充分条件

9．已知集合A＝{x∈R|0＜ax＋1≤3}(a≠0)，集合B＝{x∈R|－1＜x≤2}．若命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解：由题意得AB.

由集合A得，－1＜ax≤2.(*)

①当a＞0时，

由(*)得A＝，

因为AB，所以或

解得a＞1.

②当a＜0时，

由(*)式得A＝，

因为AB，所以解得a＜－2.

综上，实数a的取值范围是{a|a＜－2或a＞1}．

10．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0的解集中有且最多有一个负实数的充要条件．

解：由方程ax2＋2x＋1＝0的解集中有且最多有一个负实数的元素，得

若a＝0，则x＝－，符合题意．

若a≠0，方程ax2＋2x＋1＝0有实数根，则Δ＝4－4a≥0，解得a≤1，

当a＝1时，方程有两个相等的负实数根x1＝x2＝－1，符合题意．

当a＜1且a≠0时，若方程有且最多有一个负实数根，则＜0，即a＜0.

所以当a≤0或a＝1时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0的解集中有且最多有一个负实数元素．

综上“方程ax2＋2x＋1＝0的解集中有且最多有一个负实数元素”的充要条件为“a≤0或a＝1”．

[B级　综合运用]

11．(多选)下列结论中正确的是(　　)

A．“x2＞4”是“x＜－2”的必要不充分条件

B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件

C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件

D．“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件

解析：选ACD　x＜－2⇒x2＞4，但x2＞4⇔x＞2或x＜－2，不一定有x＜－2.故A正确．

AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，反之，若△ABC为直角三角形，当B，C为直角时，不能推出AB2＋AC2＝BC2，故B错误．a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故C正确．

当x2为无理数时，x为无理数，反之不成立，故D正确．故选A、C、D.

12．已知p：{x|x＋2≥0且x－10≤0}，q：{x|4－m≤x≤4＋m，m＞0}．若p是q的充要条件，则实数m的值为(　　)

A．4  B．5

C．6  D．7

解析：选C　由已知得p：{x|－2≤x≤10}．由p是q的充要条件得{x|－2≤x≤10}＝{x|4－m≤x≤4＋m，m＞0}，因此解得m＝6，故选C.

13．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出适合的条件，用序号填空：

(1)“使a，b都为0”的必要条件是________；

(2)“使a，b都不为0”的充分条件是________；

(3)“使a，b至少有一个为0”的充要条件是________．

解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；

②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；

③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或

④ab＞0⇔或则a，b都不为0.

答案：(1)①②③　(2)④　(3)①

14．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0.

证明：必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，

所以x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根，x1≠x2)，所以ac＜0.所以必要性成立．

充分性：由ac＜0，可推得b2－4ac＞0，及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根且x1≠x2)，所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根．所以充分性成立．

综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0.

[C级　拓展探究]

15．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c.则△ABC为直角三角形的充要条件是a2＋b2＝c2.试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明．

解：△ABC为锐角三角形的充要条件为a2＋b2＞c2.

证明：充分性．若a2＋b2＞c2，则△ABC不是直角三角形，如果△ABC为钝角三角形，则∠C＞90°，过点B作AC的延长线的垂线，垂足为D(如图①)，由勾股定理知c2＝BD2＋(b＋CD)2

＝BD2＋CD2＋b2＋2·CD·b

＝a2＋b2＋2·CD·b＞a2＋b2矛盾，故△ABC为锐角三角形．

必要性：过点A作边BC的垂线，垂足为D(如图②)，由勾股定理知，

c2＝AD2＋BD2

＝AD2＋(a－CD)2

＝b2－CD2＋(a－CD)2

＝a2＋b2－2·CD·a＜a2＋b2.

故必要性成立，故△ABC为锐角三角形的充要条件为a2＋b2>c2.