人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数同步训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数同步训练题，共4页。

1．(多选)下列指数式与对数式互化正确的有( )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．lg39＝2与9eq \s\up6(\f(1,2))＝3
C．8eq \s\up6(－\f(1,3))＝eq \f(1,2)与lg8eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3)
D．lg77＝1与71＝7
解析：选ACD lg39＝2化为指数式为32＝9，故B错误，A、C、D正确．
2．方程2lg3x＝eq \f(1,4)的解是( )
A．x＝eq \f(1,9) B．x＝eq \f(\r(3),3)
C．x＝eq \r(3) D．x＝9
解析：选A ∵2lg3x＝2－2，∴lg3x＝－2，
∴x＝3－2＝eq \f(1,9).
3．在b＝lg3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,2)))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,2)))
解析：选B 要使式子b＝lg3a－1(3－2a)有意义，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a－1>0，,3a－1≠1，,3－2a>0，))解得eq \f(1,3)4．若lg3(lg2x)＝1，则xeq \s\up6(－\f(1,2))＝( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2\r(3))
C.eq \f(1,2\r(2)) D.eq \f(1,3\r(3))
解析：选C ∵lg3(lg2x)＝1，∴lg2x＝3，
∴x＝23＝8，则x－eq \f(1,2)＝eq \f(1,\r(8))＝eq \f(1,2\r(2)).
5．若lg32＝x，则3x＋9x的值为( )
A．6 B．3
C.eq \f(5,2) D.eq \f(1,2)
解析：选A 由lg32＝x得3x＝2，因此9x＝(3x)2＝4，所以3x＋9x＝2＋4＝6，故选A.
6．已知函数y＝ax－2＋3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，点P在幂函数y＝f(x)的图象上，则lg3f(3)＝________．
解析：函数y＝ax－2＋3中，令x－2＝0，解得x＝2，
此时y＝1＋3＝4，所以定点P(2，4)．
设幂函数y＝f(x)＝xα(α≠0)，
则2α＝4，解得α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(3)＝32＝9，
所以lg3f(3)＝lg39＝2.
答案：2
7．已知lgaeq \f(1,2)＝m，lga3＝n，则am＋2n等于________．
解析：∵lgaeq \f(1,2)＝m，lga3＝n，∴am＝eq \f(1,2)，an＝3.
故am＋2n＝am·(an)2＝eq \f(1,2)×32＝eq \f(9,2).
答案：eq \f(9,2)
8．使方程(lg x)2－lg x＝0的x的值为________．
解析：由lg x(lg x－1)＝0得lg x＝0或lg x＝1，即x＝1或x＝10.
答案：1或10
9．求下列各式中的x的值：
(1)lgx27＝eq \f(3,2)；
(2)lg2x＝－eq \f(2,3)；
(3)lg5(lg2x)＝0；
(4)x＝lg27eq \f(1,9).
解：(1)由lgx27＝eq \f(3,2)，得xeq \s\up6(\f(3,2))＝27，∴x＝27eq \s\up6(\f(2,3))＝32＝9.
(2)由lg2x＝－eq \f(2,3)，得2eq \s\up6(－\f(2,3))＝x，
∴x＝eq \f(1,\r(3,22))＝eq \f(\r(3,2),2).
(3)由lg5(lg2x)＝0，得lg2x＝1.∴x＝2.
(4)由x＝lg27eq \f(1,9)，得27x＝eq \f(1,9)，
即33x＝3－2，则3x＝－2，
∴x＝－eq \f(2,3).
10．(1)证明：对数恒等式algaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；
(2)求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1＋lg0.5)4和2 eq \s\up12(3＋lg23)＋3 eq \s\up12(2－lg39)的值．
解：(1)证明：由ax＝N得x＝lgaN，把后者代入前者得algaN＝N.
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1＋lg0.5)4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(lg\s\d9(\f(1,2))4)＝2×4＝8.
23＋lg23＋32－lg39＝23×2lg23＋eq \f(32,3eq \s\up12(lg39))＝8×3＋eq \f(9,9)＝25.
[B级 综合运用]
11．(2021·江苏海安高一月考)设x＝lg32，则eq \f(33x－3－3x,32x－3－2x)的值为( )
A.eq \f(21,10) B．－eq \f(21,10)
C.eq \f(17,10) D.eq \f(13,10)
解析：选A ∵x＝lg32，∴3x＝2，32x＝4，33x＝8.
∴eq \f(33x－3－3x,32x－3－2x)＝eq \f(8－\f(1,8),4－\f(1,4))＝eq \f(21,10).故选A.
12．已知f(2x＋1)＝eq \f(x,3)，则f(4)＝( )
A.eq \f(1,3)lg25 B.eq \f(1,3)lg23
C.eq \f(2,3) D.eq \f(4,3)
解析：选B 令2x＋1＝4，得x＝lg23，所以f(4)＝eq \f(1,3)lg23.
13．若lgeq \s\d9(\f(1,2))x＝m，lgeq \s\d9(\f(1,4))y＝m＋2，则eq \f(x2,y)的值为________．
解析：∵lgeq \s\d9(\f(1,2))x＝m，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(m)＝x，x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2m).
∵lgeq \s\d9(\f(1,4))y＝m＋2，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(m＋2)＝y，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2m＋4).
∴eq \f(x2,y)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2m),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2m＋4))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2m－（2m＋4）)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－4)＝16.
答案：16
14．已知lg2(lg3(lg4x))＝0，且lg4(lg2y)＝1.求eq \r(x)·yeq \s\up6(\f(3,4))的值．
解：∵lg2(lg3(lg4x))＝0，∴lg3(lg4x)＝1，
∴lg4x＝3，∴x＝43＝64.
由lg4(lg2y)＝1，知lg2y＝4，∴y＝24＝16.
因此eq \r(x)·yeq \s\up6(\f(3,4))＝eq \r(64)×16eq \s\up6(\f(3,4))＝8×8＝64.
[C级 拓展探究]
15．已知lgab＝lgba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．试探究a与b的关系，并给出证明．
解：a＝b或a＝eq \f(1,b).证明如下：
设lgab＝lgba＝k，
则b＝ak，a＝bk，所以b＝(bk)k＝bk2，因为b>0，且b≠1，所以k2＝1，即k＝±1.当k＝－1时，a＝eq \f(1,b)；
当k＝1时，a＝b.所以a＝b或a＝eq \f(1,b).