人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课时训练

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1．设点P是函数f(x)＝sin ωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值为eq \f(π,4)，则f(x)的最小正周期为( )
A．2π B．π
C.eq \f(π,2) D.eq \f(π,4)
解析：选B 函数f(x)＝sin ωx与f(x)＝sin x的图象形状相同，观察图象可知对称中心与对称轴最近距离为eq \f(1,4)T.由题意得eq \f(1,4)T＝eq \f(π,4)，所以T＝π.
2．(多选)已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)与g(x)＝eq \f(A,2)cs ωx的部分图象如图所示，则( )
A．A＝1 B．A＝2
C．ω＝eq \f(π,3) D．ω＝eq \f(3,π)
解析：选BC 由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝eq \f(A,2)cs ωx，即eq \f(A,2)＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asin ωx.由f(x)的图象可知，T＝eq \f(2π,ω)＝1.5×4，可得ω＝eq \f(π,3).
3．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))，则有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))等于( )
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
解析：选D 由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))知，x＝eq \f(π,6)是函数的对称轴，解得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝－3或3.故选D.
4．函数f(x)＝eq \r(3)sin(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则φ等于( )
A.eq \f(π,6) B．－eq \f(π,6)
C.eq \f(π,3) D．－eq \f(π,3)
解析：选D 函数f(x)＝eq \r(3)sin(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后，得到函数y＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图象．由于平移后的图象关于原点对称，∴eq \f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，由|φ|5.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，同点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t＋\f(π,6))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,60)t－\f(π,6)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,30)t＋\f(π,6))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,30)t－\f(π,6)))
解析：选C ∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω<0.又由每60秒转一周，∴ω＝－eq \f(2π,60)＝－eq \f(π,30)(弧度/秒)，
由P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，得cs φ＝eq \f(\r(3),2)，sin φ＝eq \f(1,2).解得φ＝eq \f(π,6).
∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,30)t＋\f(π,6)))，故选C.
6．已知函数y＝sin(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的图象关于直线x＝eq \f(π,3)对称，则φ的值为________．
解析：由题意可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋φ))＝±1，解得eq \f(2π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，即φ＝－eq \f(π,6)＋kπ(k∈Z)．
因为－eq \f(π,2)<φ答案：－eq \f(π,6)
7．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的对称轴方程是________．
解析：对于函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，
令2x－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)(k∈Z)．
答案：x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,3)(k∈Z)
8．某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中0经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．
解析：
在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．根据函数图象的大致走势，可知点(1，0)不符合题意；
又∵0∴A＝2.
∵函数图象过(0，1)，∴2sin φ＝1，
又∵－eq \f(π,2)<φ由(0，1)，(2，1)关于直线x＝1对称，
知x＝1时函数取得最大值2，
因此函数的最小正周期为6.
∴ω＝eq \f(π,3).
故y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,6))).
答案：y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋\f(π,6)))
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)图象上的一个最低点为Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，－2))，且f(x)的图象与x轴的两个相邻交点之间的距离为2π.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象沿x轴向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,3)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上的值域．
解：(1)由题意知A＝2，eq \f(T,2)＝2π，故T＝4π＝eq \f(2π,ω)，
∴ω＝eq \f(1,2)，
又函数f(x)的图象过点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，－2))，
∴2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＝－2，
∴eq \f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
即φ＝2kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z，
又－π<φ<0，
∴φ＝－eq \f(3π,4).
则f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(3π,4))).
(2)将函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(3π,4)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后，
得到函数y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－\f(3π,4)))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(2π,3)))的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,3)，纵坐标不变，可得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x－\f(2π,3)))的图象，
∴g(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x－\f(2π,3))).
若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，
则eq \f(3,2)x－eq \f(2π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)，\f(π,3)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x－\f(2π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(3),2)))，
则g(x)的值域为[－2，eq \r(3))．
10．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(5,4).
(1)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．
解：(1)令2x＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，则x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)；
令2x＋eq \f(π,6)＝kπ(k∈Z)，则x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)(k∈Z)，
所以对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，0))(k∈Z)．
(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝－1，即2x＋eq \f(π,6)＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
x＝－eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为eq \f(3,4)，
此时x的取值集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(π,3)＋kπ，k∈Z)))).
[B级 综合运用]
11．(多选)对于函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx－\f(π,3)))，下列选项正确的是( )
A．y＝f(x)的图象是由f(x)＝cs πx的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度而得到的
B．y＝f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),2)))
C．y＝f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)，0))对称
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝－eq \f(2,3)对称
解析：选CD f(x)＝cs πx的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，所得函数的解析式为f(x)＝cs πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx－\f(π2,3)))，故选项A错误；
当x＝1时，f(1)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)，故选项B错误；
当x＝eq \f(5,6)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－\f(π,3)))＝0，y＝f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)，0))对称，故选项C正确；
当x＝－eq \f(2,3)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)－\f(π,3)))＝－1，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝－eq \f(2,3)对称，故选项D正确．
综上，正确的选项为C、D.
12．(多选)已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)的图象，关于函数g(x)，下列说法不正确的是( )
A．函数g(x)是奇函数
B．函数g(x)的图象关于直线x＝－eq \f(π,4)对称
C．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))时，函数g(x)的值域是[－1，2]
D．函数g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是增函数
解析：选ABD 依题意得g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝2cs 2x.
g(x)是偶函数，A错误；又geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝0≠±2，B错误；由0≤x≤eq \f(π,3)得0≤2x≤eq \f(2π,3)，从而－1≤2cs 2x≤2，C正确；由eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,2)得eq \f(π,2)≤2x≤π，因此g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递减，故D错误．故选A、B、D.
13．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象如图所示，则函数f(x)图象的对称中心的坐标可以为________．
解析：由题图可知A＝eq \f(3＋1,2)＝2，B＝eq \f(3－1,2)＝1，
T＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)－\f(π,12)))＝π，
所以ω＝2.故f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.
由eq \f(π,12)×2＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
且|φ|故f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1.
令2x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，
得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,6)(k∈Z)，
当k＝0时，x＝－eq \f(π,6).
所以函数f(x)的图象的一个对称中心的坐标可以为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，1)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，1))(答案不唯一)
14．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)．
(1)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
(2)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝eq \f(π,8)对称，求出φ的值及f(x)的对称轴方程及对称中心．
解：(1)因为f(x)为偶函数，所以φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
又φ∈(0，π)，所以φ＝eq \f(π,2).
(2)因为f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝eq \f(π,8)对称，所以f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，
即sin φ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝cs φ，
所以tan φ＝1，φ＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)．
又φ∈(0，π)，所以φ＝eq \f(π,4)，
所以f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
由2x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)(k∈Z)，
由2x＋eq \f(π,4)＝kπ，得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,8)(k∈Z)，
所以f(x)的对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,8)(k∈Z)，
对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,8)，0))(k∈Z)．
[C级 拓展探究]
15．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，－\f(π,2)<φ＜\f(π,2)))图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq \f(π,6)个单位长度得到y＝sin x的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．
解：(1)将y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象．
所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6))).
(2)因为x∈[0，3π]，令t＝eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)，
所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,3)))，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))∈[－1，1]，因为当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，所以函数f(x)的图象和直线y＝m只有一个交点，如图所示．故方程f(x)＝m有唯一实数根m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))∪{1，－1}．
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
－1
－2