2021-2022学年湖南省长沙市中考三模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．用半径为8的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（　　）

A．4 B．6 C．16π D．8

2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（　　）

A．a≤﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．a＜﹣1 D．﹣2＜a≤﹣1

4．下列实数中，结果最大的是（　　）

A．|﹣3| B．﹣（﹣π） C． D．3

5．如图，AD∥BC，AC平分∠BAD，若∠B＝40°，则∠C的度数是（　　）

A．40° B．65° C．70° D．80°

6．函数y=中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞3 B．x＜3 C．x=3 D．x≠3

7．如图，与∠1是内错角的是( )

A．∠2    B．∠3

C．∠4    D．∠5

8．下列计算正确的是（　　）

A．3a﹣2a＝1 B．a2+a5＝a7 C．（ab）3＝ab3 D．a2•a4＝a6

9．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（　　）

A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥

10．如图，将△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ）

A．42 B．96 C．84 D．48

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：_____．

12．如图，点P的坐标为（2，2），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且∠APB=90°．下列结论：

①PA=PB；

②当OA=OB时四边形OAPB是正方形；

③四边形OAPB的面积和周长都是定值；

④连接OP，AB，则AB＞OP．

其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）

13．如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为　   　．

14．如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在AD边上，以E为圆心，EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为，则BC的长是_____．

15．把多项式3x2－12因式分解的结果是_____________．

16．因式分解：3a2-6a+3=________．

17．如图，为了解全校300名男生的身高情况，随机抽取若干男生进行身高测量，将所得数据（精确到1cm）整理画出频数分布直方图（每组数据含最低值，不含最高值），估计该校男生的身高在170cm﹣175cm之间的人数约有_____人．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上.求坡底C点到大楼距离AC的值；求斜坡CD的长度.

19．（5分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求AC和AB的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin34°≈0.56；cos34°≈0.83；tan34°≈0.67）

20．（8分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）

21．（10分）小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．

22．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点E．求证：FC=2BF．

23．（12分）计算：（﹣2）2+20180﹣

24．（14分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】
由于半圆的弧长=圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长为8π，底面半径=8π÷2π．

【详解】

解：由题意知：底面周长=8π，

∴底面半径=8π÷2π=1．

故选A．

【点睛】

此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长=圆锥的底面周长．

2、D

【解析】
由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，

∴ab＜0，

∵与y轴交于负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，

故①正确；

②∵a＞0，x=﹣＜1，

∴﹣b＜2a，

∴2a+b＞0，

故②正确；

③∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

故③正确；

④当x=﹣1时，y＞0，

∴a﹣b+c＞0，

故④正确．

故选D．

【点睛】

本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．

3、B

【解析】
根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求出字母a的取值范围.

【详解】

解：∵x的不等式组恰有3个整数解，

∴整数解为1，0，-1，

∴-2≤a＜-1.

故选B.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.

4、B

【解析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

【详解】

根据实数比较大小的方法，可得

<|-3|=3＜-（-π），

所以最大的数是：-（-π）．

故选B．

【点睛】

此题主要考查了实数大小比较的方法，及判断无理数的范围，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

5、C

【解析】
根据平行线性质得出∠B+∠BAD＝180°，∠C＝∠DAC，求出∠BAD，求出∠DAC，即可得出∠C的度数．

【详解】

解：∵AD∥BC，

∴∠B+∠BAD＝180°，

∵∠B＝40°，

∴∠BAD＝140°，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC＝∠BAD＝70°，

∵A∥BC，

∴∠C＝∠DAC＝70°，

故选C．

【点睛】

本题考查了平行线性质和角平分线定义，关键是求出∠DAC或∠BAC的度数．

6、D

【解析】

由题意得，x﹣1≠0，

解得x≠1．

故选D．

7、B

【解析】

由内错角定义选B.

8、D

【解析】
根据合并同类项法则、积的乘方及同底数幂的乘法的运算法则依次计算后即可解答.

【详解】

∵3a﹣2a＝a，∴选项A不正确；

∵a2+a5≠a7，∴选项B不正确；

∵（ab）3＝a3b3，∴选项C不正确；

∵a2•a4＝a6，∴选项D正确．

故选D．

【点睛】

本题考查了合并同类项法则、积的乘方及同底数幂的乘法的运算法则，熟练运用法则是解决问题的关键.

9、A

【解析】
侧面为长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱.

【详解】

解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱.

故本题选择A.

【点睛】

会观察图形的特征，依据侧面和底面的图形确定该几何体是解题的关键.

10、D

【解析】
由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，

∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6，

∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=（AB+OE）•BE=（10+6）×6=1．

故选D.

【点睛】

本题考查平移的性质，平移前后两个图形大小，形状完全相同，图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、平移，轴对称

【解析】

分析：根据平移的性质和轴对称的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．

详解：△ABC向上平移5个单位，再沿y轴对折，得到△DEF，

故答案为：平移，轴对称．

点睛：考查了坐标与图形变化-旋转，平移，轴对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．

12、①②

【解析】
过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，得出四边形PMON是正方形，推出OM=OM=ON=PN=1，证△APM≌△BPN，可对①进行判断，推出AM=BN，求出OA+OB=ON+OM=2，当当OA=OB时，OA=OB=1，然后可对②作出判断，由△APM≌△BPN可对四边形OAPB的面积作出判断，由OA+OB=2，然后依据AP和PB的长度变化情况可对四边形OAPB的周长作出判断，求得AB的最大值以及OP的长度可对④作出判断．

【详解】

过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N
∵P（1，1），
∴PN=PM=1．
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°，
∴∠MPN=360°-90°-90°-90°=90°，则四边形MONP是正方形，
∴OM=ON=PN=PM=1，
∵∠MPA=∠APB=90°，
∴∠MPA=∠NPB．
∵∠MPA=∠NPB，PM=PN，∠PMA=∠PNB，
∴△MPA≌△NPB，
∴PA=PB，故①正确．
∵△MPA≌△NPB，
∴AM=BN，
∴OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=1+1=2．
当OA=OB时，OA=OB=1，则点A、B分别与点M、N重合，此时四边形OAPB是正方形，故②正确．
∵△MPA≌△NPB，
∴四边形OAPB的面积=四边形AONP的面积+△PNB的面积=四边形AONP的面积+△PMA的面积=正方形PMON的面积=2．
∵OA+OB=2，PA=PB，且PA和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误．
，∵∠AOB+∠APB=180°，
∴点A、O、B、P共圆，且AB为直径，所以
AB≥OP，故④错误．
故答案为：①②．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，坐标与图形性质，正方形的性质的应用，关键是推出AM=BN和推出OA+OB=OM+ON

13、1．

【解析】

∵ABCD的周长为33，∴2（BC+CD）=33，则BC+CD=2．

∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，∴OD=OB=BD=3．

又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=CD．∴OE=BC．

∴△DOE的周长="OD+OE+DE=" OD +（BC+CD）=3+9=1，即△DOE的周长为1．

14、1

【解析】

分析：设∠AEF=n°，由题意，解得n=120，推出∠AEF=120°，在Rt△EFD中，求出DE即可解决问题．

详解：设∠AEF=n°，

由题意，解得n=120，

∴∠AEF=120°，

∴∠FED=60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC=AD，∠D=90°，

∴∠EFD=10°，

∴DE=EF=1，

∴BC=AD=2+1=1，

故答案为1．

点睛：本题考查切线的性质、矩形的性质、扇形的面积公式、直角三角形10度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

15、3（x+2）（x-2）

【解析】
因式分解时首先考虑提公因式，再考虑运用公式法；多项式3x2－12因式分解先提公因式3，再利用平方差公式因式分解.

【详解】

3x2－12=3()=3．

16、3(a－1)2

【解析】
先提公因式，再套用完全平方公式.

【详解】

解：3a2-6a+3=3（a2-2a+1）=3(a-1)2.

【点睛】

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

17、1

【解析】
用总人数300乘以样本中身高在170cm-175cm之间的人数占被调查人数的比例．

【详解】

估计该校男生的身高在170cm-175cm之间的人数约为300×=1（人），

故答案为1．

【点睛】

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）坡底C点到大楼距离AC的值为20米；（2）斜坡CD的长度为80-120米.

【解析】

分析：（1）在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；

（2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，得AF=DE，DF=AE.利用DF=AE=AC+CE求解即可.

详解：（1）在直角△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，AB=60米，则AC=（米）

答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米．

（2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，

∴AF=DE，DF=AE.

设CD=x米，在Rt△CDE中，DE=x米，CE=x米

在Rt△BDF中，∠BDF=45°，

∴BF=DF=AB-AF=60-x（米）

∵DF=AE=AC+CE，

∴20+x=60-x

解得：x=80-120（米）

故斜坡CD的长度为（80-120）米.

点睛：此题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

19、AC= 6.0km，AB= 1.7km；

【解析】
在Rt△AOC, 由∠的正切值和OC的长求出OA, 在Rt△BOC, 由∠BCO的大小和OC的长求出OA,而AB=OB-0A,即可得到答案。

【详解】

由题意可得：∠AOC=90°，OC=5km．

在Rt△AOC中，

∵AC=，

∴AC=≈6.0km，

∵tan34°=，

∴OA=OC•tan34°=5×0.67=3.35km，

在Rt△BOC中，∠BCO=45°，

∴OB=OC=5km，

∴AB=5﹣3.35=1.65≈1.7km．

答：AC的长为6.0km，AB的长为1.7km．

【点睛】

本题主要考查三角函数的知识。

20、（1）袋子中白球有2个；（2）见解析， .

【解析】
（1）首先设袋子中白球有x个，利用概率公式求即可得方程：，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】

解：（1）设袋子中白球有x个，

根据题意得：，

解得：x＝2，

经检验，x＝2是原分式方程的解，

∴袋子中白球有2个；

（2）画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，

∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：．

【点睛】

此题考查了列表法或树状图法求概率．注意掌握方程思想的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

21、（1）；（2）.

【解析】

试题分析：(1)、3个等只有一个控制楼梯，则概率就是1÷3；(2)、根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得出概率.

试题解析：(1)、小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：

(2)、画树状图得：

结果：（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，C）、（C，A）、（C，B）

∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，

∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是=.

考点：概率的计算.

22、见解析

【解析】
连接AF，结合条件可得到∠B=∠C=30°，∠AFC=60°，再利用含30°直角三角形的性质可得到AF=BF=CF，可证得结论．

【详解】

证明：连接AF，

∵EF为AB的垂直平分线，

∴AF=BF，

又AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=∠BAF=30°，

∴∠FAC=90°，

∴AF=FC，

∴FC=2BF．

【点睛】

本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

23、﹣1

【解析】

分析：首先计算乘方、零次幂和开平方，然后再计算加减即可．

详解：原式=4+1-6=-1．

点睛：此题主要考查了实数的运算，关键是掌握乘方的意义、零次幂计算公式和二次根式的性质．

24、（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．

【解析】
（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；

（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；

（3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．

【详解】

（1）y=300﹣10（x﹣44），

即y=﹣10x+740（44≤x≤52）；

（2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，

解得x1=50，x2=64（舍去），

答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；

（3）w=（x﹣40）（﹣10x+740）

=﹣10x2+1140x﹣29600

=﹣10（x﹣57）2+2890，

当x＜57时，w随x的增大而增大，

而44≤x≤52，

所以当x=52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640，

答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．