新人教B版高中数学必修第一册课时检测6命题与量词全称量词命题与存在量词命题的否定含解析

命题与量词　全称量词命题与存在量词命题的否定

[A级　基础巩固]

1．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是(　　)

A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy

B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy

C．对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy

D．存在x<0，y<0，使x2＋y2≥2xy

解析：选A　“任意”为全称量词是x，y∈R，故选项A正确．

2．(多选)下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　)

A．有一个x∈R，使得x2>3成立

B．对有些x∈R，使得x2>3成立

C．任选一个x∈R，都有x2>3成立

D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立

解析：选ABD　由存在量词命题的定义可知，A、B、D均正确；C为全称量词命题，故C错误．

3．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是(　　)

A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆

B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆

C．所有四边形的四个顶点共圆

D．所有四边形的四个顶点都不共圆

解析：选A　根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.

4．下列命题为真命题的是(　　)

A．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解

B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0

C．有些整数只有两个正因数

D．所有的质数都是奇数

解析：选C　A.x－2＝0⇒x＝∉Q，故A错误；

B．∵x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，∴存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0错误；

C．∵2＝1×2，∴有些整数只有两个正因数正确；

D．2是质数，但2不是奇数，故D错误，故选C.

5．(多选)下列四个命题中，是真命题的是(　　)

A．∀x∈R，2x2－3x＋4>0

B．∀x∈{1，－1，0}，2x＋1>0

C．∃x∈N，x2≤x

D．∃x∈N*，x为29的约数

解析：选ACD　对于选项A，因为Δ＝(－3)2－4×2×4<0，2>0，所以2x2－3x＋4>0在R上恒成立，故A为真命题；对于选项B，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故B为假命题；对于选项C，当x＝0或x＝1时，x2≤x成立，故C为真命题；对于选项D，当x＝1时，x为29的约数成立，故D为真命题．故选A、C、D.

6．能够说明“设x，y，z是任意实数．若x>y>z，则x>y＋z”是假命题的一组整数x，y，z的值依次为______．

解析：由题意，整数x，y，z满足x>y>z，但不满足x>y＋z，

所以x，y，z的值依次可以为3，2，1.

答案：3，2，1(答案不唯一)

7．下列存在量词命题是真命题的序号是________．

①有些不相似的三角形面积相等；

②存在实数x，在数轴上找不到所对应的点；

③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；

④有一个实数的倒数是它本身．

解析：①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，在数轴上都能找到它所对应的点，故为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.

答案：①③④

8．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时：

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一个城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．

答案：A

9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

(1)三角形的内角和为180°；

(2)每个二次函数的图像都开口向下；

(3)存在一个四边形不是平行四边形．

解：(1)是全称量词命题且为真命题．

命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.

(2)是全称量词命题且为假命题．

命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．

(3)是存在量词命题且为真命题．

命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．

10．写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)正方形都是菱形；

(2)∃x∈R，使4x－3>x；

(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；

(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．

解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．

(2)命题的否定：∀x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题．

(3)命题的否定：∃x∈R，使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．

(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．

[B级　综合运用]

11．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　)

A．∀x∈Q，有x∈P　　　 B．∀x∉Q，有x∉P

C．∃x∉Q，使得x∈P  D．∃x∈P，使得x∉Q

解析：选B　∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，如图，

∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B.

12．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　)

A．{a|a<－1}  B．{a|a≥1}

C．{a|a>1}  D．{a|a≤－1}

解析：选B　∵p为假命题，

∴綈p为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，

∴1－a≤0，则a≥1.

∴a的取值范围是{a|a≥1}，故选B.

13．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围是否一致？________．(填“是”“否”中的一种)

解析：∵命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”的否定是“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”．

而命题“∃x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的下方”是假命题，则其否定“∀x∈R，函数y＝x2＋2x＋m的图像在x轴的上方或x轴上”为真命题．

∴两位同学题中m范围是一致的．

答案：是

14．同住一间寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，一人在听音乐．有以下五个命题：

①A不在修指甲，也不在看书；

②B不在听音乐，也不在修指甲；

③如果A不在听音乐，那么C不在修指甲；

④D既不在看书，也不在修指甲；

⑤C不在看书，也不在听音乐．

若上面的命题都是真命题，问：她们各自在做什么？

解：由于以上五个命题都是真命题，我们可以列表格如下：

首先看修指甲的，不是A，不是B，不是D，只能是C；

再看看书的，不是A，不是C，不是D，只能是B；

由于C在修指甲，所以A肯定在听音乐；故D在梳头发．

故A在听音乐，B在看书，C在修指甲，D在梳头发．

[C级　拓展探究]

15．已知a∈R，命题p：∃x∈(0，1)，使得(a－1)x－1>0；命题q：∀x∈R使得x2＋ax＋4>0.

(1)写出命题p的否定綈p，并求当綈p为真时，实数a的取值范围；

(2)若命题p，q有且只有一个为真，求实数a的取值范围．

解：(1)由题意，綈p：∀x∈(0，1)，使得(a－1)x－1≤0；

若綈p为真，即a－1≤，∀x∈(0，1)恒成立，所以只需a－1≤1，解得a≤2.

(2)由(1)可得，綈p为真时，a≤2；所以，若命题p为真，则a>2；

若命题q为真，则对∀x∈R，x2＋ax＋4>0恒成立，

因此只需Δ<0，即a2－16<0，解得－4<a<4；

因为命题p，q有且只有一个为真，

若p真q假，则有或解得a≥4；

若p假q真，则有解得－4<a≤2；

综上，p、q有且只有一个为真时，a的取值范围是－4<a≤2或a≥4.