新人教B版高中数学必修第一册课时检测11不等式及其性质含解析
展开不等式及其性质
[A级 基础巩固]
1.(多选)已知a,b,c,d∈R,则下列结论中不成立的是( )
A.若a>b,c>b,则a>c
B.若a>-b,则c-a<c+b
C.若a>b,c<d,则>
D.若a2>b2,则-a<-b
解析:选ACD 选项A,若a=4,b=2,c=5,显然不成立;选项C,不满足倒数不等式的条件,如a>b>0,c<0<d时,不成立;选项D,只有当a>b>0时才成立.故选A、C、D.
2.下列命题中,正确的是( )
A.若a<b<0,则>
B.若ac>bc,则a>b
C.若<,则a<b
D.若a>b,c>d,则a-c>b-d
解析:选C ∵a<b<0,∴a-b<0,a<0,∴(a-b)a>0.
又∵-=<0,∴<,可知A错误;
当c<0时,ac>bc⇒a<b,故B错误;
∵<,∴c≠0,又c2>0,∴a<b,故C正确;
取a=c=2,b=d=1,可知D错误.
3.(多选)若x>1>y,则下列不等式一定成立的是( )
A.x-1>1-y B.x-1>y-1
C.x-y>1-y D.1-x>y-x
解析:选BCD 对选项A可用特殊值法.令x=2,y=-1,则x-1=2-1<1-(-1)=1-y,故选项A中不等式不成立;x-1-(y-1)=x-y>0,故选项B中不等式成立;x-y-(1-y)=x-1>0,故选项C中不等式成立;1-x-(y-x)=1-y>0,故选项D中不等式成立,故选B、C、D.
4.若abcd<0,且a>0,b>c,d<0,则( )
A.b<0,c<0 B.b>0,c>0
C.b>0,c<0 D.0<c<b或c<b<0
解析:选D 由a>0,d<0,且abcd<0,知bc>0,又∵b>c,∴0<c<b或c<b<0.故选D.
5.设0<α<,0≤β≤,则2α-的范围是( )
A.0<2α-< B.-<2α-<
C.0<2α-<π D.-<2α-<π
解析:选D 由已知,得0<2α<π,0≤≤,∴-≤-≤0,由同向不等式相加得到-<2α-<π.
6.能说明“若a>b,则<”为假命题的一组a,b的值依次为________.
解析:“若a>b,则<”是真命题,则ab>0,因此举例只需使得“ab>0”不成立且a>b即可.
答案:a=1,b=-1(答案不唯一)
7.设x>1,-1<y<0,将x,y,-y按从小到大的顺序排列为________.
解析:∵-1<y<0,∴0<-y<1,∴y<-y,又x>1,
∴y<-y<x.
答案:y<-y<x
8.已知三个不等式①ab>0;②>;③bc>ad.若以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成________个正确命题.
解析:①②⇒③,③①⇒②(证明略).
由②得>0,又由③得bc-ad>0,所以ab>0⇒①.
所以可以组成3个正确命题.
答案:3
9.已知a,b∈R,a+b>0,试比较a3+b3与ab2+a2b的大小.
解:因为a+b>0,(a-b)2≥0,
所以a3+b3-ab2-a2b=a3-a2b+b3-ab2=a2(a-b)+b2·(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)(a-b)(a+b)=(a-b)2(a+b)≥0,所以a3+b3≥ab2+a2b.
10.已知0<a<b且a+b=1,试比较:
(1)a2+b2与b的大小;
(2)2ab与的大小.
解:(1)因为0<a<b且a+b=1,所以0<a<<b,
则a2+b2-b=a2+b(b-1)=a2-ab=a(a-b)<0,
所以a2+b2<b.
(2)因为2ab-=2a(1-a)-
=-2a2+2a-=-2
=-2<0,
所以2ab<.
[B级 综合运用]
11.(多选)若<<0,则下列结论中正确的是( )
A.a2<b2 B.ab<b2
C.a+b<0 D.|a|+|b|>|a+b|
解析:选ABC 因为<<0,所以b<a<0,所以b2>a2,ab<b2,a+b<0,所以A、B、C均正确,因为b<a<0,所以|a|+|b|=|a+b|,故D错误.故选A、B、C.
12.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是( )
A.ax+by+cz B.az+by+cx
C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz
解析:选B 法一:∵x<y<z且a<b<c,
∴ax+by+cz-(az+by+cx)
=a(x-z)+c(z-x)=(x-z)(a-c)>0,
∴ax+by+cz>az+by+cx;
同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz)
=b(z-x)+c(x-z)
=(z-x)(b-c)<0,
∴ay+bz+cx<ay+bx+cz;
同理,az+by+cx-(ay+bz+cx)
=a(z-y)+b(y-z)
=(z-y)(a-b)<0,
∴az+by+cx<ay+bz+cx.
∴最低费用为az+by+cx(元).
故选B.
法二(特殊值法):取x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3,则ax+by+cz=1×1+2×2+3×3=14;az+by+cx=1×3+2×2+3×1=10;ay+bz+cx=1×2+2×3+3×1=11;ay+bx+cz=1×2+2×1+3×3=13.故选B.
13.某公司有20名技术人员,计划开发A,B两类共50件电子器件,每类每件所需人员和预计产值如下:
电子器件种类 | 每件需要人员数 | 每件产值(万元/件) |
A类 | 7.5 | |
B类 | 6 |
今制订计划欲使总产量最高,则A类电子器件应开发________件,最高产值为________万元.
解析:设应开发A类电子器件x件,则开发B类电子器件(50-x)件.根据题意,得+≤20,解得x≤20.由题意,得总产值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,当且仅当x=20时,y取最大值330.所以欲使总产值最高,A类电子器件应开发20件,最高产值为330万元.
答案:20 330
14.已知-1≤x+y≤4,且2≤x-y≤3,求z=2x-3y的取值范围.
解:∵z=-(x+y)+(x-y),
-2≤-(x+y)≤,5≤(x-y)≤,
∴3≤-(x+y)+(x-y)≤8,
∴z的取值范围是[3,8].
[C级 拓展探究]
15.设x≥1,y≥1,证明x+y+≤++xy.
证明:因为x≥1,y≥1,所以xy≥1,
所以x+y+≤++xy⇔xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.
将上面不等式中的右端减左端,得
[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]
=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]
=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)
=(xy-1)(xy-x-y+1)
=(xy-1)(x-1)(y-1).
因为x≥1,y≥1,xy≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式成立.