高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性课时训练

奇偶性的应用

[A级　基础巩固]

1．(多选)下列函数中是偶函数，且在区间(0，1)上单调递增的是(　　)

A．y＝x2－2　　　　　　　 B．y＝

C．y＝|x|＋  D．y＝

解析：选AD　因为f(－x)＝(－x)2－2＝x2－2＝f(x)，所以y＝x2－2是偶函数，在区间(0，1)上为增函数，符合题意；因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，y＝是奇函数，不符合题意；因为f(－x)＝|－x|＋＝|x|＋＝f(x)，所以y＝|x|＋(x≠0)是偶函数，当x∈(0，1)时，y＝x＋单调递减，不符合题意；因为f(－x)＝＝＝f(x)，y＝(x≠0)是偶函数，且在区间(0，1)上为增函数，符合题意．故选A、D.

2．(多选)已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋x＋a－2，则(　　)

A．a＝2  B．f(2)＝2

C．f(x)是增函数  D．f(－3)＝－12

解析：选ACD　f(x)是R上的奇函数，故f(0)＝a－2＝0

得a＝2，故A对；对于B项，f(2)＝4＋2＝6，故B错；对于C 项，当x≥0时，f(x)＝x2＋x在[0，＋∞)上为增函数，利用奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0]上为增函数，故f(x)是R上的增函数，故C对；f(－3)＝－f(3)＝－9－3＝－12，故D对；故选A、C、D.

3．(2020·天津高考)函数y＝的图像大致为(　　)

解析：选A　法一：令f(x)＝，显然f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，排除C、D，由f(1)>0，排除B，故选A.

法二：令f(x)＝，由f(1)>0，f(－1)<0，故选A.

4．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　)

A．f(－π)>f(3)>f(－2)

B．f(－π)>f(－2)>f(3)

C．f(3)>f(－2)>f(－π)

D．f(3)>f(－π)>f(－2)

解析：选A　∵f(x)是R上的偶函数，

∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，

又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，

∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．

5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选A　由题意得|2x－1|<⇒－<2x－1<⇒<2x<⇒<x<，故选A.

6．如果函数F(x)＝是奇函数，则f(x)＝________．

解析：当x<0时，－x>0，F(－x)＝－2x－3，

又F(x)为奇函数，故F(－x)＝－F(x)，

∴F(x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.

答案：2x＋3

7．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)按从小到大的排列是________．

解析：当m＝1时，f(x)＝6x＋2不合题意；当m≠1时，由题意可知，其图像关于y轴对称，

∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋2，

∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．

又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．

答案：f(－2)<f(1)<f(0)

8．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，能说明f(x)既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的一组整数a、b、c的值依次是a＝________，b＝________，c＝_________．

解析：由于函数f(x)＝ax2＋bx＋c为偶函数，则f(－x)＝f(x)，∴ax2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，

∴2bx＝0对任意的x∈R恒成立，可得b＝0，

由于函数f(x)＝ax2＋c在(0，＋∞)上单调递减，则a<0.

因此，符合题意的一组整数a、b、c的值可以分别为a＝－1，b＝0，c＝1.

答案：－1　0　1(答案不唯一)

9．已知f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.

解：∵f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，

∴由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得

f(1－x)<－f(1－2x)，∴f(1－x)<f(2x－1)．

又∵f(x)在(－1，1)上是减函数，

∴解得0<x<，

∴原不等式的解集为.

10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．

解：F(x)在(－∞，0)上是减函数．

证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，

则有－x1>－x2>0.

因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，所以f(－x2)<f(－x1)<0.①

又因为f(x)是奇函数，

所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②

由①②得f(x2)>f(x1)>0.于是F(x1)－F(x2)＝>0，即F(x1)>F(x2)，

所以F(x)＝在(－∞，0)上是减函数．

[B级　综合运用]

11．(多选)函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2，恒有<0.则称函数f(x)为“理想函数”，下列三个函数中，是“理想函数”的有(　　)

A．f(x)＝－2x  B．f(x)＝x2

C．f(x)＝  D．f(x)＝

解析：选AC　对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，

对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2，恒有<0，即当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，则f(x)是定义域内的减函数，A、C、D是奇函数，B是偶函数，排除B项；

A项，f(x)＝－2x是减函数，满足题意；

C项，f(x)＝x2(x<0)是减函数，f(x)＝－x2(x≥0)是减函数，而x1<0，x2≥0时，f(x1)>f(x2)，f(x)在R上是减函数，满足题意；

D项，f(x)＝在定义域内不是减函数，不满足题意，故选A、C.

12．设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)内是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为(　　)

A．(－1，0)∪(2，＋∞)  B．(－∞，－2)∪(0，2)

C．(－2，0)∪(2，＋∞)  D．(－2，0)∪(0，2)

解析：选C　根据题意，偶函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，且f(－2)＝0，

则函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(－2)＝f(2)＝0，作出函数f(x)的草图如图所示，

又由xf(x)<0，

可得或

由图可得－2<x<0或x>2，

即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选C.

13．设偶函数f(x)的定义域为R，函数f(x)在[0，＋∞)上为单调函数，则满足f(x＋1)＝f(2x)的所有x的取值集合为________．

解析：∵f(x)为偶函数，

∴f(x＋1)＝f(|x＋1|)，f(2x)＝f(|2x|)．

又函数f(x)在[0，＋∞)上为单调函数，

∴|x＋1|＝|2x|，

∴x＋1＝2x或x＋1＝－2x，

解得x＝1或x＝－.

∴满足f(x＋1)＝f(2x)的所有x的取值集合为.

答案：

14．设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.

(1)求b的值；

(2)若f(x)在[0，2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．

解：(1)因为函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，

所以f(0)＝0，解得b＝0.

(2)因为函数f(x)在[0，2]上是增函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2，2]上单调递增，

因为f(m)＋f(m－1)>0，

所以f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，

所以m－1>－m，①

又不等式f(m)＋f(m－1)>0在函数f(x)定义域范围内有意义，

所以②

解①②得<m≤2，所以m的取值范围为.

[C级　拓展探究]

15．已知函数y＝f(x)的定义域为R，满足对任意的x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0且f(1)＝2.

(1)求f(0)和f(2)的值；

(2)证明f(x)的奇偶性；

(3)判断f(x)的单调性，并说明理由．

解：(1)由题设，令x＝y＝0，

恒等式可变为f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0，

又f(1)＝2，f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2＋2＝4；

(2)令y＝－x，则由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)得

f(0)＝0＝f(x)＋f(－x)，即得f(－x)＝－f(x)，

故f(x)是奇函数．

(3)函数f(x)是增函数，理由如下：

任取x1<x2，则x2－x1>0，

由题设x>0时，f(x)>0，

可得f(x2－x1)>0，

f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)>0，

故有f(x2)>f(x1)，

所以f(x)是增函数．