2021石嘴山三中高三第四次模拟考试数学文试题（含答案）

石嘴山三中2021届高三年级四模考试数学（文科）试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）

1．已知集合，，则             (     )

   A.          B.          C.          D.

2．＝                                                          （　　）

   A．   B．   C．  D．

3. “互联网+”时代全民阅读的内涵已多元化，在线读书成为一种生活方式．某高校为了解本校学生阅读情况，拟采用分层抽样方法从该校四个年级中抽取一个容量为360的样本进行调查，大一与大二学生占全校一半，大三学生与大四学生之比为3:2，则大四学生应抽取的学生为                                                         （    ）

   A．72            B．100            C．108           D．120

4． 已知向量，，，，，则           （    ）

   A．1    B．13    C．    D．4

5．已知等差数列的前n项和为 , 等比数列的前n项和为，且，则                                       （    ）

   A．22 B．34 C．46 D．50

6．已知直线，和平面，，下列命题中正确的是                     （    ）

   A．若,,则        B．若∥，，则∥

   C．若,,则       D．若⊥，，则⊥

7．已知函数部分图象的大致形状如图所示，则的解析式最可能是（    ）

   A．     B．

   C．     D．

8．执行如图所示的程序框图，输出的S=                           （    ）

   A．9          B．16         C．25         D．36

9. 已知，，，则a，b，c的大小关系是            （    ）

   A． B．

   C． D．

10. 已知，则                                （    ）

    A．    B． C． D．

11．已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是                                                      （     ）

   A．       B．      C．         D．

12．已知双曲线： ， 为坐标原点，点是双曲线上异于顶点的关于原点对称的两点， 是双曲线上任意一点， 的斜率都存在，则的值为                                                         （     ）

    A．    B．    C．       D．以上答案都不对

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分.)

13. 抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为_____．

14．若变量，满足约束条件，则的最大值为___________.

15．如图，为测量两座山顶之间的距离，已知山高，，从观测点分别测得点的仰角点的仰角以及，则两座山顶之间的距离________.

16．在三棱锥中，，，面，且在三角形中，有，则该三棱锥外接球的表面积为______．

 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．(本题12分)2021年3月5日，人社部和全国两会政府工作报告中针对延迟退休给出了最新消息，人社部表示正在研究延迟退休改革方案，两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄．现对某市工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查，随机调查了50人，他们月收入的频数分布及对延迟退休政策赞成的人数如表．

（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异；

（2）若采用分层抽样从月收入在和的被调查人中选取6人进行跟踪调查，并随机给其中3人发放奖励，求获得奖励的3人中至少有1人收入在的概率．

（参考公式：，其中）

18．(本题12分)已知数列，满足，，，.

（1）证明：数列，为等比数列；

（2）记为数列的前项和，证明：.

19．(本题12分)如图，在三棱柱中，平面，，是的中点，

(1)求证：平面平面；

(2)求点到平面的距离。

20．（本题12分）已知函数在处取得极值，。

（1）求的值与的单调区间；

（2）设，已知函数，若对于任意、，都有，            求实数的取值范围。

21. （本题12分）已知A、B分别为椭圆E：的左顶点和下顶点，P为直线上的动点，的最小值为．

求E的方程；

设PA与E的另一交点为D，PB与E的另一交点为C，问：是否存在点P，使得四边形ABCD为梯形？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．(本题10分)在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线，的极坐标方程；

（2）已知射线分别交曲线，于，两点，若是线段的中点，求的值.

23．(本题10分)已知函数.

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）若有最小值，且关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.

石嘴山三中2021届高三年级四模考试数学（文科）试卷答案

一、选择题：（每题5分，共12题，满分60分。每题只有一个正确答案）

二、填空题：（每题5分，共4题，计20分.）

 13. x2＝－4y  ；                  14         6  .

 15.           ；                  16.      

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．

【答案】（1）表格见解析，没有；（2）.【详解】（1）2×2列联表如下：

∴，所以没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异．

（2）按照分层抽样方法可知，月收入在的抽4人，记为，月收入在的抽2人，记为，

则从6人中任取3人的所有情况为：

、、、、、、、

、、、、、、、

、、、、、，共20种，

其中至少有一人月收入在的情况有16种，所以3人中至少有1人月收入在的概率为．

18．

【答案】（1）依题：，两式相加得：，∴为等比数列，两式相减得：，∴为等比数列.

（2）由上可得：①，②，两式相加得：， .

19．

【解析】(1)由平面，平面，则，                1分

由，是的中点，则，                       2分

又，则平面，                               3分

又平面，∴平面平面；                      4分

(2)如图，取的中点，连结，设点到平面的距离为，      5分

由题意可知，，，         7分

∴，，    8分

又，                     10分

∴点到平面的距离。                  12分

20．【解析】（1）由题意得的定义域为，，                               1分

∵函数在处取得极值，∴，解得，                                        则由得或，                      4分

、、的关系如下表：

∴函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；      6分

（2）由（1）得函数，当时，对任意、，都有  7分即当，时，，                              8分

∵在上单调递减，，∴在上单调递减，

则，，     9分

则，

即，解得或，结合，得，           11分

故实数的取值范围为。                                        12分

21.

【解析】由题设得，，．

则，，

所以，（2分）

于是时，取得最小值，

所以，解得．所以E 的方程为．（4分）

假设存在点满足题设，设，则，，

由题意可知存在，使得，

即整理得（6分）

代入中，有设，，，（7分）

同理可得，即 （8分）整理得代入中，有（10分）由得，且，

解得，故当时，四边形ABCD为梯形．（12分）

法二：

假设存在点P满足题设，则，设，．

所以直线PA的方程为，直线PB的方程为．（6分）

将代入E得，可得，所以．将代入E得，（8分）

可得．若四边形ABCD为梯形，则，所以，

于是，所以，（10分）整理可得，即，解得．

故当时，四边形ABCD为梯形．（12分）

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

21．

【详解】（1）由题可得曲线的普通方程为，

所以代入，由曲线的极坐标方程为，

由题可得曲线的普通方程为，即，

所以代入，有曲线的极坐标方程为，即.

（2）设，，则，，

因为是线段的中点，所以，所以，

所以，即，所以，

因为，所以，所以，所以.

23．

【详解】（Ⅰ）当时，，

当时，恒成立，；

当时，，解得，；

当时，不成立，此时无解，

综上，的解集为；

（Ⅱ）可得，

若，即时，无最小值，不符合题意，

若，即时，有最小值为，

令，在处取得最大值为，

由题可得与有两交点，，解得，

综上，.