2022泰州中学高二下学期期中数学试题

2021~2022学年度第二学期期中学情调研

高二数学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知空间向量，，若，则

A．4                B．5              C．             D．

2．中国文字博物馆荟萃历代中国文字样本精华，用详尽的资料向世界展示了中华民族一脉相承的文字和辉煌灿烂的文明．该博物馆馆藏的重要藏品主要分为铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器共九类．小明去该馆任意选取4类重要藏品参观，则在碑碣、甲骨、瓷器三类中至少参观一类的不同选择方案的种数是

A．111               B．64            C．96              D．2664

3．若点，，在同一条直线上，则

A．21                B．4             C．4             D．10

4．医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴

性和阳性2种结果．根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是80%，将正常者判为阳性的概率是10%．专家预测，某小区有5%的人口感染了该病，则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是

A．              B．          C．1%              D．10%

5. 的展开式中常数项是

A．120               B．240           C．400              D．480

6．在四棱柱中，，，则

A．           B．

C．          D．

7．已知随机变量，，那么

A．0.2              B．0.6            C．0.4                D．0.8

8．已知（p，n为常数），若Y~B（n，p），则

A．E(Y)＝3，D(Y)＝2                   B．E(Y)，D(Y)＝2

C．E(Y)＝2，D(Y)＝1                   D．E(Y)＝3，D(Y)＝1

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列四个命题中真命题是

A．若存在实数x，y，使，则与，共面；

B．若与，共面，则存在实数x，y，使；

C．若存在实数x，y，使，则P，M，A，B共面；

D．若P，M，A，B共面，则存在实数x，y，使．

10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数．用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果．定义事件：A＝“x＋y为奇数”，事件B＝“xy为奇数”，事件C＝“x为奇数”，则下列结论正确的是

A．A与B互斥    B．A与B对立     C．       D．A与C相互独立

11．若，则

A．                       B．

C．     D．

12．若l1，l2，l3是三条互相平行的直线，l1与l2之间距离为1，l1与l3之间距离为1，l2与l3之间距离为，A，B是直线l1上的点，且，C，D分别是直线l2，l3上的点，则

A．的面积是定值             B．面积的最小值是

C．三棱锥的体积是        D．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13．若的展开式中第6项的二项式系数最大，写出一个符合条件的n的值是  ▲  ．（写出一个满足条件的n的值即可）

14．根据下列数据

求得关于x的关系，则时，y的估计值为  ▲  ．
15．某班5名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有  ▲  种

16．在矩形ABCD中，，．沿AC把折起，点D移动至D1，使得二面角为直二面角，则  ▲  ．若三棱锥的顶点均在球O上，则球O的表面积是  ▲  ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）

为了鉴定新疫苗的效力，将60只豚鼠随机地平均分为两组，其中在一组接种疫苗后，两组都注射了病源菌，结果接种疫苗的豚鼠中没发病的占比90%，发病的豚鼠中接种疫苗的占比15%．其结果列于下表：

（1）求a，b，c，d的值；

（2）问：能否有99%的把握认为疫苗有效?

参考公式：，

参考数据：

18．（本小题满分10分）

如图，正四棱锥P－ABCD中，，点M，N分别是PA，BD的中点．

（1）求证：平面PBC

（2）求二面角D－PA－B的正弦值．

19．（本小题满分12分）
幸福农场生产的某批次20件产品中含有n（3≤n≤13）件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件．
（1）若，求取出的产品中次品不超过1件的概率；

（2）记，则当n为何值时，取得最大值．

20．（本小题满分12分）

如图所示，在正方体中，，点M，N分别在和DB上，且，．

（1）求线段MN的长；

（2）求直线和平面DMN所成角的大小．

21．（本小题满分12分）

某质量检测部门从一企业的产品中随机抽取100件产品，测量这批产品的某项技术指标值，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）估计这100件产品的技术指标值的中位数；

（2）根据大量的测试数据，可以认为这批产品的技术指标值X近似地服从正态分布N（μ，σ2）．根据上表计算出样本平均，样本方差，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差作为σ的估计值，从该企业这批产品中购买50件，设这50件产品中技术指标值恰好在98.32与194.32之间的数量为Y，求E（Y）；

（3）如果产品的技术指标值在与之间为合格品，其他技术指标值为次品，每抽取100件产品中的合格品和次品件数分别是多少（精确到个位数）？计算从100件产品中任取3件，恰好抽取到1件次品的概率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则，，，．

22．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右顶点为，右焦点F到右准线1的距离为3．
（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知过点F且与x轴不重合的直线交椭圆C于M，N，若直线MA与I交于P，直线NA与1交于Q，证明：以PQ为直径的圆与直线MN相切．

2021~2022学年度第二学期期中学情检测

高二数学参考答案

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C  2.A  3.C  4.A  5.C  6.D  7.B  8.C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.AC  10.ACD  11.ABD  12.ABD

三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13.9或10或11都可以  14.3.2  15.150  16.，25π

四、解答题；本大题共6小题，共70分、请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：（1），，，.

（2）根据列联表，计算，

所以有90%的把握认为疫苗有效.

答：（1），，，；

（2）有90%%的把握认为疫苗有效.

18.

解：（1）因为正四棱锥，所以底面ABCD是正方形，

因为N是BD的中点，所以N是AC的中点，又因为点M是PA的中点，

所以，

又因为平面PBC，平面PBC，

所以平面PBC.

（2）方法一：因为正四棱锥中，，

所以是等边三角形，

所以，.

同理可得：，.

所以是二面角的平面角.

在中，由余弦定理，

得，

所以.

所以二面角的正弦值为，

方法二；如图所示，以N为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系

则，，，，

所以，，.

设为平面PAB的法向量，

由，，得，，，

取，所以为平面PAB的一个法向量，

问理可得，为平面PAD的一个法向量.

记二面角的平面角为α，

所以，

所以.

所以二面角的正弦值为.

19.

解：（1）记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A，

则.

因为，，

所以.

答：取出的产品中次品不超过1件的概率是.

（2）因为，所以.

若，

则，解得.

故当时，；当时，；

所以当时，取得最大值.

答：当时，取得最大值.

20.

解：（1）以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，.

因为点M在  上，

设

所以.

因为点N在DB上，

设，

所以，

因为，，

所以，

，

解得，，

所以，

所以.

（2）设为平面DMN的法向量，

因为，，

由，，得，，

取，所以为平面DMN的一个法向量.

记直线和平面DMN所成角为，

因为，

所以，

所以直线和平面DMN所成角为.

21.

解：（1）设中位数为.

因为，

所以，解得.

所以估计这100件产品的技术指标值的中位数为130.375.

（2）依题意，得，所以

.

所以从这批产品中任取一件其质量指标值恰好在98.32与194.32之间的概率为0.8185.

这50件产品中质量指标值恰好在98.32与194.32之间的数量为Y，则Y服从二项分布，

，所以.

（3）依题意，产品的技术指标值在与之间为合格品，其概率为

，

所以每抽取100件产品中合格品件数为95件，次品件数为5件.

所以从100件产品中任取3件，恰好取到1件次品的概率为

.（12分）

22.

解：（1）由题意得.

设椭圆C的焦距为2c，则，所以，

所以，

所以椭圆C的标准方程.

（2）设直线MN的方程为；.

由，得，

设，，

则，.

因为直线MA的方程为：，

令，得，所以，同理可得.

以PQ为直径的圆的方程为：，

即.

因为，，，

所以

，

所以以PQ为直径的圆的方程为：.

令，得，解得或.

所以以PQ为直径的圆过点和.

因为

，

所以PQ的中点，所以.

当时，易得以PQ为直径的圆与直线相切.

又因为当时，直线MN的斜率为，所以，

所以以PQ为直径的圆与直线MN相切.