甘肃省酒泉市实验中学2021-2022学年高一下学期数学期中考试试卷（含答案）

酒泉市实验中学2021-2022学年度第二学期高一数学期中考试试卷及详细解析

考察范围：湘教版必修第一册第6章《统计学初步》、第二册第1章《平面向量及其应用》、

第2章《三角恒等变换》、第3章《复数》

试卷总分：150分   考试时间：120分钟

一、单选题(共45分)

1．(本题5分)为了解某中学2500名学生家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，从中随机调查400名家长，结果有380名家长持赞成态度，则下列说法正确的是（    ）

A．调查方式是全面调查 B．该校只有380名家长持赞成态度

C．样本是400 D．该校约有95%的家长持赞成态度

2．(本题5分)若复数为纯虚数，则实数=（    ）

A．或2 B．或1 C． D．1

3．(本题5分)已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

4．(本题5分)港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取名，若青年旅客抽到60人，则（   ）

A．老年旅客抽到150人 

B．中年旅客抽到20人

C． 

D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200

5．(本题5分)设一组样本数据，，，的方差为0.01，则数据，，，的方差为（   ）

A．0.01 B．0.1 C．1 D．10

6．(本题5分)某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1200棵，比例如图所示.高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600，400，200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得侧柏的数量为（    ）

A．34 B．46 C．50 D．70

7．(本题5分)下列说法中正确的是（   ）

A．向量的模都是正实数                 

 B．单位向量都是相等向量

C．向量的大小与方向无关       

 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

8．(本题5分)已知向量，若，则实数的值为（   ）

A．1 B．0 C． D．

9．(本题5分)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为，，且A，B两点之间的距离为30，则该树的高度为（   ）

A． B．

C． D．

二、多选题(共15分)

10．(本题5分)关于平面向量，，，下列命题中错误的是（　　）

A．若，则存在，使得          B．若，则

C．若，则                           D．

11．(本题5分)在中，角，，对应的边分别为，，，已知，，，则边长的值为（   ）

A． B． C． D．

12．(本题5分)下列等式成立的是（   ）

A． B．

C． D．

三、填空题(共20分)

13．(本题5分)已知向量，则___________．

14．(本题5分)已知，，则___________.

15．(本题5分)甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：）

其中产量比较稳定的小麦品种是______________________；

16．(本题5分)已知，，，则在方向上的投影为___________.

四、解答题(共70分)

17．(本题10分)设两个非零向量与不共线．

(1)若，，，求证：，，三点共线；

(2)试确定实数，使和反向．

18.(本题12分)为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到如下频率分布直方图：

（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的众数、中位数及平均数；

（2）求这200人的年龄的众数、中位数及平均数；

19．(本题12分) 的内角、、的对边分别为a、b、c，且.

(1)求的大小；

(2)若，且的面积为，试判断的形状.

20．(本题12分)在中，三个顶点的坐标分别为，，，若是以B为直角顶点的直角三角形，求实数t的值.

21．(本题12分)已知函数．

(1)求函数的最大值并指出取最大值时的取值集合；

(2)若，求的值．

22．(本题12分)已知向量，，与为共线向量，且．

（1）求的值；

（2）求的值．

答案及详细解析：

1．答案：D

解析：根据抽样调查，总体，个体，样本，样本容量的概念一次判断各个选项的正误，即可得出答案.

A：调查方式是抽样调查，不是全面调查，故A错；

B：400名家长里有380名家长持赞成态度，

按照比例推算，全校2500名学生家长中会有2375名家长持赞成态度，故B错；

C：样本是400名家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，

样本容量是400，故C错；

D：该校约有：的家长持赞成态度，故D正确；

故选：D.

2．答案：C

解析：因为复数（为虚数单位）为纯虚数，

所以，

由，得或，

由，得且，

所以，

故选：C

3．答案：D

解析：因为，所以，

所以，

故其虚部为．

故选：D

4．答案：C

解析：由题意，香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取名，若青年旅客抽到60人，

所以，解得人.

故选:C.

5．答案：C

解析：由题意数据，，，的方差为．

故选：C．

6．答案：C

解析：由扇形统计图知，购买的1200棵树苗中，侧柏的数量为，

依题意，高一、高二、高三分到的侧柏的棵数比为：，

所以高三年级应分得侧柏的数量为.

故选：C

7．答案：C

解析：零向量的模为0，故A不正确；

单位向量的方向可以是任意的，故B不正确；

向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；

不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确．

故选：C

8．答案：A

解析：因为，

所以，.

因为，

所以，解得：.

故选：A

9．答案：D

解析：设树高为h，则，又,

所以，

故选：D

10．答案：CD

解析：由共线向量定理可知：A正确；

当，则，B正确；

若，且，则不一定成立，C错误；

对于非零向量，，，当与不共线，且，时：，D错误.

故选：CD.

11．答案：AB

解析：在中，，，，

由余弦定理得，

，

，

，

解得或，

故选：AB

12．答案：AC

解析：对于A选项，，A对；

对于B选项，，B错；

对于C选项，

，C对；

对于D选项，

，D错.

故选：AC.

13．答案：

解析：根据向量的运算法则，可得.

故答案为：.

14．答案：

解析：由，可得，

则由，可得，

故答案为：

15．答案：甲

解析：由题意知,，

;

,

.

.

所以产量比较稳定的小麦品种是甲,

故答案为：甲

16．答案：

解析：设，的夹角为，因为，

所以，

所以，故在方向上的投影为·

故答案为：

17．答案：(1)证明见解析；(2)

解析：(1)证明： ，

，且，

与共线，且与有公共点，

，，三点共线；

(2)设，，且不共线，

，解得或．

容易验证，时，和反向。

∴

18．答案：(1)；(2) 众数40、中位数42.1，平均数41.5

解析：（1）依据频率分布直方图的性质去求a值和众数、中位数及平均数；

由题意得：，所以；

（2）众数为最高小矩形底边中点的横坐标，即40；

设中位数为x，则

平均数为：

则可以估计这200人的年龄的众数为40、中位数为及平均数为

19．答案：(1)；(2)等腰直角三角形

解析：(1)由及正弦定理得，

得，

因为，则，所以，则.

(2)因为，所以.

由余弦定理得，得，

因为，且，所以为等腰直角三角形.

20．答案：t的值是3.

解析：由

 又，即，

，解得或，

当时，点B与点C重合，不符合题意，

故t的值是3.

21．答案：(1)2，；(2)

解析：(1)，

，，

，

当时，，

此时，所以

取最大值时的取值集合，

(2)，即，，，

，，．

22．答案：（1）；（2）．

解析：（1）∵与为共线向量，

∴，

即．

（2）∵，∴．

∴．

又∵，∴．

∴．∴．