2022届天津市南开中学高三下学期第四次学情调查数学试卷（含答案）

南开中学2022届高中三年级第四次学情调查

数学学科 试题

本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至3页，第II卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案填涂在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将答题卡交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ｉ卷

注意事项：

１.     每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

２.     本卷共9小题，每小题5分，共45分。

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合，，，则

（2）设，则“”是“”的

（3）函数的图象大致为

（4）某市通过统计个大型社区产生的日均垃圾量，绘制了如下图所示的频率分布直方图，数据的分组依次为：，，，，，，.为了鼓励率先实施垃圾分类回收，将日均垃圾量不少于吨的社区划定为试点社区，则这样的试点社区个数是

（5）设，，，则

（6）已知三棱锥中，平面，是边长为的等边三角形，若此三棱锥外接球的体积为，那么三棱锥的体积为

（7）若将函数图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象，已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是

（8）已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，若双曲线与抛物线的一个交点为，且，则双曲线的离心率为

（9）已知函数若恒成立，则实数的取值范围为

第II卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共11小题，共105分。

二．填空题：本大题共6小题，每小题５分，共30分．

（10）已知复数，则 ____________.

（11）二项式的展开式中的系数为____________.

（12）过点作一条直线截圆所得弦长为，则直线的方程是____________.

（13）已知正数，满足，则的最小值为____________.

（14）天津是一个古老与现代、保守与开放相融合的城市，历经600多年，特别是近代造就了中西合璧、古今兼容的独特城市风貌，成为国内外游客首选的旅游胜地. 2021年元月以来，来天津游览的游客络绎不绝，现通过对来津游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩的概率都是，不游玩的概率都是，若不游玩记分，继续游玩记分，游客之间选择意愿相互独立，从游客中随机抽取人，记总得分为随机变量，则的数学期望____________.

（15）如图，在菱形中，，，，分别为线段，上的点，，，点在线段上，且满足，则____________；若点为线段上一动点，则的取值范围为____________.

三．解答题：本大题共５小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（16）（本小题满分14分）

在中，内角，，的对边分别为，，，已知.

（I）求角的大小；

（II）若，. 求：

（ⅰ）边长；

（ⅱ）的值.

（17）（本小题满分15分）

如图，在四棱锥中，平面，，，点是棱上一点，且，.

（I）若，求证：平面；

（II）求二面角的正弦值；

（III）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.

（18）（本小题满分15分）

设是等差数列，是等比数列，公比大于，其前项和为.已知，，，.

（I）求和的通项公式；

（II）设数列的前项和为.记，求；

（III）求.

（19）（本小题满分15分）

已知椭圆过点，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的下顶点，且.

（I）求椭圆的方程；

（II）过点的直线与椭圆交于另一点，过点的直线与椭圆交于另一点，直线与的斜率的乘积为，点和点关于轴对称，求直线的斜率.

（20）（本小题满分16分）

已知，.（为正整数，）

（I）若在处的切线垂直于直线，求实数的值；

（II）当时，设函数，，证明：有且仅有个零点；

（III）当时，证明：.

2022届南开中学高三第四次学情调查（数学）参考答案

一、单选题

1~5. CADBA  6～9. DCDA

二、填空题

10.

11.

12. 或

13.

14.

15. ，

三、解答题

16. （Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）.

17. （I）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，

PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，

∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，

建立空间直角坐标系，

∵点M是棱PD上一点，PM：MD＝1：2，

AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．

∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），

C（2，2，0），M（0，，），

＝（2，0，﹣4），＝（2，2，0），＝（0，，），

设平面ACM的法向量，

则，取x＝2，得（2，﹣2，1），

∵4﹣4＝0，PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM．

（II）D（0，4，0），＝（2，2，﹣4），＝（0，4，﹣4），

设平面CDP的法向量（a，b，c），

则，取b＝1，得（1，1，1），

平面ACD的法向量（0，0，1），

设二面角A﹣CD﹣P的平面角为θ，

则|cosθ|＝＝，

∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值为＝．

（III）设，（0≤λ≤1），

则，

∴，

，平面CDP的法向量，

∵直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，

∴| |＝＝＝，

解得λ＝，

∴．

18. （Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为（），

由，，可得，解得或（舍去），

所以，

由，，

则，解得，

所以，解得，

所以，解得，

且，解得，

所以.

综上所述，，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）中，所以，

，

故.

（Ⅲ）设，

，①

，②

 ①②可得，

即，

所以，

故.

19. （I）因为，即，

又椭圆过点，所以，解得，

椭圆方程为.

（II）设直线的方程为，则

得，

解得，

所以.

因为直线的斜率乘积为，

所以直线的方程为，

同理可得.

因为M，N关于y轴对称，所以，

即，解得.

所以直线的斜率为

20. （Ⅰ），依题意得

（Ⅱ）要证仅有1个零点，即证仅有1个实根

即证，仅有1个实根

①当时，在区间上单调递增，

又，，

所以在区间上有一个零点.

②当时，设.

，所以在区间上单调递增.

又，，

所以存在，使得.

所以，当时，，即单调递减；

当时，，即单调递增；

又，.

所以在区间上无零点.

综上所述，函数在内只有一个零点.

（Ⅲ）当时，，

要证，

只需证：

令，

，

所以在单调递减

所以

所以

要证（1），只需证  

法一：令

令

，

在单调递减，

，，

，使，即，

当，，单调递增

当，，单调递减

，所以原命题得证 ，

法二：令

∴在单调递减，在单调递增

∴

∴，

∵

∴ ，

∴，

即证

∴原命题得证