西南名校联盟2021届高三5月3+3+3高考备考诊断性联考（三）理科数学试题及答案

2021届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（三）

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．∵，∴．∴，故选D．

2．∵，所以虚部为1，故选B．

3．由互斥事件对立事件定义知，故选A．

4．设球的半径为r，∴，故选B．

5．∵，故选C．

6．∵，由正弦定理得，即，

∴或，故选D．

7．∵，∴，，所以切线方程为，故选C．

8．∵，故选B．

9．由对称性知两渐近线夹角为，∴，∴，故选B．

10．因为不放回地抽取两次，设第一次抽到理科题目为事件A，第二次抽到理科题目为事件B，则，，∴，故选A．

11．由题知，直线与曲线在第二象限有一个交点，在第四象限有一个切点，由切点在切线上，切点在曲线上，曲线在切点的斜率等于曲线在切点的导数值知，故选A．

12．∵，由正弦定理得，∵，即，因为三角形为锐角三角形，∴，∴，∴， ，故选C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．∵，令，所以其系数为．

14．∵，∴，，即单调递增区间为，．

15．∵∴．

16．已知直线l：，设，已知圆的方程为，所以直线AB方程为，即，所以直线AB过定点，令直线AB斜率为k，所以直线AB方程为，所以直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，所以截距之和为 0，当且仅当时成立．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

解：（1）当时，， …………………………………………（1分）

当时，， ……………………………………（4分）

经验证满足， …………………………………………（5分）

∴． ……………………………………………………（6分）

（2）∵， ……………………………………………………（8分）

∴，

， …………………………（10分）

由①②得． ………………………………………………（12分）

18.（本小题满分12分）

（1）证明：连接OB，∵△PAC为等边三角形，O为AC的中点，

∴． ……………………………………………………（1分）

∵，∴．

∴． ……………………………………………………（2分）

在△PBO中，∵，∴，

即． ……………………………………………………（3分）

又∵． ……………………………………………………（4分）

∴． ……………………………………………………（5分）

∵平面PAC，∴平面平面ABC． …………………………………（6分）

（2）解：∵平面ABC，∴， …………………………………（8分）

∵，，

∴平面PAC， ……………………………………………………（10分）

∴为PB与平面PAC所成的角，

∵，，∴． ……………………………………（12分）

19.（本小题满分12分）

解：（1）由题意可知：， …………………………（1分）

， ……………………………………（2分）

， 

 ………………………………………………（4分）

所以， ………………………………（5分）

又， ……………………………………（6分）

故y关于x的线性回归方程为． …………………………（7分）

（2）由（1）可得，当年份为2021年时，年份代码为， ………………（9分）

此时．

所以可预测2021年新疆长绒棉年产量约为7.56百万吨． ………………（12分）

20.（本小题满分12分）

（1）解：椭圆短轴长为，

∴． ……………………………………………………………………（1分）

∵，∴，

∴，． ……………………………………………………（3分）

∴椭圆方程为． ………………………………………………（4分）

（2）证明：当直线l与椭圆交于x轴同侧时，

有P，A，B三点共线，即，

此时直线l过定点． ………………………………………………（6分）

当直线l与椭圆交于x轴两侧时，

∵，∴． ……………………………………（7分）

令直线AB方程为，，，

∴即，

∴ ……………………………………………………（8分）

∴，

即，

∴， ………………………………………………（10分）

所以直线方程为，

所以直线过定点， …………………………………………………（11分）

综上，直线过定点或． ………………………………（12分）

21.（本小题满分12分）

解：（1）∵， ………………………………………………（1分）

当时，，

∴单调递增； ……………………………………………………（2分）

当时，∴，，

∴单调递减， ……………………………………………………（3分）

∴，，

∴单调递增． ………………………………………………（4分）

（2）∵，

∴．

∵单调递增，∴，

即， ……………………………………（5分）

即，

即，

即，

即， ………………………………（7分）

令，即， ………………………………（8分）

∵，∴单增，

∴，即， ………………………………（9分）

令，∴，

∴，，∴单调递减，

，，∴单调递增，

∴， …………………………………………（10分）

∴，即， ………………………………………………（11分）

∵，∴． ………………………………………………（12分）

22.（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

解：（1），消去，

∴． ……………………………………………………（2分）

令，，

∴．

 ……………………………………………………（4分）

∴． ………………………………（5分）

（2）不妨设，，

则，， ………………………………………………（6分）

∴

． …………………………………………（9分）

当且仅当，取等号． ………………………………（10分）

23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

解：（1）设，

其几何意义为x轴上的动点到，的距离之和， ………………（1分）

当动点位于，之间时，， …………………………（3分）

∵该不等式解集非空，所以． ……………………………………（5分）

（2）设，

 ∴．

 ……………………………………………………（8分）

∴． ………………………………………………（9分）

即或． ……………………………………………………（10分）