2022届湖北省武汉市高中毕业生四月调研考试 数学试题及答案

武汉市2022届高中毕业生四月调研考试

数学试卷

武汉市教育科学研究院命制

2022.4.26

本试题卷共5页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.

★祝考试顺利★

意事项：

1.答题前，先将自已的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数，则的虚部为（    ）

A.    B.1    C.    D.

2.已知，则（    ）

A.    B.

C.    D.

3.若椭圆的离心率为，则的值为（    ）

A.    B.    C.或    D.或

4.如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.设，则（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知直线过圆的圆心，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.6    D.9

7.定义在上的函数满足，则下列是周期函数的是（    ）

A.    B.

C.    D.

8.某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量的期望和方差存在昍其分布末知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知只，确定该形式是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知集合，若，则的取值可以是（    ）

A.2    B.3    C.4    D.5

10.在研究某种产品的零售价（单位：元）与销售量（单位：万件）之间的关系时，根据所得数据得到如下所示的对应表：

利用最小二乘法计算数据，得到的回归直线方程为，则下列说法中正确的是（    ）

A.与的样本相关系数

B.回归直线必过点

C.

D.若该产品的零售价定为22元，可预测销售量是万件

11.函数在一个周期内的图象可以是（    ）

A.    B.

C.    D.

12.数列共有项（常数为大于5的正整数），对任意正整数，有，且当时，.记的前项和为，则下列说法中正确的有（    ）

A.若，则

B.中可能出现连续五项构成等差数列

C.对任意小于的正整数，存在正整数，使得

D.对中任意一项，必存在，使得按照一定顺序排列可以构成等差数列

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若平面向量满足，则__________.

14.若一个偶函数的值域为，则这个函数的解析式可以是__________.

15.如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为__________.

16.三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3，点为棱的中点，点是线段上的动点，则到平面的距离为__________；设到平面的距离为到直线的距离为，则的最小值为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

公差不为零的等差数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）记的前项和为，求使成立的最大正整数.

18.（12分）

某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个.在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验.若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件.

（1）若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；

（2）若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测的次数为，求的分布列及期望.

19.（12分）

如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值.

20.（12分）

如图，内一点满足.

（1）若，求的值；

（2）若，求的长.

21.（12分）

已知抛物线，点为上一点，且到的准线的距离等于其到坐标原点的距离.

（1）求的方程；

（2）设为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长交于两点，求四边形面积的最小值.

22.（12分）

定义在上的函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；

（2）将的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列，若，求的值.

武汉市2022届高中毕业生四月调研考试

数学试卷参考答案及评分标准

选择题：

填空题

13.0  14.（答案不唯一，其它正确答案同样给分）

15.  16.①；②（第一空2分，第二空3分）

解答题

17.（10分）解：

（1）设公差为，则，

化简得，又，所以.

（2）.

令，得.

即，得

故满足成立的最大正整数为10.

18.（12分）解：

（1）设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A.

则

（2）可能取值为

则；

故的分布列是

故

19.（12分）解：

（1）取中点，由题意，，

又，故.

又，故，

所以四边形为平行四边形，则.

由平面，故平面，

又面，故平面平面.

（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：.

设平面的法向量.，令，得

设所求角的大小为，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20.（12分）解：

（1），此时.

在中，，

又，故

所以

（2）设，在中，.

在中，，代入得：.

又，故.

即，解得：，所以.

21.（12分）解：

（1）设抛物线焦点，由题意，故，解得：.

故抛物线的标准方程为.

（2）由题意，直线斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设点.，联立得：，由，得

，联立得：，由，得

因为，用代替，得.

故四边形面积.

令.

设函数，故单调递增.

故当，即时，取到最小值16，所以四边形面积的最小值是16.

22.（12分）解：

（1）时，，故.

故切线方程为，令.

此时所求三角形的面积为.

（2）

当时，.

由函数在区间上递增，且值域为，

故存在唯一，使得.

此时当时，单调递减；

当时，单调递增，因此.

同理，存在唯一，使得.

此时当时，单调递增；

当时，单调递减，因此.

由.

同理：.

由，整理得：.

又，故，则有

由，故或.

又，当时，不满足，舍去.

所以，即，则.

综上所述，.