中上，初三一轮复习，平行（特殊）四边形学案

这是一份中上，初三一轮复习，平行（特殊）四边形学案，共33页。学案主要包含了四边形的内角和定理及外角和定理，平行四边形，矩形，菱形，正方形，梯形，等腰梯形的性质与判定等内容，欢迎下载使用。
温习理解
一、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于180°；
多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
二、平行四边形
1、平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。学=科网
3、平行四边形的判定
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
三、矩形
1、矩形的概念
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等
（4）矩形是轴对称图形
3、矩形的判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
四、菱形
1、菱形的概念
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）具有平行四边形的一切性质
（2）菱形的四条边相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形是轴对称图形
3、菱形的判定
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积
S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
五、正方形
1、正方形的概念
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
六、梯形
1、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
3、等腰梯形的判定
（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
4、梯形中位线定理
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

典例分类
考点典例一、四边形的内角和及外角和
【例1】（2018新疆乌鲁木齐）如果边形每一个内角等于与它相邻外角的倍，则的值是 （ ）
A． B． C. D．

【举一反三】
（2018年湖北省宜昌市夷陵区东湖初级中学数学中考模拟试题（一））一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（　　）
A. 17 B. 16 C. 15 D. 16或15或17

考点典例二、平行四边形的性质与判定
【例2】淄博市2018年在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．

【举一反三】
（2017黑龙江绥化）如图，在中， 相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，已知，则下列结论：
①，②，③，④∽，其中正确的是（ ）

A． ①②③④ B．①④ C． ②③④ D．①②③

考点典例三、矩形的性质与判定
【例1】2018年甘肃省武威市已知矩形中，是边上的一个动点，点，，分别是，，的中点.

（1）求证：；
（2）设，当四边形是正方形时，求矩形的面积.

【举一反三】
1. 金华市2018年如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是_____．


2. 滨州市2018年如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为_____．



考点典例四、菱形的性质与判定
【例2】扬州市2018年如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接.

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积.

【举一反三】
1. 娄底市2018年如图，已知四边形中，对角线相交于点，且，，过点作，分别交于点.

(1)求证: ；
(2)判断四边形的形状，并说明理由.

2. 孝感市2018年如图，菱形的对角线，相交于点O，，，则菱形的周长为（ ）

A. 52 B. 48 C. 40 D. 20

考点典例五、正方形的性质与判定
【例3】盐城市2018年在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示.

（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由.

【举一反三】
如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片 ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、 AC于点E、G.连接GF.则下列结论错误的是( )

A. ∠AGD=112.5° B. 四边形AEFG是菱形 C. tan∠AED=2 D. BE=2OG

点典例六、特殊平行四边形综合题
【例4】金华市2018年在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．
（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．
①若点G为DE中点，求FG的长．
②若DG=GF，求BC的长．
（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．


【举一反三】
天津市2018年在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为D，E，F.

（Ⅰ）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点D落在线段BE上时，与交于点.
①求证；
②求点的坐标.
（Ⅲ）记为矩形对角线的交点，S为的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）.






考点典例七、等腰梯形的性质与判定
如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB=　　．


【举一反三】
如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC．则cos∠DPC的值是（　　）

　 A． B． C． D．
能力提升
一、选择题：
1.如图所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的正三角形，那么剪出的正三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（　　）

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形

2.如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF∶S△AOB的值为(　 　)

A. 1∶3 B. 1∶5 C. 1∶6 D. 1∶11

3. 天津市2018年如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）

A. B. C. D.

4（2018浙江温州）如图，四边形是边长为6的正方形，点在边上，，过点作，分别交，于，两点，若，分别是，的中点，则的长为( )

A.3 B. C. D.4

5.如图，在正方形 中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与重合），与交于点 ，连接 .下列五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤若，则的最小值是 ，其中正确结论的个数是 （ ）

A． B． C. D．

二，选择题
6.淄博市2018年在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．


7.（2018•株洲市•3分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.


8.成都市2018年如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段EF经过顶点D，当时，的值为__________.



9. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，以AB为一边向外作正方形ABDF，O为AE、BF交点，则OC长为_____．


10.．（2018湖北黄冈）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为　 　．


11. （2017重庆A卷）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是　 　．


三、解答题
12.潍坊市2018年如图,点M是正方形边CD上一点,连接,作于点E,手点F,连接．

(1)求证:；
(2已知,四边形的面积为24,求的正弦值．

13.如图，在长方形中， 是边上一动点，连接，过点作的垂线，垂足为，交于点，交于点.
（1）当＝，且是的中点时，求证： ＝.
（2）在（1）的条件下，求的值；
（3）类比探究：若＝3， ＝2，则＝ .


14.(2017·大庆)如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．


15.(2018四川省眉山市15分 ) 如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.

（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.















参考答案：
考点典例一、四边形的内角和及外角和
【例1】（2018新疆乌鲁木齐）如果边形每一个内角等于与它相邻外角的倍，则的值是 （ ）
A． B． C. D．
【答案】C．
【举一反三】
（2018年湖北省宜昌市夷陵区东湖初级中学数学中考模拟试题（一））一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（　　）
A. 17 B. 16 C. 15 D. 16或15或17
【答案】D
考点典例二、平行四边形的性质与判定
【例2】淄博市2018年在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．

【举一反三】
（2017黑龙江绥化）如图，在中， 相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，已知，则下列结论：
①，②，③，④∽，其中正确的是（ ）

B． ①②③④ B．①④ C． ②③④ D．①②③
【答案】D
考点典例三、矩形的性质与判定
【例1】2018年甘肃省武威市已知矩形中，是边上的一个动点，点，，分别是，，的中点.

（1）求证：；
（2）设，当四边形是正方形时，求矩形的面积.
【解答】（1）∵点F,H分别是BC,CE的中点，
∴FH∥BE，．
∴．
又∵点G是BE的中点，
∴．
又∵，
∴△BGF ≌ △FHC．

【举一反三】
1. 金华市2018年如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是_____．

【答案】．
2. 滨州市2018年如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为_____．

【答案】
【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
详解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，

∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF=x，AN=4﹣x，∵AB=2，
∴AM=BM=1，∵AE=，AB=2，∴BE=1，∴ME=，∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，
∴，∴，
解得：x=
∴AF=
故答案为：．
考点典例四、菱形的性质与判定
【例2】扬州市2018年如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接.

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积.
【解析】分析：（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；
（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；
详解：（1）∵四边形是平行四边形
∴，∴
∵是的中点，∴
∴在与中，
∵，∴四边形是平行四边形
∵，∴四边形是菱形
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，
∴.
【举一反三】
1. 娄底市2018年如图，已知四边形中，对角线相交于点，且，，过点作，分别交于点.

(1)求证: ；
(2)判断四边形的形状，并说明理由.
【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，由已知可得四边形ABCD是平行四边形，继而可根据ASA证明ΔAOE≌ΔCOF；
（2）由ΔAOE≌ΔCOF可得OE=OF，再根据OB=OD可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证得四边形BEDF是菱形.
【详解】（1）∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴平行四边形DEBF是菱形.
2. 孝感市2018年如图，菱形的对角线，相交于点O，，，则菱形的周长为（ ）

A. 52 B. 48 C. 40 D. 20
【答案】A
【解析】分析：由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长．
详解：∵菱形ABCD中，BD=24，AC=10，
∴OB=12，OA=5，
在Rt△ABO中，AB==13，
∴菱形ABCD的周长=4AB=52，
故选：A．
考点典例五、正方形的性质与判定
【例3】盐城市2018年在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示.

（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AECF是菱形，理由见解析.
【解析】分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
详证明：（1）∵正方形ABCD，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF.
（2）连接AC，

四边形AECF是菱形．
理由：∵正方形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，
∴OB+BE=OD+DF，
即OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
【举一反三】
如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片 ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、 AC于点E、G.连接GF.则下列结论错误的是( )

A. ∠AGD=112.5° B. 四边形AEFG是菱形 C. tan∠AED=2 D. BE=2OG
【答案】C
【解析】解:∵ AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=∠GAD=∠ADB=∠BAC=45°，
由对折的性质得DE平分∠ADB，
∴ ∠ADG=22.5°，
∵ ∠GAD+∠ADG+∠AGD=180°，∠ADG=22.5°，∠GAD=45°，
∴ ∠AGD=112.5°，
故A正确;



点典例六、特殊平行四边形综合题
【例4】金华市2018年在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．
（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．
①若点G为DE中点，求FG的长．
②若DG=GF，求BC的长．
（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．

详解：（1）①在正方形ACDE中，DG=GE=6，
中Rt△AEG中，AG=，
∵EG∥AC，
∴△ACF∽△GEF，
∴，
∴，
∴FG=AG=2．
②如图1中，正方形ACDE中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°，

∵EF=EF，
∴△AEF≌△DEF，
∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，
∵AE∥BC，
∴∠B=∠1=x，
∵GF=GD，
∴∠3=∠2=x，
在△DBF中，∠3+∠FDB+∠B=180°，
∴x+（x+90°）+x=180°，
解得x=30°，
∴∠B=30°，
∴在Rt△ABC中，BC=．
（2）在Rt△ABC中，AB==15，
如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，

∵DG∥AC，
∴△BDG∽△BCA，
设BD=3x，则DG=4x，BG=5x，
∴GF=GD=4x，则AF=15-9x，
∵AE∥CB，
∴△AEF∽△BCF，
∴，
∴，
整理得：x2-6x+5=0，
解得x=1或5（舍弃）
∴腰长GD为=4x=4．
如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，

设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，
∴FG=DG=12+4x，
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴，
∴，
解得x=2或-2（舍弃），
∴腰长DG=4x+12=20．
如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，过点D作DH⊥FG．

如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，作DH⊥AG于H．

设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x-12，
∴FH=GH=DG•cos∠DGB=，
∴FG=2FH=，
∴AF=AG-FG=，
∵AC∥EG，
∴△ACF∽△GEF，
∴，
∴，解得x=或-（舍弃），
∴腰长DG=4x-12=，
综上所述，等腰三角形△DFG的腰长为4或20或或．


【举一反三】
天津市2018年在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为D，E，F.

（Ⅰ）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点D落在线段BE上时，与交于点.
①求证；
②求点的坐标.
（Ⅲ）记为矩形对角线的交点，S为的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）.






考点典例七、等腰梯形的性质与判定
如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB=　　．

【答案】5.
【举一反三】
如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC．则cos∠DPC的值是（　　）

　 A． B． C． D．
能力提升
一、选择题：
1.如图所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的正三角形，那么剪出的正三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（　　）

B. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
【答案】D

2.如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF∶S△AOB的值为(　 　)

A. 1∶3 B. 1∶5 C. 1∶6 D. 1∶11
【答案】C
3. 天津市2018年如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）

A. B. C. D.
详解：过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．

∴PA+PE的最小值AE′；
∵E为AD的中点，
∴E′为CD的中点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,
∴DE′=BF，
∴ΔABF≌ΔAD E′，
∴AE′=AF.
故选D.
4（2018浙江温州）如图，四边形是边长为6的正方形，点在边上，，过点作，分别交，于，两点，若，分别是，的中点，则的长为( )

A.3 B. C. D.4
【答案】C.
试题解析：如图，过N作PQ∥BC，交AB，CD于P，Q，过M作MR∥CD，交EF于J，PQ于H，交BC于R

在正方形ABCD中，BC=CD=6∴BD=6∵BE=EG=4∴BG=4[来源:学科网ZXXK]∴DG=2
∵M是DG的中点∴MJ=DF=1，JF=1∵N为EC的中点∴PN=BC=3
∴QN=3∴NH=2，MH=3 ∴MN=
故选C.
5.如图，在正方形 中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与重合），与交于点 ，连接 .下列五个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤若，则的最小值是 ，其中正确结论的个数是 （ ）

A． B． C. D．
【答案】D
试题解析：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，
又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，
又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM=ON，∠COM=∠BON，
∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，
又∵DO=CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；
∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，
又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确；
∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，
又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故④正确；
∵△OCM≌△OBN，∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN=x=CM，则BM=2﹣x，∴△MNB的面积=x（2﹣x）=﹣x2+x，
∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，此时S△OMN的最小值是1﹣=，故⑤正确；
综上所述，正确结论的个数是5个，
故选：D．

二，选择题
6.淄博市2018年在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．

【答案】10
7.（2018•株洲市•3分）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.

【答案】6
8.成都市2018年如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段EF经过顶点D，当时，的值为__________.



9. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，以AB为一边向外作正方形ABDF，O为AE、BF交点，则OC长为_____．

【答案】

10.．（2018湖北黄冈）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为　 　．

【答案】6.
【解析】
试题解析：设BE与AC交于点P，连接BD，
∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的边长为6，∴AB=6．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6．
故所求最小值为6．

11. （2017重庆A卷）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是　 　．

试题解析：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，

∵DC∥AB，∴PQ⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，∴△PEC是等腰直角三角形，∴PE=PC，
设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，∴PD=EQ，∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，∴△DPE≌△EQF，
∴DE=EF，易证明△DEC≌△BEC，∴DE=BE，∴EF=BE，∵EQ⊥FB，∴FQ=BQ=BF，
∵AB=4，F是AB的中点，∴BF=2，∴FQ=BQ=PE=1，∴CE=，
Rt△DAF中，DF=，∵DE=EF，DE⊥EF，∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=EF=，∴PD==3，
如图2，

∵DC∥AB，∴△DGC∽△FGA，∴，∴CG=2AG，DG=2FG，
∴FG=，∵AC=，∴CG=，
∴EG=，
连接GM、GN，交EF于H，
∵∠GFE=45°，∴△GHF是等腰直角三角形，
∴GH=FH=，∴EH=EF﹣FH=，∴∠NDE=∠AEF，
∴tan∠NDE=tan∠AEF=，
∴，∴EN=，
∴NH=EH﹣EN=，
Rt△GNH中，GN=，
由折叠得：MN=GN，EM=EG，
∴△EMN的周长=EN+MN+EM=．
三、解答题
12.潍坊市2018年如图,点M是正方形边CD上一点,连接,作于点E,手点F,连接．

(1)求证:；
(2已知,四边形的面积为24,求的正弦值．
【解析】分析：（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；
（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x-2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．

（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，
∵四边形ABED的面积为24，
∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=-8（舍去），
∴EF=x-2=4，
在Rt△BEF中，BE=，
∴sin∠EBF=．
13.如图，在长方形中， 是边上一动点，连接，过点作的垂线，垂足为，交于点，交于点.
（1）当＝，且是的中点时，求证： ＝.
（2）在（1）的条件下，求的值；
（3）类比探究：若＝3， ＝2，则＝ .

∴∠ABF=∠DAG,所以AB=DA,所以△ABP△DAG,
∴AG=BP.
(2)由（1）AP=DG,AP=AD,DG=AD, ∴AB , ∴△DGE△BAE,∴.
（3）设AD=1,AB=3,DG=类比（2）可得∴△DGE△BAE,所以.
故答案为.
14.(2017·大庆)如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．

(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C.∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，∴∠DEG＝∠C＝∠AEG.
∵BE＝BF，∴∠F＝∠BEF＝∠AEG，∴∠F＝∠DEG，∴BF∥DE.
又∵EG∥BC，即FE∥BD，∴四边形BDEF为平行四边形；
(2)解：∵∠C＝45°，∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，∴△BDE，△BEF均是等腰直角三角形，
∴BF＝BE＝BD＝.
过点F作FM⊥BD交DB的延长线于点M，连接DF，如解图所示．

则△BFM是等腰直角三角形．∴FM＝BM＝BF＝1，
∴DM＝3.在Rt△DFM中，由勾股定理得DF＝＝.
即D，F两点间的距离为.
15.(2018四川省眉山市15分 ) 如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.

（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.
【答案】（1）证明：∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB,又∵M为BC中点，∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，∴∠ABC+∠MAB=90°,∵AC⊥BD，在Rt△CBE中，∴∠ACB+∠EBC=90°,∴∠MAB=∠EBC,
又∵MB=MN，AM⊥BC，∴△NBM为等腰直角三角形，∴∠MBN=∠MNB=45°,∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°,
∵∠MAB=∠EBC,∴∠NBE=∠ABN,∴BN平分∠ABE.
（2）解：∵四边形DNBC为平行四边形，
设BM=CM=MN=a，则DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵ ∴△ABN≌△DBN中（SAS），∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，∵BD=1，AB=AC=BD，∴AB=1，∴AM2+BM2=AB2 ， ∴（2a+a）2+a2=1，
解得：a= .∴BC=2a= .
（3）解证明：∵MB=MN，M为BC中点，∴MN=MB= BC，
又∵F是AB的中点，AB=AC=BD，
在Rt△ABM中，∴MF=AF=BF= AB= BD，∴∠MAB=∠FMN,
由（1）知∠MAB=∠EBC,∴∠FMN=∠EBC,
又∵ ,∴△MFN∽△BDC.