中考数学一轮复习讲义第21讲《概率的应用》教案

这是一份中考数学一轮复习讲义第21讲《概率的应用》教案，共35页。教案主要包含了概率的概念，概率的计算，概率的应用，判断游戏的公平性，概率与几何知识的综合应用，概率与统计知识的综合应用，概率与物理知识的综合应用等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习讲义
考点二十一：概率的应用
聚焦考点☆温习理解
一、概率的概念
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).
二、概率的计算
1.实验法
当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.学+科网
2. 公式法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝
3. 列表法
当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
4. 画树状图
当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.
5. 几何概型
一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.
三、概率的应用
1.摸球问题
2.掷正方体骰子问题
3.转盘问题
4. 判断游戏的公平性
5.概率与几何知识的综合应用
6. 概率与代数知识的综合应用
7. 概率与统计知识的综合应用
8. 概率与物理知识的综合应用
名师点睛☆典例分类
考点典例一、摸球问题
【例1】在一个不透明的袋子中有2个白球和6个黑球，他们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是_____．

【举一反三】
1.一个暗箱里装有10个黑球,8个红球,12个白球,每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一球，不是白球的概率是（ ）
A. B. C. D.

2.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．则两次摸出的小球的标号的和等于6的概率为（　　）
A. B. C. D.

考点典例二、掷正方体骰子问题
【例2】深圳市2018年一个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率__________．

【举一反三】
（2017广东省深圳市罗湖区二模）将一质地均匀的正方体骰子朝上一面的数字，与3相差1的概率是（    ）
A. B. C. D.

考点典例三、转盘问题
【例3】如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在丙区域内的概率是（ ）

A．1 B． C． D．

【举一反三】
成都市2018年汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________.


考点典例四、判断游戏的公平性
【例4】（陕西省西安市铁一中学2018届九年级二模）暑假期间，小明和小花准备出去游玩，小明想去重庆，小花想去云南，由于意见不一，通过掷骰子游戏来决定去向，规则如下：两人各掷一次骰子，两次出现的点数和为的倍数，则听从小明的意见，若出现的点数和为的倍数，则听小花的意见．
（）用列表法或画树状图确定听从小明意见的概率．
（）该游戏是否公平，若不公平，请提出修改方案．

【举一反三】
某学校要举办一次演讲比赛，每班只能选一人参加比赛．但八年级一班共有甲、乙两人的演讲水平相不相上下，现要在他们两人中选一人去参加全校的演讲比赛，经班主任与全班同学协商决定用摸小球的游戏来确定谁去参赛（胜者参赛）．
游戏规则如下：在两个不透明的盒子中，一个盒子里放着两个红球，一个白球；另一个盒子里放着三个白球，一个红球，从两个盒子中各摸一个球，若摸得的两个球都是红球，甲胜；摸得的两个球都是白球，乙胜，否则，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．
根据上述规则回答下列问题：
（1）从两个盒子各摸出一个球，一个球为白球，一个球为红球的概率是多少？
（2）该游戏公平吗？请用列表或树状图等方法说明理由．

考点典例五、概率与几何知识的综合应用
【例5】盐城市2018年一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为________．


【举一反三】
如图，在4张背面完全相同的卡片上分别印有不同的图案．现将印有图案的一面朝下洗匀后，从中随机抽取一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率是（ ）．

A． B． C． D．1

考点典例五、概率与代数知识的综合应用
【例6】扬州市2018年4张相同的卡片上分别写有数字-1、-3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀.
（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率是 ；
（2）从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数中的；再从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数中的.利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率.

【举一反三】
1. （2018四川省广元）已知二次函数y=kx2﹣6x+3，若k在数组
（﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4）中随机取一个，则所得抛物线的对称轴在直线x=1的右方时的概率为（　　）
A. B. C. D.

2. （2018四川省达州市）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（　　）
A. B. C. D.

考点典例七、概率与统计知识的综合应用
【例7】小亮参加中华诗词大赛，还剩最后两题，如果都答对，就可顺利通关．其中第一道单选题有4个选项，第二道单选题有3个选项．小亮这两道题都不会，不过还有一个“求助”没有使用（使用求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小亮第一题使用“求助”，那么他答对第一道题的概率是__；
（2）他的亲友团建议：最后一题使用“求助”，从提高通关的可能性的角度看，你同意亲友团的观点吗？试说明理由．

【举一反三】[来源:Z.xx.k.Com]
为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）本次问卷调查共抽查了　 　名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）请你估计该校约有　 　名学生最喜爱打篮球；
（4）学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或树状图的方法，求抽到一男一女的概率．


考点典例八、概率与物理知识的综合应用
【例8】已知电路AB是由如图所示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个，则使电路形成通路的概率是_______．


【举一反三】
如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是 ．


课时作业☆能力提升
1．金华市2018年如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（　　）

A. B. C. D.

2．（2018年广东省东莞）一个不透明的布袋里装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中3个红球，且从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，则白球的个数是（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

3．（2018江苏省无锡市）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A立方体朝上的数字为、小明掷B立方体朝上的数字为来确定点P（），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线上的概率为（ ）
A. B. C. D.

4．在a2□4a□4的空格□中，任意填上“+”或“﹣”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）
A．1 B． C． D．

5．四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（　　）
A. B. C. D. 1

6．如图，在空白网格内将某一个小正方形涂成阴影部分，且所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合．小红按要求涂了一个正方形，所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为

A. B. C. D.

7．（2018山东潍坊）如图，在菱形ABCD中，∠B=45o，以点A为圆心的扇形与BC，CD相切. 向这样一个靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的概率是（ ）.

A. 1- B. C. 1- D.
8．（2018内蒙古呼和浩特）如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为 （）

A. B. C. D.

9．（2017年广东省深圳市）某校举办诗词大会有4名女生和6名男生获奖，现从中任选1人去参加区诗词大会，则选中女生的概率是（　　）
A. B. C. D.

10．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏（　　）
A. 对小明有利 B. 对小亮有利
C. 游戏公平 D. 无法确定对谁有利

11．经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是（ ）
A. B. C. D.

12．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是_____________.

13. 天津市2018年不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________．

14．将一枚质地均匀的硬币连续掷三次，两次是正面朝上的概率是________．

15．一个不透明的袋子中有2个红球、3个黄球和4个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红色球的概率为________________________．

16．成都市2018年在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色兵乓球的个数是__________．

17．2018年浙江省舟山市小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次.小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢.”小红赢的概率是__________，据此判断该游戏__________（填“公平”或“不公平”）．

18． “五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到　 　元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．

19. 甘肃省定西市2018年如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案.

（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？
（2）现将方格内空白的小正方形（，，，，，）中任取2个涂黑，得到新图案.请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：(1)正方形网格被等分成9等份，其中阴影部分面积占其中的3份，根据概率的计算法则得出答案；(2)首先根据题意得出所有可能出现的情况，然后根据轴对称图形的性质得出符合条件的情况，从而得出答案．

20．（2018年重庆）某校团委为积极参与“陶行知杯.全国书法大赛”现场决赛，向学校学生征集书画作品，今年3月份举行了“书画比赛”初赛，初赛成绩评定为A,B,C,D,E五个等级。该校七年级书法班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图。请根据图中信息，解答下列问题。

该校七年级书法班共有 名学生; 扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于 度，并补全条形统计图;
A等级的4名学生中有2名男生，2名女生，现从中任意选取2名学生参加“陶行知杯.全国书法大赛”现场决赛，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率。







参考答案：
考点典例一、摸球问题
【例1】在一个不透明的袋子中有2个白球和6个黑球，他们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是_____．
【答案】
【解析】试题解析：从中随机摸出一个球，摸到白球的概率
故答案为：
【举一反三】
1.一个暗箱里装有10个黑球,8个红球,12个白球,每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一球，不是白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，故选D.
2.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．则两次摸出的小球的标号的和等于6的概率为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：根据题意可画树状图为：

根据题意可知共有16种可能的情况，而和等于6的情况只有3种可能，因此标号的和为6的概率为.
故选：C
考点典例二、掷正方体骰子问题
【例2】深圳市2018年一个正六面体的骰子投掷一次得到正面向上的数字为奇数的概率__________．
【答案】

【点睛】本题考查了概率的计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【举一反三】
（2017广东省深圳市罗湖区二模）将一质地均匀的正方体骰子朝上一面的数字，与3相差1的概率是（    ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵将一质地均匀的正方体骰子掷一次，共有6种等可能的结果，与点数3相差1的有2，4，
∴与点数3相差1的概率是： .
故选D.
考点典例三、转盘问题
【例3】如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在丙区域内的概率是（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，针指在某个扇形区域内的机会是均等的，所以指针指在丙区域内的概率=．
故选D．
考点：几何概率
【点睛】本题考查的是随机事件的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【举一反三】
成都市2018年汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为__________.

【答案】

点睛：此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
考点典例四、判断游戏的公平性
【例4】（陕西省西安市铁一中学2018届九年级二模）暑假期间，小明和小花准备出去游玩，小明想去重庆，小花想去云南，由于意见不一，通过掷骰子游戏来决定去向，规则如下：两人各掷一次骰子，两次出现的点数和为的倍数，则听从小明的意见，若出现的点数和为的倍数，则听小花的意见．
（）用列表法或画树状图确定听从小明意见的概率．
（）该游戏是否公平，若不公平，请提出修改方案．
【答案】（1）听小明意见的概率为，听小花意见的概率为；（2）不公平，可以改为奇数听小明，偶数听小花.
【解析】试题分析：（1）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次出现向上点数之和为2的倍数的情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）首先求得小明与小刚的得分，比较即可知这个游戏是否公平．只要得分相同，即可知游戏公平，可以改为奇数听小明，偶数听小花能够使游戏公平．
试题解析：（）列表如下：

∴，．
∴听小明意见的概率为，听小花意见的概率为．
（）不公平，可以改为奇数听小明，偶数听小花．
考点：随机事件的概率.
【点睛】该题考查的是随机事件概率的应用，判断游戏的公平性．游戏是否公平关键看在规则下双方获胜的概率是否相等，相等说明游戏公平，否则不公平．
【举一反三】
某学校要举办一次演讲比赛，每班只能选一人参加比赛．但八年级一班共有甲、乙两人的演讲水平相不相上下，现要在他们两人中选一人去参加全校的演讲比赛，经班主任与全班同学协商决定用摸小球的游戏来确定谁去参赛（胜者参赛）．
游戏规则如下：在两个不透明的盒子中，一个盒子里放着两个红球，一个白球；另一个盒子里放着三个白球，一个红球，从两个盒子中各摸一个球，若摸得的两个球都是红球，甲胜；摸得的两个球都是白球，乙胜，否则，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．
根据上述规则回答下列问题：
（1）从两个盒子各摸出一个球，一个球为白球，一个球为红球的概率是多少？
（2）该游戏公平吗？请用列表或树状图等方法说明理由．
【答案】（1）一个球为白球，一个球为红球的概率是；
（2）该游戏规则不公平.
【解析】试题分析：（1）画树状图列出所有等可能结果数，再根据概率公式计算即可得；
（2）分别求出甲获胜和乙获胜的概率，比较后即可得．
试题解析：（1）画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能情形，其中一个球为白球，一个球为红球的有7种，
∴一个球为白球，一个球为红球的概率是；
（2）由（1）中树状图可知，P（甲获胜）=，P（乙获胜）=，
∵，
∴该游戏规则不公平．
考点典例五、概率与几何知识的综合应用
【例5】盐城市2018年一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为________．

【答案】
【解析】分析：首先确定在阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率．
详解：∵正方形被等分成9份，其中阴影方格占4份，
∴当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为，
故答案为：．
点睛：此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比【举一反三】
如图，在4张背面完全相同的卡片上分别印有不同的图案．现将印有图案的一面朝下洗匀后，从中随机抽取一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率是（ ）．

A． B． C． D．1
【答案】B．

考点：概率公式；中心对称图形．
考点典例五、概率与代数知识的综合应用
【例6】扬州市2018年4张相同的卡片上分别写有数字-1、-3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗匀.
（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率是 ；
（2）从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数中的；再从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数中的.利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）总共有四个，奇数有两个，所以概率就是
（2）根据题意得：一次函数图形过第一、二、四象限，则

∴图象经过第一、二、四象限的概率是.
分析：（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用一次获胜的性质，找出k＜0，b＞0的结果数，然后根据概率公式求解．
详解：（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率=；
故答案为；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中k＜0，b＞0有4种结果，
所以这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率=．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了一次函数的性质．
【举一反三】
1. （2018四川省广元）已知二次函数y=kx2﹣6x+3，若k在数组
（﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4）中随机取一个，则所得抛物线的对称轴在直线x=1的右方时的概率为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题解析：这个函数的对称轴是x=，当k为2或者1这两个数的时候，所得抛物线的对称轴在直线x=1的右方，所以概率为．
故选B．
2. （2018四川省达州市）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字﹣1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案．
解：画树状图得：

∵x2+px+q=0有实数根，
∴△=b2﹣4ac=p2﹣4q≥0，
∵共有6种等可能的结果，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有（1，﹣1），（2，﹣1），（2，1）共3种情况，
∴满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是： =．
故选A．
考点典例七、概率与统计知识的综合应用
【例7】小亮参加中华诗词大赛，还剩最后两题，如果都答对，就可顺利通关．其中第一道单选题有4个选项，第二道单选题有3个选项．小亮这两道题都不会，不过还有一个“求助”没有使用（使用求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小亮第一题使用“求助”，那么他答对第一道题的概率是__；
（2）他的亲友团建议：最后一题使用“求助”，从提高通关的可能性的角度看，你同意亲友团的观点吗？试说明理由．
【答案】（2）见解析
试题解析：（1）∵第一道单选题有4个选项，∴小明第一题使用“求助”，则此时还剩3个选项，
那么小明答对第一道题的概率是，
故答案为： ；
（2）分别用A，B，C，D表示第一道单选题的4个选项，a，b，c表示第二道单选题的3个选项，
若第一道选择求助，画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
此时通关的概率为；
若第二道选择求助，画树状图可得：

∵共有8种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，此时通关的概率为，
∴最后一题使用“求助”，通关的可能性较大．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．正确地进行分情况讨论是解决本题的关键.学/科*网
【举一反三】[来源:Z.xx.k.Com]
为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）本次问卷调查共抽查了　 　名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）请你估计该校约有　 　名学生最喜爱打篮球；
（4）学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或树状图的方法，求抽到一男一女的概率．

【答案】（1）50；（2）补图见解析；（3）360；（4）
【解析】试题分析：（1）利用喜欢篮球的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数；
（2）先计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图；
（3）用1500乘以样本中喜欢篮球的百分比可估计出该校最喜爱打篮球的人数；
（4）通过列表展示所有12种等可能的结果数，再找出一男一女的结果数，然后估计概率公式求解．
解：（1）调查的总人数为12÷24%=50（人）；
（2）喜欢乒乓球的人数=50﹣12﹣17﹣7﹣4=10（人），
补全条形统计图为：

（3）1500×24%=36，
所以估计该校约有360名学生最喜爱打篮球；
（4）列表如下：
[来源:学科网ZXXK]
男1
男2
男3
女
男1
――――
（男2，男1）
（男3，男1）
（女，男1）
男2
（男1，男2）
――――
（男3，男2）
（女，男2）
男3
（男1，男3）
（男2，男3）
――――
（女，男3）
女
（男1，女）
（男2，女）
（男3，女）
――――

共有12种等可能的结果数，其中一男一女的情况有6种，
所以抽到一男一女的概率==．
考点：条形统计图，用用样本估计总体，随机事件的概率.
考点典例八、概率与物理知识的综合应用
【例8】已知电路AB是由如图所示的开关控制，闭合a，b，c，d，e五个开关中的任意两个，则使电路形成通路的概率是_______．

【答案】
【解析】列表得：
(a,e)
(b,e) 
 (c,e)
(d,e) 
−
 (a,d)
(b,d)
 (c,d)
−
 (e,d)
 (a,c)
(b,c)

 (d,c)
 (e,c)
(a,b)
_
 (c,b)
 (d,b)
 (e,b)
_
(b,a)
 (c,a)
 (d,a)
 (e,a)

∴一共有20种等可能的结果，使电路形成通路的有12种情况，
∴使电路形成通路的概率是： .
故答案为： .
考点：（1）概率公式；（2）概率的意义
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求事件的概率，又考查了物理中的电路问题，解决本题的关键一是列表法与树状图法求事件的概率，二是要明白物理中的电路问题的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【举一反三】
如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是 ．

【答案】
考点：（1）概率公式；（2）概率的意义
课时作业☆能力提升
1．金华市2018年如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°．让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析】求出黄区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率．
详解：∵黄扇形区域的圆心角为90°，
所以黄区域所占的面积比例为，
即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是，
故选B．
点睛：本题将概率的求解设置于转动转盘游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
2．（2018年广东省东莞）一个不透明的布袋里装有若干个只有颜色不同的红球和白球，其中3个红球，且从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，则白球的个数是（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】设白球有x个，
根据题意，得： =，
解得：x=6，
经检验：x=6是原分式方程的解，
即白球有6个，
故选A．
3．（2018江苏省无锡市）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A立方体朝上的数字为、小明掷B立方体朝上的数字为来确定点P（），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：易知P（x,y）的点总共有36种情况。
当x=1时，y=3；当x=2时，y=4；当x=3时，y=5；当x=4时，y=6；共4种情况在直线上
故概率为；故选C
考点：概率计算
4．在a2□4a□4的空格□中，任意填上“+”或“﹣”，在所有得到的代数式中，能构成完全平方式的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：此题考查完全平方公式与概率的综合应用，注意完全平方公式的形式．
能够凑成完全平方公式，则4a前可是“﹣”，也可以是“+”，但4前面的符号一定是：“+”，
此题总共有（﹣，﹣）、（+，+）、（+，﹣）、（﹣，+）四种情况，能构成完全平方公式的有2种，所以概率是．
考点：(1)、概率公式；(2)、完全平方式．
5．四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（　　）
A. B. C. D. 1
【答案】B

考点：1．概率公式；2．中心对称图形．
6．如图，在空白网格内将某一个小正方形涂成阴影部分，且所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合．小红按要求涂了一个正方形，所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示：

所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合的一共有9个，
能构成轴对称图形的有所标数据1,2,3,4,共4个,则所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为：.
故选：D.
7．（2018山东潍坊）如图，在菱形ABCD中，∠B=45o，以点A为圆心的扇形与BC，CD相切. 向这样一个靶子上随意抛一枚飞镖，则飞镖插在阴影区域的概率是（ ）.

A. 1- B. C. 1- D.
【答案】A
【解析】如图，

设切点为E，F，连接AE，
∵以点A为圆心的扇形与BC，CD相切，∴AE⊥BC，
∵∠B=45°，∴AE=BE=AB,∠BAC=135°，∴=BC⋅AE=，
=−=
∴飞镖插在阴影区域的概率=1− ，故选A.
8．（2018内蒙古呼和浩特）如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概率为 （）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵随机闭合开关、 、 中的两个,共有3种情况： , , ，
能让灯泡发光的有 、 两种情况。
∴能让灯泡发光的概率为.故选B.
9．（2017年广东省深圳市）某校举办诗词大会有4名女生和6名男生获奖，现从中任选1人去参加区诗词大会，则选中女生的概率是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C[来源:学科网]

10．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏（　　）
A. 对小明有利 B. 对小亮有利
C. 游戏公平 D. 无法确定对谁有利
【答案】C
【解析】根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇；由此可得两人获胜的概率相等，故游戏公平．
11．经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题解析：列表得：

∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，
∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是.
故选A．
12．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是_____________.
【答案】；
【解析】试题解析：列表得：

1
2
3
4
1
−−−
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
−−−
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
−−−
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
−−−

所有等可能的情况有12种，其中之和为奇数的情况有8种，
则
故答案为:
13. 天津市2018年不透明袋子中装有11个球，其中有6个红球，3个黄球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________．
【答案】
【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
详解：∵袋子中共有11个小球，其中红球有6个，
∴摸出一个球是红球的概率是，
故答案为：．
点睛：此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14．将一枚质地均匀的硬币连续掷三次，两次是正面朝上的概率是________．
【答案】
【解析】画树状图得：

∵共有8种等可能的结果，两次都是正面朝上的有4种情况，
∴两次都是正面朝上的概率是： ；
故答案是： ．
15．一个不透明的袋子中有2个红球、3个黄球和4个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红色球的概率为________________________．
【答案】
【解析】试题解析：根据题意可得：在不透明的袋子中有2个红球、3个黄球和4个蓝球，共9个，从袋子中随机摸出一个球，它是红色球的概率为.
16．成都市2018年在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色兵乓球的个数是__________．
【答案】6

点睛：此题主要考查了概率公式，正确利用摸到黄色乒乓球的概率求出黄球个数是解题关键．
17．2018年浙江省舟山市小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次.小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢.”小红赢的概率是__________，据此判断该游戏__________（填“公平”或“不公平”）．
【答案】 不公平

【点评】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.
18． “五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元．
（1）该顾客至多可得到　 　元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．
【答案】（1）70；（2）.
【解析】试题分析：（1）由题意可得该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客所获得购物券的金额不低于50元的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）；
（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况，
∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为：．
19. 甘肃省定西市2018年如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑3个小正方形所形成的图案.

（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？
（2）现将方格内空白的小正方形（，，，，，）中任取2个涂黑，得到新图案.请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】分析：(1)正方形网格被等分成9等份，其中阴影部分面积占其中的3份，根据概率的计算法则得出答案；(2)首先根据题意得出所有可能出现的情况，然后根据轴对称图形的性质得出符合条件的情况，从而得出答案．
详解：解：（1）∵正方形网格被等分成9等份，其中阴影部分面积占其中的3份，
∴米粒落在阴影部分的概率是=；

点睛：本题主要考查的是概率的计算法则以及轴对称图形的性质，属于基础题型．理解定义是解决这个问题的关键
20．（2018年重庆）某校团委为积极参与“陶行知杯.全国书法大赛”现场决赛，向学校学生征集书画作品，今年3月份举行了“书画比赛”初赛，初赛成绩评定为A,B,C,D,E五个等级。该校七年级书法班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图。请根据图中信息，解答下列问题。

该校七年级书法班共有 名学生; 扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角等于 度，并补全条形统计图;
A等级的4名学生中有2名男生，2名女生，现从中任意选取2名学生参加“陶行知杯.全国书法大赛”现场决赛，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率。
【答案】（1）50，144；图见解析；（2） .
【解析】试题分析：（1）用A等级的人数除以A等级所占的百分比求出总人数，再用360°乘以C等级所占的百分比求出C等级所对应扇形的圆心角的度数，再用总人数减去A、C、D、E等级的人数，求出B等级的人数，从而补全统计图；
（2）根据题意先列表，得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
（1）该校七年级书法班共有学生人数是： =50(人)；
扇形统计图中C等级所对应扇形的圆心角度数是：360°×=144°；
B等级的人数是：50−4−20−8−2=16(人)，补图如下：

（2）列表如下：
 
男
男
女
女
男
﹣﹣﹣
（男，男）
（女，男）
（女，男）
男
（男，男）
﹣﹣﹣
（女，男）
（女，男）
女
（男，女）
（男，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）
﹣﹣﹣

得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，所以恰好选到1名男生和1名女生的概率=．