中考复习之线段和差最值之费马点问题

中考数学复习线段和差最值系列之费马点

皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．

言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．

问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．

【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．以上依据似乎都用不上，怎么办？

若点P满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．

一、如何作费马点

问题要从初一学到的全等说起：

（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．

（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．

（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）

（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．

在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE．有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．

但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC<120°，若 ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：

此时CD与BE交点P点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P点到A、B、C距离之和大于A点到A、B、C距离之和．所以，是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A点！当然这种情况不会考的，就不多说了．

二、为什么是这个点

为什么P点满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC值就会最小呢？

归根结底，还是要重组这里3条线段：PA、PB、PC的位置，而重组的方法是构造旋转！

在上图3中，如下有△ADC≌△ABE，可得：CD=BE．

类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF=BE=CD．巧的，它们仨的长度居然一样长！

更巧的是，其长度便是我们要求的PA+PB+PC的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！

接下来才是真正的证明：

考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP，则△APQ是等边三角形．

△APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE．

以上两步分别转化PA=PQ，PC=QE，故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．

没有对比就没有差别，我们换个P点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ，同样有△APC≌△AQE，转化PA=PQ，PC=QE，

显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE．

还剩下第3个问题！如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！

【中考再现】问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE．

问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．

【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！

如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）

过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，

根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，∴△MHQ是等腰直角三角形，

∴MQ=HQ=4，∴NH=．

练习题

1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．

2.   如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．

3.   如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=15，现在要找两点E、F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为__________

4.   如图，等腰RtABC中，AB=4，P为ABC内部一点，则PA+PB+PC的最小值为_______

5.   如图，ABC中，AB=4，BC=3,ABC=75°，P为ABC内的一个动点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为________

6.   如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则PA+PB+PC的最小值为______

7.   在RtABC中，ACB=90°，AC=1，BC=，点O为RtABC内一点，连接AO、BO、CO，且AOC=COB=BOA=120°，则OA+OB+OC=_______

8.   如图，在四边形ABCD中，B=60°，AB=BC=3，AD=4，BAD=90°，点P是四边形内部一点，则PA+PB+PD的最小值是______

9.   如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，已知AB=2，BC=2，则PA+PB+PC的最小值为_______

10. 如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，ABC=150°，则PA+PB+PD的最小值为__________

11. 已知，在ABC中，ACB=30°,AC=3,AB=,(CB>CA),点P是ABC内一动点，则PA+PB+PC的最小值为__________

12. 如图，设点P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、则PC的最大值为______

13. 如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2、则PC的最大值为________

14. 如图，设点P到正方形ABCD两顶点A、D的距离为2，则PO的最大值为_________.

15. 如图，在RtABC中，∠BAC=90⁰，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90⁰，得到AE，连接CE、DE，点F是DE的中点，连接CF

问题：在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小，当PA+PB+PC取最小值时，AP的长为m，用含有m的式子表示CE的长.

参考答案

1.       2.4+3     3.2      4.2+2     5.       6.

7.     8.7       9.3     10.        11.     12.   13.

14.     15.