“PA+k·PB”型的最值-无答案练习题

专题：加权线段和即“PA+k·PB”型的最值问题

【知识储备】

线段最值问题常用原理：

①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边；

②两点间线段最短；

③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

 【模型初探】

（一）点 P 在直线上运动 “胡不归”问题

如图 1-1-1 所示，已知 sin∠MBN=k,点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点 P 作 PQ⊥BN 垂足为Q，则 k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图 1-1-2)，即 A、P、Q 三点共线时最小（如图 1-1-3），本题得解。

思考：当 k 值大于 1 时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？

【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”

① “胡不归”构造某角正弦值等于小于 1 系数 起点构造所需角（k=sin∠CAE）--------过终点作所构角边的垂线----------利用垂线段最短解决问题

1．(胡不归问题)如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线

BD（不含 B 点）上任意一点,则 AM+BM 的最小值为________

变式思考：(1)本题如要求“2AM+BM”的最小值你会求吗？

(2)  本题如要求“AM+BM+CM”的最小值你会求吗？

【变式训练】 (胡不归问题)

1.如图，等腰△ABC 中，AB=AC=3，BC=2，BC 边上AO，点 D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从点 A 出发，沿 AD-DC运动，动点 P 在 AD 上运动速度 3 个单位每秒，动点 P 在CD 上运动的速度为 1 个单位每秒，则当 AD=________时,运动时间最短为______秒

2.   如图，在菱形 ABCD 中，AB=6，且∠ABC=150°，点 P 是对角线 AC 上的一个动点则 PA+PB+PD 的最小值为 _________

【模型初探】

（二）点 P 在圆上运动 “阿氏圆”问题

如图所示 2-1-2，⊙O 的半径为 r,点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点，

已知 r=k·OB.连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？

分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2-1-2）在线段 OB上截取 OC

使 OC=k·r,则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。∴本题求“PA+k·PB”的最小值

转化为求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C三点共线时最小（如图 2-1-3），本题得解

【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 C、B，则所有满足

PC=kPB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼

斯发现，故称“阿氏圆”。

② “阿氏圆”构造共边共角型相似 构造△BPO ∽△△PCO  推出

2．(阿氏圆问题) 如图，点 A、B 在☉O 上，且 OA=OB=6，且 OA⊥OB，点 C 是 OA

的中点，点D在OB上，且OD=4，动点P在☉O上，则2PC +PD的最小值为_________

变式思考：(1)本题如要求“PC +PD ”的最小值你会求吗？

(2)本题如要求“PC +PD ”的最小值你会求吗？

【变式训练】 (阿氏圆问题)

1.   （1）【问题提出】：如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP，BP，求 AP＋BP 的最小值．

（2）在“问题提出”的条件不变的情况下，AP＋BP 的最小值为___________．

（3）已知扇形 COD 中，∠COD＝90º，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点 P 是 CD 上一点 ，则 2PA＋PB 的最小值为___________

2.如图，在直角坐标系中，以原点 O 为圆心作半径为 4 的圆交 X 轴正半轴于点 A，

点 M 坐标为（6,3），点 N 坐标为（8,0），点 P 在圆上运动，求PM +PN的最小值

3.如图，半圆的半径为 1，AB 为直径，AC、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为 上

一动点，求PC+PD 的最小值为______