2021年安徽省淮南市高三第二次模拟考试文科数学卷及答案

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参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分.）
1．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x∈R|﹣}，则M∩N＝（　　）
A．{x∈R|﹣} B．{﹣1，0，1}
C．{0，1} D．{1}
解：∵M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x∈R|﹣}，
∴M∩N＝{0，1}．
故选：C．
2．若复数z满足（z+1）（1+i）＝2﹣2i（i是虚数单位），则|z|＝（　　）
A．2 B． C．5 D．
解：由已知可得z＝＝＝﹣1﹣2i，
所以|z|＝，
故选：D．
3．“m＝﹣1”是“直线x+my﹣2m+2＝0与直线mx+y﹣m+1＝0平行”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解：当m＝0时，两直线可化为x+2＝0和y+1＝0，两直线垂直，∴m≠0
∵l1∥l2，则＝，
∴m2＝1，∴m＝﹣1或m＝1，
当m＝1时，两直线分别为x+y＝0，x+y＝0，两直线重合，
当m＝﹣1时，两直线分别为x+y+4＝0，x+y+2＝0，两直线平行
∴m＝﹣1是直线l1与直线l2平行的充分必要条件．
故选：A．
4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑．某园林建筑为六角攒尖，如图所示，它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥．设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为α，则底面内切圆半径与侧棱长的比为（　　）

A． B．sin C． D．2sin
解：设正六边形边长为2，则其内切圆半径r＝tan60°＝，
侧棱长为侧面等腰三角形的腰长a＝，∴底面内切圆半径与侧棱长的比为＝sin．
故选：B．
5．已知圆C1：x2+y2﹣2x+my+1＝0（m∈R）关于直线x+2y+1＝0对称，圆C2的标准方程是（x+2）2+（y﹣3）2＝16，则圆C1与圆C2的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
解：圆C1：x2+y2﹣2x+my+1＝0（m∈R）关于直线x+2y+1＝0对称，
可得1﹣m+1＝0，解得m＝2，
所以圆C1：x2+y2﹣2x+2y+1＝0的圆心（1，﹣1），半径为1，
圆C2的标准方程是（x+2）2+（y﹣3）2＝16，圆心（﹣2，3），半径为4，
所以圆心距为：＝5＝1+4，
所以两个圆外切，
故选：B．
6．已知函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|≤）部分图象如图所示，若对不同的m，n∈[x1，x2]，当f（m）＝f（n）时，总有f（m+n）＝1，则（　　）

A．x2﹣x1＝π，φ＝ B．x2﹣x1＝，φ＝
C．x2﹣x1＝π，φ＝ D．x2﹣x1＝，φ＝
解：根据函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|≤）部分图象，可得A＝2，
函数的周期为＝π，∴x2﹣x1＝T＝，故排除A、C．
对不同的m，n∈[x1，x2]，当f（m）＝f（n）时，总有f（m+n）＝1，
∴＝＝，∴m+n＝，
故f（m+n）＝2sin（π﹣2φ+φ）＝2sinφ＝1，∴φ＝，
故选：D．
7．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k的值是8，则满足条件的整数S0的个数有（　　）

A．256 B．128 C．64 D．32
解：由程序框图知：算法的功能是求S＝S0﹣20﹣22﹣24…﹣2k的值，
∵输出k＝8，即S＝S0﹣20﹣22﹣24满足S＞0的条件，且S＝S0﹣20﹣22﹣24﹣26不满足条件S＞0，
∴解得21＜S0≤85，
∴满足条件的整数一共有64．
故选：C．
8．小华同学每天晚上睡觉前要求自己背诵15个英文单词，若将超出记为“+”，不足记为“﹣”，则上周一至周五，他的完成情况分别为﹣2，﹣1，x，+4，y，已知这五个数据的平均数是0，方差是5.2，则上周一至周五，小华背诵的单词数量的众数和中位数分别是（　　）
A．13，14 B．﹣2，﹣1 C．13，13 D．﹣2，﹣2
解：∵﹣2，﹣1，x，+4，y，这五个数据的平均数是0，方差是5.2，
∴，
解得x＝﹣2，y＝1，或x＝1，y＝﹣2．
∴上周一至周五，小华背诵的单词数量分别为：
13，14，13，19，16，从小到大为：13，13，14，16，19，
∴众数为13，中位数为14．
故选：A．
9．定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），当x∈（0，1]，f（x）＝x﹣log2x，则f（）＝（　　）
A． B． C． D．
解：根据题意，定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），
则f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2），
变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）的周期为4，
故f（）＝f（+4×252）＝f（）＝﹣f（），
而f（）＝﹣log2＝，
则f（）＝﹣f（）＝﹣，
故选：D．
10．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，若点A在l上，点B在抛物线上，l与x轴的交点为C，△ABF是正三角形，且四边形ABFC的面积是6，则p＝（　　）

A．1 B． C．2 D．3
解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，
由点A在l上，点B在抛物线上，l与x轴的交点为C，
△ABF是正三角形，且四边形ABFC的面积是6，
可得|CF|＝p，|AF|＝2p，
所以＝6，
解得p＝2．
故选：C．
11．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC的内心O到三边的距离均为1，PO⊥平面ABC，且△PBC的BC边上的高为2，则该三棱锥的内切球的体积为（　　）
A．π B．π C．π D．
解：如图，O为△ABC的内心，若PE⊥BC，则BC⊥平面EPO，
又OE⊂平面EPO，即有OE⊥BC，故OE＝1，PE＝2，
若F为内切球的球心，且FD⊥PE，即内切球的半径为r＝FO＝FD，
∴，而，
∴，解得，
∴该三棱锥的内切球的体积为．
故选：C．

12．已知函数f（x）＝2alnx+x2﹣2（a+1）x恰有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，+∞） B．（﹣） C．（﹣1，0） D．（﹣，+∞）
解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝+2x﹣2（a+1）＝，
①a＝0时，f（x）＝x2﹣2x，
f（x）在（0，+∞）上仅有1个零点2，不合题意，
②a＜0时，x﹣a＞0，x＞0，
当x∈（0，1）时，x﹣1＜0，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（1，+∞）时，x﹣1＞0，f′（x）＞0，f（x）递增，
f（x）min＝f（1）＝﹣2a﹣1，由函数有2个零点，
则﹣2a﹣1＜0，解得：a＞﹣，
③a＝1时，f′（x）＝≥0，f（x）递增，仅有1个零点，不合题意，
④0＜a＜1时，当x∈（0，a），（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
x∈（a，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，f（1）＝﹣2a﹣1＜0，
若f（x）有2个零点，则f（a）＝0，即2alna+a2﹣2（a+1）a＝0，
而0＜a＜1，alna＜0，故f（a）＜0，f（x）只有1个零点，
⑤a＞1时，当x∈（0，1），（a，+∞），f（x）递增，
x∈（1，a）时，f（x）递减，f（1）＝﹣2a﹣1＞f（a），
而f（1）＜0，f（a）＜0，故f（x）只有1个零点，不合题意，
综上：a的取值范围是（﹣，0），
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
13．设单位向量，的夹角为θ，||＝，则θ＝　　．
解：单位向量，的夹角为θ，||＝，
可得＝，
所以4cosθ＝﹣2，
所以cosθ＝﹣，因为θ∈[0，π]，
所以θ＝．
故答案为：．
14．设实数x，y满足约束条件，则z＝y﹣2x的最小值为　﹣6　．
解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（5，4），
由z＝y﹣2x，得y＝2x+z，
由图可知，当直线y＝2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，
z有最小值为﹣6．
故答案为：﹣6．
15．已知定点A（0，2），B（0，﹣2），C（3，2），以C为一个焦点作过A，B两点的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是　y2＝1（y≤﹣1）　．
解：由题意|AC|＝3，|BC|＝5，
|AB|＝4，又|AF|+|AC|＝|BF|+|BC|，
∴|AF|﹣|BF|＝|BC|﹣|AC|＝2＜4．
故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．
又c＝2，a＝1，b2＝3，
所以轨迹方程为y2＝1（y≤﹣1）．
故答案为：y2＝1（y≤﹣1）．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知acosB+bcosA＝2ccosC，sinA＝4sinB，c＝．则△ABC的面积为　　．
解：∵bcosA+acosB＝2ccosC，①
由正弦定理知，b＝2RsinB，a＝2RsinA，c＝2RsinC，②
将②式代入①式，得2sinBcosA+2sinAcosB＝4sinCcosC，
化简，得sin（A+B）＝2sinCcosC．
又sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC，
∴sinC＝2sinCcosC，
∵sinC≠0，
∴cosC＝，
∴C＝，∴sinC＝，
将②代入sinA＝4sinB得：a＝4b，
由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab，
把a＝4b代入得：c2＝16b2+b2﹣4b2＝13b2，
∴c＝b，即b＝1，a＝4，
∴S△ABC＝absinC＝×4×＝，
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．2021年是中国共产党成立100周年，中共中央要求我们要熟悉党史、学习党史．某社区为了解居民对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，并从所有的居民竞赛试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50，60）的试卷份数是24．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在成绩为[80，90）和[90，100]这两组中共抽取5份试卷，并从这5份试卷中任取2份试卷的居民进行点评，求分数在[90，100]恰有1份的概率．

解：（Ⅰ）由频率分布直方图得[50，60）间的频率为0.12，
∴n＝24÷0.12＝200，
∵概率和为1，∴m＝（1﹣0.24﹣0.18﹣0.16﹣0.12）÷10＝0.03．
（Ⅱ）∵n＝200，∴第四组[80，90）的频数：0.024×10×200＝48，
第五组[90，100]的频数：0.016×10×200＝32，
用分层抽样的方法抽取5份试卷得：
第四组[80，90）抽取：＝3，第五组[90，100]抽取：＝2．
从这5份试卷中任取2份试卷的居民进行点评，基本事件总数n＝＝10，
其中分数在[90，100]恰有1份包含的基本事件个数m＝＝6，
∴分数在[90，100]恰有1份的概率P＝＝＝．
18．设数列{an}的前n项的和Sn＝（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn＝（2n+1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（Ⅰ）由Sn＝（n∈N*），可得n＝1时，a1＝S1＝1，
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＝3n﹣1，
上式对n＝1也成立，
所以an＝3n﹣1，n∈N*；
（Ⅱ）bn＝（2n+1）an＝（2n+1）•3n﹣1，
则Tn＝3•30+5•31+7•32+9•33+...+（2n+1）•3n﹣1，
3Tn＝3•3+5•32+7•33+9•34+...+（2n+1）•3n，
两式相减可得﹣2Tn＝3+2（31+32+33+...+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n
＝3+2•﹣（2n+1）•3n，
化简可得Tn＝n•3n．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，AD∥BC，∠ABC＝90°，2AB＝2AD＝CD＝BC＝2．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PBD；
（Ⅱ）若直线PD与底面ABCD所成的角为60°，求点B到平面PCD的距离．

【解答】（Ⅰ）证明：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，，
∴△ABD，△BCD都是等腰直角三角形，即CD⊥DB，
又∵平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC＝90°，平面PBC∩平面ABCD＝BC，
∴直线PB⊥平面ABCD，由CD⊂平面ABCD，∴PB⊥CD，又PB∩BD＝B，
∴CD⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：∵PB⊥平面ABCD，∴PD与地面ABCD所成角为∠PDB＝60°，
∵＝2，∴DB＝，
在Rt△PDB中，，，
设点B到平面PCD距离为d，由VB﹣PDC＝VP﹣DBC，
得，∴＝＝，
∴点B到平面PCD距离为．
20．已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是（1，﹣），（2，﹣4），（﹣3，0），（4，4）．
（Ⅰ）求C1，C2的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M，N且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y2＝2px（p≠0），
所以＝2p，
可以验证点（2，﹣4），（4，4）在抛物线上，
所以抛物线的方程为C2：y2＝8x．
设椭圆C1：+＝1（a＞b＞0），
将（1，﹣），（﹣3，0）代入可得a2＝9，+＝1，
解得a＝3，b＝1，
所以C1的方程为+y2＝1：
（Ⅱ）C2的焦点为F（2，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，
由椭圆的对称性可得直线l交椭圆C1于点M（2，），N（2，﹣），
因为•≠0，不满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），
与椭圆方程x2+9y2＝9联立，
可得（1+9k2）x2﹣36k2x+36k2﹣9＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
于是x1+x2＝，x1x2＝，
y1y2＝k2（x1﹣2）（x2﹣2）＝k2（x1x2+4﹣x1﹣x2）＝k2（+4﹣）＝﹣，
由⊥，可得•＝0，
可得x1x2+y1y2＝﹣﹣＝0，
解得k＝±．
所以存在直线l满足条件，且l的方程为y＝±（x﹣2）．
21．已知函数f（x）＝+alnx（a∈R，且a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数g（x）＝2x2f′（x）﹣xf（x）﹣3a（a＜0）存在实数x1，x2∈[1，e2]，使得不等式2g（x1）＜g（x2）成立，求a的取值范围．
解：（Ⅰ）∵f（x）＝+alnx，∴f′（x）＝（x＞0）．
当a＞0时，∵＞0，∴x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；
当﹣1＜a＜0时，∵＜0，∴f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，则f（x）的减区间为（0，+∞）；
当a＝﹣1时，∵f′（x）＝＜0，∴f（x）的减区间为（0，+∞）；
当a＜﹣1时，＞0，∴x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的增区间为（0，），减区间为（，+∞）．
综上，当a＞0时，f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；
当﹣1≤a＜0时，f（x）的减区间为（0，+∞）；
当a＜﹣1时，f（x）的增区间为（0，），减区间为（，+∞）；
（Ⅱ）g（x）＝2x2f′（x）﹣xf（x）﹣3＝2ax﹣axlnx﹣（6a+3）（a＜0），
∵存在实数x1，x2∈[1，e2]，使得不等式2g（x1）＜g（x2）成立，
∴2g（x）min＜g（x）max，
g′（x）＝a（1﹣lnx），
∵a＜0，∴当x∈[1，e）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（e，e2]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（x）min＝g（e）＝ae﹣6a﹣3，＝﹣6a﹣3，
∴2ae﹣12a﹣6＜﹣6a﹣3，得a＞，
又a＜0，∴a∈（）．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程（a∈R）．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角；
（Ⅱ）若l与C相交于A、B两点，且|AB|＝，求a的值．
解：（1）由（α为参数），消去参数α，得；
由，得ρsinθ+ρcosθ﹣a＝0，即x+y﹣a＝0，
可得直线l的斜率为﹣1，倾斜角为；
（2）联立，得5x2﹣8ax+4a2﹣4＝0．
由△＝64a2﹣20（4a2﹣4）＞0，得a2＜5，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
则|AB|＝＝＝，
解得a＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+4|．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若不等式m+﹣f（x）≥0对任意正数m恒成立，求实数x的取值范围．
解：（Ⅰ）法一：函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+4|＝，作出f（x）的图象：
从图不难看出f（x）的值域为[﹣5，5]；
法二：由绝对值不等式
可得f（x）＝|x﹣1|﹣|x+4|≤|（x﹣1）﹣（x+4）|＝|5|，
即f（x）≤|5|，
可得﹣5≤f（x）≤5．
故得f（x）的值域为[﹣5，5]；
（Ⅱ）不等式m+﹣f（x）≥0对任意正数m恒成立，
只需f（x），
由图象可知当﹣2x﹣3＝时，可得x＝；
要使f（x），
只需，
故得实数x的取值范围[，+∞]．