期中复习模拟试题（五）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

   2020—2021学年高一数学下学期期中复习试题  

                       满分： 100分            时间：  60分钟          

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。

1.已知向量 ， ， ，则以向量 与 为基底表示向量 的结果是（   ）           

A.                     B.                     C.                     D.   

2.日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为 ，矩形的宽和正方形的边长均为 .若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为   ，则 的最大值为（    ） 

A.                                  B.                                  C. 32π                                 D. 

3.在 中， ，E为 的中点，则 （    ）           

A.                 B.                 C.                 D. 

4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）           

A. 若 ，则                               B. 若 ，则
C. 若 ，则             D. 若 ，则

5.下列命题中，正确的命题是                 

A. 任意三点确定一个平面
B. 三条平行直线最多确定一个平面
C. 不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行
D. 一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行

6.已知a，b是两条直线， ， ， 是三个平面，则下列命题正确的是（    ）           

A. 若 ∥ ， ∥ ， ∥ 则 ∥                   B. 若 ， ，则 ∥
C. 若 ， ， ，则        D. 若 ∥ ， ∥ ，则 ∥

7.在正方体 中，三棱锥 的表面积为 ，则正方体外接球的体积为（    ）           

A.                                   B.                                   C.                                   D. 

8.已知平面四边形 ，按照斜二测画法（ ）画出它的直观图 是边长为1的正方形（如图所示），则原平面四边形 的面积是（   ） 

A.                                       B.                                       C.                                       D. 

9.如图， 中， ， .将 绕点 逆时针方向旋转得到 .此时恰好点 在 上， 交 于点 ，若 的面积为12，则 的面积为（    ） 

A. 4                                           B. 6                                           C. 8                                           D. 9

10.已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则 （    ）           

A.                          B.                          C.                          D. 

11.向量 ， ， ，且 ，则实数 （    ）           

A. 3                                          B. -3                                          C. 7                                          D. -7 

12.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是（    ）           

A.  ， ，
B.  ， ，   

C.  ， ，
D.  ， ，   

第Ⅱ卷（非选择题 共40分）

二、填空题：本题共计4小题，共计16分。

13.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知 内接于单位圆，以 ， ， 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为 ， ， .若 ，则 的面积最大值为________.   

14.如图，在长方体 中， ， ， ，E、F分别为棱 、 的中点.动点P在长方体的表面上，且 ，则点P的轨迹的长度为________. 

15.早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把 按 计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于________． 

16.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1  ， F2  ， 且F1  ， F2与水平夹角均为45°， ，则物体的重力大小为________． 

三、解答题：本题共计4小题，共计24分。

17.      

（1）已知非零向量 ， 不共线.若 和 共线，求实数 的值；   

（2）已知 ，求 的值.   

18.已知复数 为虚数单位）．   

（1）若 ，求 ；   

（2）若 在复平面内对应的点位于第一象限，求 的取值范围．   

19.据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面． 

（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比；   

（2）假设球半径 ．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.   

20.如图，在四棱台 中，底面 为矩形， ， ， ， ．E为 靠近D点的三等分点，平面 与直线 交于点P，连接 交 于O点． 

（1）求证： ；   

（2）若F为 的三等分点(靠近B点)，请在线段 上确定一点Q，使 平面 ，并证明之．   

答案解析

一、单选题

1.【答案】 A  

【解析】设 ，则 ，解得 ，所以 ．

故答案为：A．

 2.【答案】 A  

【解析】根据题意作出礼盒的直观图如下图所示：

由图可知该几何体为直三棱柱，

设等腰三角形的内切圆半径为 ，又因为等腰三角形的高为 ，

所以根据等面积法可知： ，所以 ，

又因为正方形的边长为 ，所以 ，

所以球形硬糖的半径最大值为 ，所以体积 的最大值为 ，

故答案为：A.

3.【答案】 D  

【解析】 ，

故答案为：D

4.【答案】 D  

【解析】A不符合题意，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；

B不符合题意，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；

C不符合题意，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；

D符合题意，由 ， 便得 ，又 ， ，即 ，

故答案为：D.

 
5.【答案】 C  

【解析】解：在A中，不共线的三点确定一个平面，A不符合题意；

在B中，三条平行直线最多确定三个平面，B不符合题意；

在C中，不同的两条直线均垂直于同一个平面，

则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行，C符合题意；

在D中，一个平面中的两条相交直线与另一个平面都平行，

则这两个平面平行，D不符合题意．

故答案为：C．

6.【答案】 C  

【解析】对于 选项：当 ，则 或 ，故 选项不正确；

对于 选项：当 ，则 或 ，故 选项不正确；

对于 选项：根据线面垂直的判定定理及面面垂直的性质可知 选项正确；

对于 选项：当 ，则 或 ，故 选项不正确；

故答案为：C

7.【答案】 B   

【解析】解：设正方体的棱长为 ，则 ，

由于三棱锥 的表面积为 ，

所以   ，

所以   ，

所以正方体的外接球的半径为 ，

所以正方体的外接球的体积为   ，

故答案为：B．

8.【答案】 B  

【解析】依题意，直观图 的面积 ，设原图面积为 ，则 ，所以 ，所以 ，

故答案为：B.

9.【答案】 D  

【解析】∵ ， ，∴ ，

∵将 绕点 逆时针方向旋转得到 ，

∴ ， ，

∴ 是等边三角形，

∴ ，∴ ，∴ ，

设 ，则 ， ，

∴ ，∴ ，

∴ 与 的面积之比为 ,

又 的面积为12，则 的面积为

故答案为：D.

10.【答案】 B  

【解析】【解答】 ， ，因此， .

故答案为：B.

11.【答案】 B  

【解析】依题意 ，

即 ，

所以 .

故答案为：B.

12.【答案】 B  

【解析】如下图所示：

若角 为锐角，且 有两解，则 .

对于A选项， ， ， ， ，但 ，此时 没有两解，A选项不满足条件；

对于B选项， ， ， ， ，此时 有两解，B选项满足条件；

对于D选项， ， ， ， ，此时 没有两解，D选项不满足条件；

对于C选项， ， ， 且 ，此时 只有一解，C选项不满足条件.

故答案为：B.

二、填空题

13.【答案】   

【解析】解：设 ，由题意以 边向外作等边三角形 ，其外接圆圆心分别为 ，

连接 并延长分别交 于 ，

则 ，同理 ，

都是等边三角形，则 ，又 ，则 ，所以 ，

是正三角形，所以其面积为 ，

内接于单位圆，即其外接圆半径为 ，则 ，同理 ，设 ，则 ，

，

， ，

所以当 时， 取得最大值 ，

所以 的面积最大值为 ．

故答案为： ．

 14.【答案】   

【解析】过E构造一个平面 ，使得 ,当点 在平面 与正方体的表面的交线上时，就有 成立.

连接 ，则在正方体中E、F分别为棱 、 的中点.

则 .

在侧面 内过点F作 ,交 于点G.

则平面 就是需要的平面 .

则平面 截正方体得到截面为矩形 .如图

则动点P的轨迹为矩形 的四条边组成的图形.

，则 .

所以

所以 ，则

.

所以矩形 的周长为:

故答案为：

15.【答案】   

【解析】由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，

设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为 ，

则 ，得 ，

所以正五棱锥的顶点到底面的距离是 ，

所以 ，即 ，解得 ．

所以该正二十面体的外接球表面积为 ，

而该正二十面体的表面积是 ，

所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于 ．

故答案为： .

16.【答案】 20  

【解析】如图，∵ ，

∴ ，

∴物体的重力大小为20．

故答案为：20．

三、解答题

17.【答案】 （1）解：∵ 与 共线，  

∴存在 ，使 ，

即 ，由于 与 不共线，只能有

∴ .

（2）解：∵ ，  

∴ ，

∴ .

∵

【解析】（1）根据向量共线基本定理知存在 ，使 ，即可求解（2）根据诱导公式化简求值即可.

18.【答案】 （1）解： ，  

若 ，则 ，得 ，此时

（2）解：若 在复平面内对应的点位于第一象限，  

则 且 ，

得 ，即 ，

即 的取值范围是 ．

【解析】1）利用复数的四则运算，先进行化简，结合若 ，即可求 ；（2）结合复数的几何意义，求出对应点的坐标，结合点与象限的关系即可求 的取值范围．

19.【答案】 （1）解：设球的半径为r，则圆柱底面半径为r，高为    

圆柱的体积  

球的体积  

圆柱与球的体积比为：
（2）解：由题意可知：圆锥底面半径为 ，高为    

圆锥的母线长：  

圆锥体积： .

圆锥表面积： .

【解析】（1）利用球和圆柱的体积公式求解即可；（2）由球的半径得出圆锥的底面半径以及高，进而得出母线长，再由圆锥的体积公式以及圆的面积公式，扇形的面积公式得出圆锥的体积和表面积.

20.【答案】 （1）证明：如图 

在 中， ， ，故 ，所以 ；

在 中， ， ，故 ，所以 ；

所以 ，即 ，

又 ， ， 面 ，所以 面 ，又 面 ，所以

（2）证明：使平面 与平面 的夹角为 ，在 上取点 ，过点 作 垂直 ，  

因为 ，平面 平面 ，所以 与平面 ，因为 平面 ，所以 ，同（1）中证明可得 ， ， 面 ，

所以 面 ，因为 面 ，所以面 面

因为 面

所以 面

【解析】（1）利用直角三角形中的正切函数定义结合三角形内角和为180度，进而求出

，即 ，又 ，再利用线线垂直证出线面垂直， 所以 面 ， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 。
（2） 使平面 与平面 的夹角为 ，在 上取点 ，过点 作 垂直 ， 因为 ， 再利用线线垂直证出线面垂直， 所以 与平面 ， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直 ，所以 ，同（1）中证明可得 ， 再利用线线垂直证出线面垂直，所以 面 ，因为 面 ，所以面 面   ， 再利用面面平行的性质定理证出线面平行，从而证出 平面 。