浙江省浙北G2联盟2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题（Word版含解析）

浙北G2联盟2021-2022学年高一下学期期中联考

数学试题

选择题部分（共60分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．

1．设平面向量，，若，则（    ）

A．-6  B．  C．  D．6

2．在△ABC中，已知，，，则角C为（    ）

A．60°  B．30°或150  C．60°或120°  D．120°

3．已知△ABC中，，，则以边AC所在直线为轴旋转△ABC一周形成的几何体的体积为（    ）

A．  B．  C．  D．

4．在△ABC中，点M为AC上的点，且，若，则的值是（    ）

A．  B．  C．1  D． 

5．在三棱锥中，PA、AB、AC两两垂直，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A．  B．  C．  D．

6．下列结论不正确的是（    ）

A．在△ABC中，若，则

B．若△ABC为锐角三角形，则

C．若，则△ABC为钝角三角形

D．在△ABC中，若，，三角形面积，则三角形的外接圆半径为

7．如图，在长方体中，，，M为棱上的一点．当取得最小值时，的长（    ）

A．  B．  C．  D．

8．已知△ABC中，，，，，，则的最小值为（    ）

A．  B．  C．  D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（    ）

A．16  B．64  C．32  D．无法确定

10．下列关于简单几何体的说法正确的是（    ）

A．所有棱长都相等的正三棱锥是正四面体  B．正四面体的内切球与外接球半径之比为1：3

C．侧棱与底面垂直的四棱柱是直平行六面体  D．同底等高的圆柱和圆锥的表面积之比是2：1

11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BC边上的中线，则下列说法正确的有（    ）

A．与均为定值  B．

C．      D．的最大值为

12．在△ABC中，，，O为△ABC内的一点，设，则下列说法正确的是（    ）

A．若O为△ABC的重心，则  B．若O为△ABC的内心，则

C．若O为△ABC的外心，则  D．若O为△ABC的垂心，则

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知三角形三边长为3，4，，则这个三角形中最大的内角为______．

14．若，，与的夹角为60°，若，则m的值为______．

15．已知复数满足，求的最小值______．

16．已知△ABC三点在平面直角坐标系x—O—y所在平面内，点B、C分别在x、y正半轴上滑动，，，，则的最大值为______．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）已知复数，其中i为虚数单位．

（Ⅰ）求z及；

（Ⅱ）若，求实数a，b的值．

18．（本题满分12分）如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕AB旋转一周．（注：台体的体积公式：（表示上底面面积，表示下底面面积，h表示台体的高）

（Ⅰ）求阴影部分形成的几何体的表面积；

（Ⅱ）求阴影部分形成的几何体的体积．

19．（本题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

（Ⅰ）求A．

（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．

20．（本题满分12分）已知，，．

（Ⅰ）求 ；

（Ⅱ）求与的夹角；

（Ⅲ）若在方向上的投影向量为，求的值．

21．（本题满分12分）杭州市为迎接2022年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所以项目设计需要预留出BD，BE为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），ED，DC，CB，BA，AE为赛道，，，．

（Ⅰ）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；

①；②

（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长（即最大），最长值为多少？

22．（本题满分12分）已知正△ABC的边长为，内切圆圆心为I，点P满足．

（Ⅰ）求证：的定值并求此定值；

（Ⅱ）把三个实数a，b，c的最小值记为，若，求m的取值范围；

（Ⅲ）若，，求的最大值．

浙北G2联盟2021-2022学年高一下学期期中联考

数学试题

答案

1．B

2．解析：因为，所以三角形又两个解，由正弦定理，或120°，故选C．

3．解析：依题易知为两个同底的圆锥，半径和高分别为4，3，所以体积为．答案选：B

4．解析：因为，所以，所以，，所以，故选A．

5．解析：由于PA，AB，AC两两垂直，故可得该三棱锥为长方体的一部分，可得外接球半径为长方体体对角线的一半，故可得，故．所以答案为C．

6．本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式．

对于选项A，在△ABC中，若，故选项A正确．

对于选项C：，

因为，所以，故为钝角，故C正确；

对于选项D，因为，，三角形面积，故．再由余弦定理得，从而三角形的外接圆半径为，故选项D错误．

本题选D

7．【解答】解：由题意，将侧面绕逆时针转90°展开，与侧面共面（如图），

连接，当，M，共线时，取得最小值，由，，可得M为的中点，，在长方体中，平面，又平面，则,

又，故．

故选B

8．C解析：依题意得△ABC为等腰直角三角形，斜边，D，E为斜边BC的两个四等分点，点P在线段DE上运动，当点P在点D处时，取得最小值，根据余弦定理解得，所以

9．AB

【解析】

【分析】

正方形的直观图是一个平行四边形，有一边长为4，分两种情况讨论，根据斜二测画法的原则，即可得结果．

【详解】

根据题意，正方形的直观图如图所示：

①若直观图中平行四边形的边，

则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为；

②若直观图中平行四边形的边，

则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为，

故选：AB．

10． AB  11．BCD  12．ACD  13．答案：120°或  14．答案：

15．答案：13  16． 

17．（1），；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用复数的运算法则，求出z，再根据复数的模的定义求出；

（2）根据复数的运算法则，以及复数相等的充要条件，即可求出实数a，b的值．

【详解】

（1），

（2）由得：

，即

所以，解之得

【点睛】

本题考查了复数的运算法则，复数的模的定义，共轭复数的概念，复数相等的充要条件，考查了学生的运算能力，属于基础题．

18．【答案】解：（1）由题意知，旋转体的表面由三部分组成，圆台下底面、侧面和半球面，

，，，

故所求几何体的表面积为；

（2）．

，

∴所求几何体的体积为．

19．（1）（2）

20．（1）∵，∴

又∵，，∴，∴．

，

∴

（2）∵，∴，

∵，∴

（3）∵，

∴．

21．（1）在△BCD中，由正弦定理知，∴，解得，

选①：∵，，∴，

∴，

在Rt△BDE中，；

若选②，在△BDE中，由余弦定理知，∴，化简得，解得或（舍负），

故服务通道BE的长度；

（2）在△ABE中，由余弦定理知，，

∴，

∴，即，当且仅当时，等号成立，此时，的最大值为．

22．（1）以I为原点，IA为y轴建立平面直角坐标系如图所示．

由正弦定理得△ABC外接圆半径，则，进而可得，．

因为，所以点P在圆上，故设，

则，，，所以

．

（2）由（1）知，

同理可得，，

由对称性下面考查时的情况，

当时，，，

，此时，最小；

当时，，，

不是最小，

故m的取值范围是．

（3），

所以，代入整理得，，两边同时除以，得：，

令，，则，即，

所以，即，

解得，所以（即m）的最大值为．

此时，，因此，

所以，从而．