人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列教课课件ppt

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1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式及其应用.3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题.4.培养逻辑推理能力,提升数学建模和数学运算素养的能力.
等差数列的前n项和公式【问题思考】1.如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4根钢管,下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一层有9根.这堆钢管共有几层?图形的横截面是什么形状?这堆钢管共有多少根?
2.请同学们交流一下,怎样求1+2+3+…+100的结果?提示:对于这个问题,把加数倒序写一遍,S=100+99+98+…+2+1.则有2S=(1+100)+(2+99)+…+(99+2)+(100+1)=100×101,故S=50×101=5 050.3.你能用上述计算方法求1+2+3+…+n的值吗?提示:设Sn=1+2+3+…+(n-1)+n,①又Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1,②
4.我们把上述这种计算方法称为倒序求和法.你能用这种方法推得等差数列{an}的前n项和Sn吗?提示:∵Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d],
5.问题4中求出的Sn是已知等差数列的首项、末项与项数时求前n项和Sn的公式,如果用an=a1+(n-1)d替换末项,那么问题4中求出的Sn会变形为怎样的形式呢?提示:Sn=na1+ n(n-1)d.6.填空:等差数列的前n项和公式
7.做一做:已知数列{an}为等差数列,首项a1=2,公差d=2,则其前n项和Sn=　　　　　. 
∴Sn=2n+n(n-1)=n2+n.答案:n2+n
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法.( ) (2)在等差数列中涉及a1,d,n,an,Sn五个量,利用方程思想可以“知三求二”. ( )(3)在等差数列{an}中,若a1=3,d=2,则S10=120.( )(4)若已知数列{an}的首项a1及末项an,用公式Sn= 可以求前n项和.( )
【例1】 根据下列条件求等差数列的前n项和.(1)a1=1,a10=21,n=10;(2)a1=100,d=-2,n=50;(3)a1=2,an=32,d=2.
【变式训练1】 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若公差d=3,a6=8,则S10的值为(　　)A.65B.62C.59D.56(2)在等差数列{an}中,若a6,a7是方程x2+3x-1=0的两根,则{an}的前12项的和为(　　)A.6B.18C.-18D.-6
答案:(1)A　(2)C
【例2】 已知数列{an}是等差数列,(1)若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求公差d;(2)若a2+a5=19,S5=40,求a10;(3)若a4=9,a9=-6,Sn=63,求n的值.
解得n=6或n=7. 反思感悟 a1,n,d称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,一般是通过通项公式和前n项和公式列出关于基本量a1和d的方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法.在具体求解过程中应注意整体代换思想的运用,以便简化计算.
例2(3)改为“在等差数列{an}中,a4=9,a9=-6,求S6”.解:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
【变式训练2】 已知等差数列{an}中,
(2)若S12=84,S20=460,求an;(3)若S5=24,求a2+a4.
当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn
反思感悟 求数列{|an|}的前n项和需注意以下问题(1)给出数列{an},要求数列{|an|}的前n项和,关键是分清n取什么值时an≥0或an<0.(2)当{an}的各项都为非负数时,{|an|}的前n项和等于{an}的前n项和;当{an}的各项都为非正数时,{|an|}的前n项和等于{an}的前n项和的相反数;当{an}的某些项为正,某些项为负时,要对n进行分类讨论,转化为{an}的前n项和求解,其结果用分段函数表示.
【变式训练3】 在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.
忽略Sn与an的关系致错【典例】 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n-1,试判断{an}是否为等差数列,为什么?错解:an=Sn-Sn-1=(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)-1]=2n.又an-an-1=2n-2(n-1)=2,即数列{an}的每一项与前一项的差是同一个常数,所以{an}是等差数列.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:用公式an=Sn-Sn-1时,要求n≥2,忽视了这一条件而不去验证n=1的情况从而导致判断错误.正解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)-1]=2n;当n=1时,a1=S1=1,不符合上式.
∴数列{an}不是等差数列.防范措施 已知数列的前n项和Sn求数列的通项公式时,需分类讨论,即分n=1与n≥2两种情况;当n=1满足an的式子时,才能用同一个式子来表达,否则必须分段表示.
【变式训练】 已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和Sn满足Sn= (an+1)2,求{an}的通项公式.
1.在等差数列{an}中,已知a1=3,d=2,则S10等于(　　)A.120B.240C.180D.280
答案:A2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于(　　)A.13B.35C.49D.63解析:∵a2+a6=a1+a7=14,