2022兰州教育局第四片区高二下学期期中数学试题含答案

甘肃省兰州市教育局第四片区2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题

注意事项：

1.答题前填好自己的姓名、班级、考号等信息；

2.请将正确答案填写在答题卡上；

卷I（选择题）

一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）

1. 记函数的导函数为．若，则（）

A.  B.  C.  D.

2. 已知空间向量，.若，则实数的值为（）

A. 2 B. 1 C. 1 D. 2

3. 用反证法证明命题“已知，是自然数，若，则，中至少有一个不小于”，提出的假设应该是（）

A. ，都不小于 B. 至少有一个不小于

C. ，都小于 D. ，至少有一个小于

4. 函数导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（）

A. 是函数的极值点 B. 是函数的最小值点

C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率大于零

5. （）

A B.  C.  D.

6. 曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为（）

A. y=2x+1

B. y=2x-1

C. y=-2x-3

D. y=-2x-2

7. 若函数f(x)＝ax－ln x在x＝处取得极值，则实数a的值为(　　)

A.  B.

C. 2 D.

8. 如图所示，在正四棱柱中，，，分别是和的中点，则异面直线与所成的角为（）

A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°

9. 用数学归纳法证明不等式时，从“到”左边需增加的代数式为（）

A.  B.

C.  D.

10. 若函数存在极值点，则实数的取值范围是（）

A.  B.

C.  D.

11. 如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为（）

A.  B.

C.  D.

12. 已知是定义在上的奇函数，其导函数为且当时，，则不等式的解集为（）

A.  B.

C.  D.

卷II（非选择题）

二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）

13. 已知为奇函数，当时，，则________．

14. 在正方体中，点E是线段的中点，则直线与所成角的余弦值是_______．

15. 如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分（由对角线及函数围成）的概率为_______.

16. 如图，空间四边形的各边长均相等，，，平面平面，给出下列四个结论：

①；

②异面直线与所成的角为；

③为等边三角形；

④与平面所成的角为.

其中正确结论的序号是________.(请将正确结论的序号都填上)

三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分）

17已知函数.

（1）求函数单调区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

18. 已知数列，且为该数列的前项和.

（1）猜想数列的通项公式；

（2）计算，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；

20. 如图在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，，，，.

（1）求二面角的大小；

（2）求点到平面的距离.

21. 已知函数．

（1）若，求导函数曲线与直线，及轴所围成面积；

（2）求的单调区间．

23. 如图，在直三棱柱中，侧棱，，且M，N分别为BB1，AC的中点，连接MN．

（1）证明：平面；

（2）若BA=BC=2，求二面角的平面角的大小．

25. 已知函数 .

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，求函数在上的最小值；

（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】A

【3题答案】

【答案】C

【4题答案】

【答案】B

【5题答案】

【答案】D

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】A

【8题答案】

【答案】A

【9题答案】

【答案】D

【10题答案】

【答案】B

【11题答案】

【答案】D

【12题答案】

【答案】B

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】①②③

【17题答案】

【答案】（1）增区间是，减区间是；（2），.

【详解】（1）函数的定义域为，,

由解得，

由，可得，所以函数增区间是，

由，可得，所以函数减区间是.

（2）

由上表可知：，.

【18题答案】

【答案】（1）

（2），，证明见解析

【小问1详解】

根据题意可得

【小问2详解】

，

所以.

用数学归纳法证明这个猜想．

①当时，左边

右边，猜想成立．

②假设当时猜想成立，即

所以，当时猜想也成立．

根据（1）和（2），可知猜想对任何都成立．

【20题答案】

【答案】（1）；（2）

【详解】解：（1）以为原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

∴，，，

设平面的一个法向量为，

由，，

得，令，则，，

所以，

取平面的一个法向量为，

设二面角的大小为，由图可知为锐角，

∴，

∴，

即二面角的大小为；

（2）由（1）知平面的一个法向量为，

又，∴，

∴点到平面的距离.

【21题答案】

【答案】（1）

（2）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

【小问1详解】

由已知，当时，，

∴导函数曲线与直线，及坐标轴所围成的面积为：.

【小问2详解】

由题得，

①当时，则当时恒成立，

即当时恒成立，

∴函数单调递增区间为；

②当时，令可得，

当时，；当时，，

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

综上，当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

【23题答案】

【小问1详解】

如图，取的中点P，连接，

N为AC的中点，，且．

又，，

四边形B1MNP是平行四边形，．

又平面，MN平面，平面．

【小问2详解】

如图，做，交于，以点B为原点，为轴，BC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

直三棱柱的底面△ABC的边长BA=BC=2，侧棱，

，

．设平面AB1C1的法向量为．

因为，，所以令x=1，则，．

平面的一个法向量为，，

由图知二面角的平面角为锐角，二面角的平面角的大小为．

【25题答案】

【小问1详解】

①当时，，

即函数的单调递增区间为 . 

②当时，令，可得，

当时，，

当时，，

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为 .

【小问2详解】

①当，即时，函数在区间上是减函数，所以的最小值是 . 

②当，即时，函数在区间上是增函数，所以的最小值是 . 

③当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数 . 

又，

所以当时，最小值是；

当时，最小值为 . 

综上可知，当时，函数最小值是；

当时，函数的最小值是 .

【小问3详解】

∵，，

∴原不等式等价于对恒成立，

∴对恒成立，

令，，

∴在单调递增，在 单调递减，

∴，

∴，

∴的取值范围是