海南省屯昌县屯昌中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份海南省屯昌县屯昌中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（含答案），共27页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，的三个内角､､满足，则等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年度第二学期高一数学期中考试卷 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．己知某圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2.则圆锥的表面积为（       ）A． B． C． D．2．若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．的三个内角､､满足，则（       ）A． B． C． D．4．已知函数，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（       ）A．的最小正周期是 B．的最小值为C．在上单调递增 D．的图象关于点对称5．在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积，这里．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则的面积最大值为（       ）．A． B． C．10 D．126．如图，在直三棱柱中，，P为的中点，则直线与所成的角为（       ）A． B． C． D．7．正四面体内放入一个可以自动充气的球，当球和四面体的面相切时，球的半径与该正四面体的高的比值为（       ）A． B． C． D．8．如图，已知直四棱柱的底面ABCD为直角梯形，，，且，，P，O，E分别为，AD，PC的中点，为正三角形，则三棱锥E-POB的体积为（       ）A．4 B．3 C．2 D．1二、多选题9．八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中O为正八边形的中心，且，则（       ）A． B．C． D．10．已知,为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是（　　）A．B．C．D．，且不共线重合11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（       ）A．点是的对称中心B．直线是的对称轴C．在区间上单调减D．的图象向右平移个单位得的图象12．给出下列命题，其中正确的选项有（       ）A．若非零向量满足，则与共线且同向B．若非零向量满足，则与的夹角为30°C．若单位向量的夹角为60°，则当取最小值时，t＝1D．在△ABC中，若，则△ABC为等腰三角形第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题13．有一块空地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形（如图所示）， //，则这块空地的实际面积为_______．14．已知某正方体外接球的表面积为，则该正方体的棱长为______．15．如图，为测得河对岸塔的高，可在河岸上选取与塔底在同一水平面的两个测量点与，现测得,，，，则塔高度为__________.16．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下：24小时降雨量（精确到0.1）…0.1~9.910.0~24.925.0~49.950.0~99.9降雨等级…小雨中雨大雨暴雨 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 ，高为300 的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24小时的雨水高度是150 （如图所示），则这24小时的降雨量的等级是___________.四、解答题17．设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求B.(2)若，，___________，求.在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．已知复数和它的共轭复数满足．(1)求z；(2)若z是关于x的方程的一个根，求复数的模．20．如图，在正三棱柱中，．(1)求正三棱柱的体积；(2)若点M是侧棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．21．如图，已知直三棱柱，，，，，E，F是和上的两点，且，.(1)证明：B，C，E，F四点共面；(2)求点A到平面BCE的距离.22．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.（1）将、用含有的关系式表示出来；（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？
参考答案：1．A【解析】【分析】先求出底面周长，得到侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式求出圆锥的侧面积，再求出圆锥的底面积，由此能求出结果．【详解】圆锥的母线长为3，底面圆的半径为2，底面周长是：，侧面积是：，底面积是：，圆锥的表面积为．故选：A2．D【解析】【分析】利用复数的除法运算求复数z，进而确定z的共轭复数，即可确定复平面对应点所在象限.【详解】由，解得，则，故在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D．3．B【解析】【分析】利用余弦定理即得.【详解】因为，可设，由余弦定理可得.故选：B.4．C【解析】【分析】依据题意对函数进行变换，然后利用三角函数的性质解题.【详解】由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得；再将所得到的图象向右平移个单位长度得所以，其最小正周期为，最小值为．排除AB；其单调递增区间为,解得，C正确；对称中心为，解得，所以其图象关于点对称，排除D.故选：C5．D【解析】【分析】根据给定信息列出关于b的函数关系，再借助二次函数计算作答.【详解】依题意，，则，所以，，所以的面积最大值是12.故选：D6．A【解析】【分析】是中点，连接，易知为直线与所成角的平面角，根据已知条件及余弦定理求其余弦值，即可得的大小.【详解】若是中点，连接，直三棱柱中且，则为平行四边形，所以，故直线与所成角即为，令，又，则且，则，又，故，又，所以.故选：A7．C【解析】【分析】结合正四面体的几何特点，所有棱长都相等，以及正三角形的特点，其中重心把中线分为1:2两部分，再利用等体积法即可求解.【详解】设正四面体的棱长为 ，高为 ，内切球半径为 ，设底面正三角形的中心为 ，则 ，正四面体的表面积 ，由等体积法得 ，即 ，解得 ，所以 故选：C8．C【解析】【分析】利用等体积法，即计算求解即可.【详解】因为P，O分别为，AD的中点，所以由直棱柱的性质知平面ABCD，又为正三角形，，所以．连接CO，如图，在直角梯形ABCD中，易知．因为E为PC的中点，所以，故选：C9．BC【解析】【分析】根据八边形是正八边形，利用正八边形的性质及向量的线性运算、数量积运算可求解.【详解】由于八边形是正八边形.对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，由题意得，所以，故C正确；对于D，，故D错误．故选：BC10．AD【解析】【分析】利用平面基本事实依次判断各个选项即可作答.【详解】对于A，由基本事实2可知，，A正确；对于B，由及基本事实2可知，直线，同理，满足条件的平面与可以重合，此时错误，B不正确；对于C，，满足条件的平面与可以重合，此时错误，若平面与不重合，则，由基本事实3可知是经过A的一条直线而不是点A，综上得C不正确；对于D，因A，B，M不共线，由基本事实1可知，过A，B，M有且只有一个平面，则重合，D正确.故选：AD11．CD【解析】【分析】由图知且求，再由过求，将A、B中的点代入验证是否为对称中心、对称轴，根据正弦函数的性质判断给定区间是否为减区间，应用诱导公式化简，进而判断平移后解析式是否为.【详解】由图知：且，则，∴，可得，又过，∴，得，又，∴当时，.综上，.A：代入得：，故错误；B：代入得：，故错误；C：由，故在上单调递减，则上递减，而，故正确；D：，故正确；故选：CD【点睛】关键点点睛：利用函数部分图象确定的参数，写出解析式，进而根据各选项的描述，判断对称中心、对称轴、单调区间及平移后的解析式.12．ABD【解析】【分析】选项A：把平方得到，然后根据，得出，从而得出；选项B：根据得到以为三边的三角形为等边三角形，从而得到与的夹角为30°；选项C：利用平方法得到，从而判断出时取最小值；选项D：根据题意分析出都为单位向量，从而得到向量所在的直线为角的角平分线，再根据条件，即可判断△ABC为等腰三角形.【详解】选项A：对非零向量，，若使成立，即使成立，则，即，所以与共线且同向，选项A正确；选项B：非零向量满足，则以为三边的三角形为等边三角形，故与的夹角为30°，选项B正确；选项C：因为单位向量的夹角为60°，所以，所以时，取最小值，故选项C错误；选项D：因为都为单位向量，所以向量所在的直线为角的角平分线，又因为，即，所以，即△ABC为等腰三角形,所以选项D正确.故选：ABD13．##【解析】【分析】根据直观图还原平面图形，再求其面积即可.【详解】根据直观图还原平面图形，如下所示直角梯形即为所求：在直观图中，根据其为等腰梯形，且，可得，故原图中：，故其面积.故答案为：.14．1【解析】【分析】根据球的表面积公式，求得球的半径，结合正方体的对角线长等于外接球的直径，列出方程，即可求解.【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为，根据正方体的对角线长等于外接球的直径，可得，由，可得，即，解得．故答案为：1．15．【解析】【分析】在三角形中，由正弦定理求出，在直角三角形中，由可求出结果.【详解】在三角形中，由正弦定理得，又，所以，在直角三角形中，.故答案为：.16．中雨【解析】【分析】利用圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，求出圆锥内积水部分的半径，求出圆锥的体积，求出平面上积水的厚度，由题意即可得到答案．【详解】圆锥的体积为，因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，所以圆锥内积水部分的半径为 mm，将，代入公式可得，图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，平底上积水的体积为，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，所以，则平地上积水的厚度，因为，由题意可知，这一天的雨水属于中雨．故答案为：中雨．17．(1)1(2)2(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因为，所以，所以A，，三点共线.18．(1)(2)答案见解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简条件可得，从而求出；（2）选择条件①：利用向量的加法和数量积运算；选择条件②：利用面积关系进行计算；(1)（1）由正弦定理得，.因为，所以，所以，即.又，则，所以.(2)（2）选择条件①：因为，所以，，.选择条件②：因为BD为∠ABC的角平分线，所以，则，解得.19．(1)；(2)1.【解析】【分析】（1）设，根据复数的运算以及复数相等，即可求得结果；（2）将（1）中所求代入方程，根据复数相等求得，结合复数的运算，即可求得及其模长.(1)设，则，，所以，即，所以.(2)将代入已知方程可得，整理可得，所以，解得，所以，又，所以复数的模为1.20．(1)(2)．【解析】【分析】（1）由棱柱体积公式计算；（2）由异面直线所成角的定义得是所求异面直线所成的角或其补角，在三角形中计算可得．(1)由已知；(2)因为，所以或其补角是所求异面直线所成的角，在中，，，．所以异面直线与所成角的余弦值是．21．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由已知得到，即证明四点共面；（2）先转化顶点求出四面体的体积，再通过余弦定理、同角三角函数基本关系、三角形的面积公式求出，再利用体积公式进行求解.(1)证明：因为，所以，又因为，所以，即B，C，E，F四点共面.(2)解：因为，又因为，点到平面的距离为，所以；在中，，，，则，，所以，设A到平面BCE的距离为，则，解得，即点A到平面BCE的距离为.22．（1），；（2）当时，取最大值.【解析】【分析】（1）本题可通过正弦定理得出、；（2）本题首先可根据题意得出，然后通过余弦定理得出，通过转化得出，最后通过以及正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为，，，所以，，.（2）因为，，所以，在中，由余弦定理易知，即，因为，所以，，当，即时，取最大值，取最大值，此时，，故当时，取最大值.【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查根据正弦函数的性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.