四川省成都市武侯高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题（含答案）

成都市武侯高级中学高2021-2022学年度（下）半期

高二数学理科试题

命题人：王宗福  审题人：苏映雄

一、单选题（本大题共12小题，共52.0分）

1. 已知函数，则

A.  B.  C.  D.

2. 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的位置关系是

A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 不能确定

3. 计算：     

A.  B.  C.  D.

4. 如图所示是的导数的图象，下列四个结论：

在区间上是增函数；

是的极小值点；

在区间上是减函数，在区间上是增函数；

是的极小值点．   

其中正确的结论是

A.  B.  C.  D.

5. 空间中，与向量同向共线的单位向量为   

A.

B. 或

C.

D. 或

6. 某产品的宣传费用万元与销售额万元的统计数据如表所示：

根据表可得回归方程，则宣传费用为万元时销售额为

A.  B.  C.  D.

7. 函数的导函数

A.  B.  C.  D.

8. 如图，设，，，若，，则

A.  B.

C.  D.

9. 已知，则，，的大小关系为

A.  B.  C.  D.

10. 已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为   

A.  B.  C.  D.

11. 在下列四个命题中：

若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；

向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为；

直线的一个方向向量为；

若存在不全为的实数，，使得，则共面．

其中正确命题的个数是

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，有，则不等式的解集为  

A.  B.

C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知空间向量，，若，则______．
14. 若，则          ．
15. 已知线段在平面外，、两点到平面的距离分别为和，则线段的中点到平面的距离为______．
16. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共68.0分）

17. 已知函数．

（I）求的单调区间；

（II）求在区间上的最值．

18. 某地有名学生参加数学学业水平考试，现将成绩满分：分汇总，得到如图所示的频率分布表．

请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；

将成绩按分层抽样的方法抽取名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为分，求他被抽中的概率．

19. 已知曲线的方程为．

判断曲线是什么曲线，并求其标准方程

过点的直线交曲线于，两点，若点为线段的中点，求直线的方程．

20. 如图，是菱形，平面，，．

求证：；

求二面角的余弦值．

21. 如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点．

证明：平面．

求与平面所成角的正弦值．

22. 已知函数．

求曲线在处的切线方程；

若不等式对任意恒成立，求正整数的最小值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：函数，

，

，

故选：．

先求出其导函数，再把代入导函数即可．

本题主要考查函数值的求解以及导数知识的应用，属于基础题目．

2.【答案】

【解析】

解：由题意可得，

故两个平面的法向量垂直，故平面和平面的位置关系为垂直，

故选：

由数量积的运算可得数量积为，可得法向量垂直，故平面垂直

本题考查平面的法向量，涉及平面与平面的位置关系，属基础题．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查定积分的计算，微积分基本定理，属于基础题．

找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理求值．

【解答】

解：由题意可得 ．

故选A．

4.【答案】

【解析】

解：由导函数的图象可得：

由表格可知：在区间上不具有单调性，因此不正确；

是的极小值点，正确；

在区间上是减函数，在区间上是增函数，正确；

是的极大值点，因此不正确．

综上可知：只有正确．

故选：．

由导函数的图象可得：

利用表格即可判断出．

本题考查了利用导函数的图象研究函数的单调性、极值等性质，属于基础题．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．

与向量同向共线的单位向量为．

【解答】

解：因为，

所以与同向共线的单位向量．

故选C．  

6.【答案】

【解析】

解：因为，

又回归方程经过样本中心，

则，

解得．

故选：．

先求出样本中心，再利用线性回归方程必过样本中心，列式求解即可．

本题考查了线性回归方程的应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．

7.【答案】

【解析】

解：，

．

故选：．

根据三角函数和复合函数的求导公式进行求导即可．

本题考查了三角函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了向量数乘和加法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．

根据，即可得出，，然后带人，并进行向量的数乘运算即可用表示出向量．

【解答】

解：，，，，，

．

故选：．

9.【答案】

【解析】

解：令，，

，

时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．

，

，即，

故选：．

令，，利用导数研究其单调性即可得出．

本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了法向量的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

利用，即可得出．

【解答】

解：由已知得，

故点到平面的距离．

故选D．

11.【答案】

【解析】

解：因为向量是可自由平移的，向量所在的直线为异面直线，则向量也可能共面，故命题不正确；

，若与的夹角为钝角，

则，且，

解得，且，故命题不正确；

直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故命题正确；

实数，，不全为，不妨设，则，由共面向量定理知一定共面，故命题正确．

故选：．

由向量是可自由平移的可判断；由与的夹角为钝角，得到，且，求出实数的取值范围即可判断；求出直线的斜率，即可得直线的一个方向向量，从而判断；由共面向量基本定理即可判断．

本题以命题为载体，考查共线向量与共面向量，直线的方向向量，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性与单调性关联、构造新函数以及函数求导，属于中档题．

 构造函数，根据题意得出为偶函数和的单调性，分，，讨论解不等式，即可求出结果．

【解答】

解：是定义在上的奇函数，

则，

令，

则，

为偶函数，

又当时，，

，

在上是增函数，

在上是减函数，

又， 

，

当时，由不等式，

，即，

，

当时，由不等式， 

，即，

，

当时，，不等式不成立，

综上，不等式解集是．

故选D．

13.【答案】

【解析】

解：根据题意，易知，

因为，所以，

即，

解得：，

故答案为：．

根据题意，结合空间向量的坐标运算，即可求解．

本题考查空间向量的坐标运算，考查学生的运算能力，属于容易题．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．

根据题意，计算可得，可得，即可得，将代入计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，，

则，

可得，解得，

则，

则，

故答案是．

15.【答案】

或

【解析】

解：当、两点在平面的同侧时，

因为、两点到平面的距离分别为和，

所以线段的中点到平面的距离为．

当、两点在平面的异侧时，

因为、两点到平面的距离分别为和，

所以线段的中点到平面的距离为．

故答案为：或．

根据空间中点、线、面得位置关系可得：、两点与平面的位置由两种，因此分两种情况、两点在平面的同侧与异侧讨论此问题．

本题主要考查空间中点、线、面的位置关系与距离的计算，考查学生的空间想象能力．

16.【答案】

【解析】

解：因为，

所以，

当，，单调递减，

所以，

因为，

所以，

当，，单调递增，

，

因为存在，，使得，

所以，

所以，

故答案为：

“若存在存在，，使得“转化为集合交集非空，分别根据导数求，的值域，进一步求出答案．

本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．

17.【答案】

解：，

令，解得，或，可得函数在，上单调递增；

令，解得，可得函数在上单调递减．

的单调增区间为，；单调递减区间为．

令，解得，结合可得：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

函数在时取得极大值，；函数在时取得极小值，．

又，．

可得函数的最大值为：；最小值为．

【解析】

利用导数的运算法则可得，令，，分别解得函数的单调区间；

令，解得，结合可得函数的极值点，求得函数的区间端点函数值，经过比较即可得出函数的最值．

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18.【答案】

解：完成题目中的频率分布表，如下；

补全题目中的频率分布直方图，如下；

将成绩按分层抽样的方法抽取名同学进行问卷调查，

甲同学在本次测试中数学成绩为分，

他被抽中的概率为．

【解析】

根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，填写频率分布表，

计算，补全频率分布直方图即可；

用分层抽样方法，该同学被抽中的概率是与每一个同学的几率相等，为．

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题目．

19.【答案】

解：因为曲线的方程为，

所以曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆．

则，，

所以，

所以曲线的标准方程为．

当直线的斜率不存在时，中点为，不合题意．

当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，

则直线的方程为，

由

消去，得，

因为点在椭圆内，所以显然成立．

设，，由为的中点，

得，

解得．

所以直线的方程为，

即直线的方程为．

【解析】

本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．

利用已知转化为曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆即可求出曲线方程．

分类讨论，直线代入椭圆方程，利用韦达定理，结合线段中点的横坐标，求出，即可求此时直线的方程．

20.【答案】

证明：因为平面，平面，

所以，

因为是菱形，所以，

又因为，所以平面，

又因为平面，所以．

解：建立如图所示的空间直角坐标系，

，，，

设平面和平面的法向量分别为，，

，令，，

，令，，

所以二面角的余弦值为．

【解析】

只须证明垂直于所在平面即可；用向量数量积计算二面角的余弦值．

本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．

21.【答案】

证明：如图，连接，．

因为三棱柱为直三棱柱，

所以为的中点，

又因为为的中点，

所以．

又平面，平面．

所以平面．

解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，．

所以，，，

设平面的法向量为，

则

令，得记与平面所成角为，

则．

【解析】

本题考查了线面平行的判定和利用空间向量求线面的夹角，是基础题．

利用直线与平面平行的判定定理进行证明即可；

利用空间向量求直线与平面所成的角即可．

22.【答案】

解：根据题意，则当时，，，

则曲线在处的切线方程为，整理得；

不等式即，

因为，则，

所以，令，则，

令，则，

所以在上单调递减，

因为，，

所以存在使得，即，

则当时，，，单调递增，

时，，，单调递减，

所以当时，取最大值，

则，

因为，所以，且，

因为为整数，所以，

则的最小整数值为．

【解析】

求出相应导数值和函数值即可表示出切线；

条件等价于，构造函数，二次求导判断出函数的最大值，根据最大值取值范围可得的取值范围

本题考查利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查不等式恒成立问题，属于中档偏难题．