初中数学第九章 图形的相似综合与测试教学设计

《相似三角形的基本图形--一线三等角》

教学设计

课标解读

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程基本理念”中明确指出：数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程．教师要发挥主导作用，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，体会和运用数学思想与方法，获得基本的活动经验．

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对本章的具体要求是：了解相似三角形的判定定理。

作为一节相似三角形判定的专题课，本节课应侧重在探索基本图形运用相似三角形判定定理的过程中建立知识之间的内在联系，进一步完善知识体系．让学生充分经历辨析、运用相关定理、基本图形的过程，增强学习体验，积累基本的数学活动经验，发展推理能力，培养学生良好的数学学习习惯和数学素养．

教材分析

（一）地位与作用

《相似图形》这一章是继图形的全等之后对图形形状内容的研究，是对图形全等知识的进一步拓广，是从特殊到一般的发展.《相似三角形》又是学习锐角三角函数、投影与视图，圆的知识的基础，例如锐角三角函数的定义、圆的有些性质的证明，都与相似三角形有密切联系.另外,在物理学、工程设计、测量、绘图等许多方面，都要用到相似三角形的知识.相似三角形有关知识的考查在中考中占有重要地位.因此学好相似三角形既是进一步学习的需要,也是工作实践的需要.

《相似三角形的基本模式---一线三等角》是鲁教版八年级下册第九章的内容，是在学生学习了图形的关系---全等，以及图形的变换---平移、旋转的基础上进行的．《相似三角形的基本模式---一线三等角》不仅可以帮助学生系统地构建知识体系，而且也可以进一步明确它们之间的联系与区别. 更重要的是为后面综合运用相似三角形，全等三角形等知识解决问题做好铺垫.学生在综合运用所学知识解决问题的过程中感悟分类，特殊到一般等数学思想方法，归纳总结解题的基本构图，基本方法，积累活动经验，提高应用数学的意识和合作交流的能力.

《相似三角形的基本模式---一线三等角》为求线段长寻找相似三角形提供了新的方法，为学生后续几何学习奠定了基础，具有承上启下的作用．

（二）教学目标

1.让学生通过观察、比较、归纳，总结“一线三等角”图形的基本特征；                                 

2.掌握“一线三等角”这一基本图形在不同的背景中的应用，认识图形变换，并能灵活运用“一线三等角”解决问题.

（三）教学重点、难点

教学重点：运用“一线三等角”模型进行的相关计算与证明.

教学难点：灵活运用相似三角形、图形的变换等知识解决问题.

学情分析

1．认知特点：八年级学生的思维已经完成了从受趣味性的左右向理性发展的过渡，实现了由直观形象思维到抽象逻辑思维的转变，正处于逻辑思维的迅速发展期．

2．知识技能基础：学生已经探索了三角形相似的判定定理以及相似三角形基本图形一的研究，并能灵活运用基本图形解决有关问题，对图形之间的关系具有初步的认识，具有一定的推理能力和逻辑思维能力．

教法设计：兴趣引导、启发思考、小组合作探究的教学方法.

学法指导：突出学生的“探索发现”和“合作探究”，在教学过程中立足于让学生自己去观察、去发现、去创造．学生通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，丰富数学活动经验，培养勇于探索、大胆创新的精神．

评价设计

1．通过“问题驱动，质疑探究”实现对目标1的评价．

2．通过“精心找一找，细心算一算，用心证一证”评价目标2的达成．

教学过程

【第一环节】回顾旧知，明确目标

【教师活动】两个三角形相似的判定方法以及相似三角形的基本图形一

【学生活动】独立思考，观看视频，回顾相似三角形基本图形．

【设计意图】通过对两个三角形相似的判定定理的回顾，帮助学生明确本节课所需要的知识。通过对相似三角形基本图形一的回顾，明确本节课的研究对象，使学生快速投入到课堂学习中，在短时间内集中学生的注意力，形成较高的课堂关注，培养学生思维的发散性和条理性．

【问题应对】学生比较喜欢这种新的学习方式，能够投入的观看视频，学生刚刚学习了相似三角形的判定定理以及基本图形一，对个别遗忘的同学可以唤起他们的记忆。

【第二环节】问题驱动，质疑探究

【教师活动一】

问题1：如图，正方形ABCD，点B落在直线m上，过点A作AE⊥m于E，过点C作CF⊥m于F。则△ABE与△BCF之间有怎样的关系？说明理由。

问题2：如图，矩形ABCD，点B落在直线m上，过点A作AE⊥m于E，过点C作CF⊥m于F。则△ABE与△BCF之间又有怎样的关系？说明理由。

归纳总结：如图，点C为AE上任意一点，

若 ∠A=∠BCD=∠E=90°.

当BC=CD时， △BAC≌△CED .

当BC≠CD时，△BAC∽△CED .

【学生活动】独立思考，交流展示．

【设计意图】通过这两个问题，学生明确“一线三直角”的形成过程，通过对结论的对比，学生明确全等是一种特殊的相似，进而总结得出“一线三直角”。

【问题应对】学生对问题1中两个三角形的关系误判成相似，可提醒学生：正方形的四边相等。对于全等与相似之间的联系，有的学生不太明确，引导学生通过边的关系，得出全等是一种特殊的相似，教师可追问：特殊在哪里？相似比为1.

【教师活动二】

通过几何画板的演示，出示问题，引导学生思考。

问题3：如图，点C为AE上任意一点，若 ∠A=∠BCD =∠E, △BAC与△CED还相似吗？

归纳总结：

定义：一线三等角：当某条直线或线段上的依次排列着三个等角时，首尾两个角所在的三角形相似，我们把这种特殊的相似，叫作“一线三等角”.

【学生活动】独立思考，交流展示．

【设计意图】

两个问题的呈现，不同的图形中，存在着相同的结论。同桌二人合作，一人完成锐角，一人完成钝角，一人说一个问题的证明过程，使学生的“直观经验”由“量”变产生“质“变。从问题和模型引入本专题，使学生对产生模型有个感性的认识，为下一环节抽象模型打好铺垫。

抽象模型的目的是让学生的认识从“特殊“上升到“一般”，这是核心结论的生成阶段，时间上用多一点，要求学生写出证明过程，为以下的学习提供帮助，同时让学生对“一线三等角”基本图形的本质理解，在整节课的设计中起承上启下的作用，为下面的运用规律和知识有枢纽的效果。

【问题应对】

学生对证明相似的方法，可能只想到三角形内角和和平角的方法，对三角形外角的性质已经遗忘，通过追问，还有其他的方法吗？引导学生回忆外角的性质。同时，通过将特殊图形一般化，使学生体会特殊与一般之间的关系，丰富学生对图形的认识．

【第三环节】新知运用，变式提升

【教师活动】

精心找一找：

图形辨析：下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出“一线三等角”的基本图形所形成的相似三角形，并将对应顶点写在对应的位置上。

【学生活动】独立思考并完成问题

【设计意图】通过精心找一找---图形辨析这道题，让学生掌握“一线三等角”的基本特征以及使用背景。掌握“一线三等角”的使用背景，为学生找相似三角形提供方便，也为下面灵活运用“一线三等角”解决问题做好铺垫。

【问题应对】对于初次使用“一线三等角”，有的学生可能一直反应不过来，可以通过追问，你是怎样找的？通过学生介绍的各种方法，让学生选择一种适合自己的方法。

【教师活动二】

细心算一算：

1、已知：等边△ABC的边长为6，D、E、F分别是AB、BC、CA上的点，且BD=3，BE=1，∠DEF=60°。则CF=______

2、在平面直角坐标系中，A（0,3），B（4,0），第一象限内的点C满足AC⊥AB，且AC=10.则点C的坐标_________。

3、如图，在矩形ABCD中，F是BC上的点，沿线段AF翻折到AE，点E落在DC上，若DC=10，DE:EC=4:1，求CF。

【学生活动】独立思考并完成

【设计意图】通过设置问题，既检测学生运用“一线三等角”和相似三角形的性质解决问题，又帮助学生把“一线三等角”这一基本图形使用背景，以及如何使用，即解题的基本策略、基本经验进行了简明扼要的整理，有效提高了课堂效率，促进了目标达成.

【问题应对】

题目设计由易到难，学生可能没有意识到题目之间的联系，解决后面的问题有困难，可以适时追问，例如：如何求坐标中点的坐标？这道题与“一线三等角”之间有怎样的联系？通过问题引导学生在变式训练中体会变与不变，“优化”解题策略，挖掘知识背后的思想、方法、规律.

【教师活动三】

用心证一证：中考链接：

在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动，（点E不与点B、C重合）。

满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上。

①求证：△BDE∽△CEF。

②当点E移动到BC的中点时，

求证：EF平分∠DFC。

【学生活动】独立思考，小组合作，展示交流，完成问题.

【设计意图】链接中考题目，拉近了教学与中考的距离，让学生明确相似三角形的基本图形---一线三等角在中考中的常见命题思路，该题第一步考查相似，第二步也考查相似，但利用了第一问的结论.学生在综合运用所学知识解决问题的过程中，进一步体会两道题之间的关系。

【问题应对】解决这样的综合题学生可能有困难，可以在学生独立思考的基础上进行小组合作，展示交流.

【第四环节】总结提炼，认知升华

【教师活动】回顾本节课的学习，你有哪些新的收获？说说你的体会.

【学生活动】小组内畅谈收获

【设计意图】通过这个环节的设计让学生及时盘点所学知识，所积累的经验和方法，便于今后更好的学习.

【问题应对】学生在总结时如果有遗漏，要及时补充.

【第五环节】课堂检测，效果反馈

【教师活动】如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，BC=7，点E为BC边上的一点（不与B、C重合），过点E作∠DEF=∠B，EF交AB与点F，若BF=3，求CE长。

【学生活动】独立完成检测

【设计意图】通过这个环节的设计及时反馈本节课学生的学习情况，便于今后更好的改进教学.