2021-2022学年甘肃省陇南市某校高三（下）期中考试数学试卷人教A版

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2021-2022学年甘肃省陇南市某校高三（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. 设ì为虚数单位，若复数1+i1+ai是纯虚数，则实数a=（        ） A.−1 B.0 C.1 D.2 2. 已知集合M=y|y=sinx,x∈R，N=x|x2−x−2<0，则M∩N=（        ） A.(−1,1] B.[−1,2) C.−1,1 D.[−1,1) 3. 已知|a→|=3，|b→|=2，a→与b→的夹角为π3，则|2a→−3b→|=（        ） A.6 B.36 C.36−32 D.32 4. 圆x2−2x+y2−3=0的圆心到直线y=x的距离是（        ） A.2 B.12 C.1 D.22 5. 已知一个半径为4的扇形圆心角为θ0<θ<2π，面积为2π，若tanθ+φ=3，则tanφ=（        ） A.0 B.12 C.2 D.−12 6. 已知fx是奇函数，当x>0时， fx=−log2ax，若f−4=3，则a=（        ） A.132 B.32 C.2 D.1 7. 2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京盛大开幕，中国冬奥健儿在赛场上摘金夺银，在国内掀起一波冬奥热的同时，带动了奥运会周边产品的热销，其中奥运吉祥物冰墩墩盲盒倍受欢迎．已知冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个，买到隐藏款的概率为（        ） A.13 B.27 C.37 D.25 8. 已知l、m、n为空间中的三条直线，α为平面．现有以下三个命题：①若l、m、n两两相交，则l、m、n共面；②若n⊂α，l//α，则l//n；③若n⊂α，l⊥α，则l⊥n．其中的真命题是（        ） A.①②③ B.①③ C.①② D.③ 9. 已知fx=12sinωx+π6ω>0在a,b上单调，且值域为−12,12，b−a=π，则fπ6=（        ） A.1 B.34 C.12 D.14 10. 如图，网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，若此多面体的所有顶点均可以放置在一个正方体的各面内，则此正方体的对角线长为（        ） A.22  B.43 C.26 D.23 11. 已知定义在R上的奇函数fx满足f4−x=fx．当0≤x≤2时， fx=3x+a，则f2021+f2022=（        ） A.7 B.10 C.−10 D.−12 12. 已知椭圆C1:x2a2+y22=1a>2与双曲线C2有公共的焦点F1,F2，A为曲线C1,C2在第一象限的交点，且△AF1F2的面积为2，若椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，则1e12+1e22=（        ） A.12 B.2 C.1 D.43二、填空题  若实数x、y满足x+y−5<0,2x−y−5≤0x≥−2,，则z=2x−y的最大值是________.   为了践行绿色发展理念，近年来我国一直在大力推广使用清洁能源．2020年9月我国提出了“努力争取2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和”的新目标．下图是2016至2020年我国清洁能源消费占能源消费总量的比重y的数据统计图，由图中数据可以得到y关于年份序号x的回归直线方程： y=0.0132x+0.179，根据回归方程可预测2022年我国的清洁能源消费占能源消费总量的比重约为________%.   在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若2b−ccosA−acosC=0，AB→在AC→方向上的投影是|AC→|的23，△ABC的面积为33，则a=________.   函数fx=2x−t,x≥0,−x2−4x−t,x<0,有三个零点 x1，x2，x3，且x10的焦点为F，过点F且倾斜角为π4的直线交抛物线于M、N两点，|MN|=8. (1)求抛物线E的方程； (2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线x=−1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由．  已知函数fx=|2x−t|+2|x+t|. (1)当t=1时，解关于x的不等式fx≥6； (2)当t>0时， fx的最小值为6，且正数a，b满足a+b=t，求1a+1b+1ab的最小值.参考答案与试题解析2021-2022学年甘肃省陇南市某校高三（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】C2.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】A3.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】A4.【答案】D【考点】点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】D5.【答案】B【考点】扇形面积公式两角和与差的正切公式【解析】此题暂无解析【解答】B6.【答案】C【考点】函数的求值函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】C7.【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】B8.【答案】D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】D9.【答案】B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】此题暂无解析【解答】B10.【答案】D【考点】棱锥的结构特征简单空间图形的三视图【解析】此题暂无解析【解答】D11.【答案】C【考点】函数奇偶性的性质函数的求值函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】C12.【答案】B【考点】椭圆的离心率双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】B二、填空题【答案】5【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】5【答案】27.14【考点】求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】27.14【答案】13【考点】正弦定理余弦定理三角形的面积公式【解析】此题暂无解析【解答】13【答案】[−4,−2)【考点】函数的零点分段函数的应用由函数零点求参数取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】[−4,−2)三、解答题【答案】解：（1）若以①为条件， S5S9=5a39a5=5×69a5=103a5=13，故a5=10，d=a5−a35−3=2，a1=a3−2d=2，故an=2+n−1×2=2n ，若以②为条件，可得方程组a1+2d=6a1+d2=a1⋅a1+3d 解得a1=2d=2故an=2+n−1×2=2n.（2）由（1）可知bn=22n=4n，故数列bn是以4为首项，4为公比的等比数列，∴ cn=an+bn=2n+4n，∴ 数列cn的前n项和Tn=n2+2n2+41−4n1−4=nn+1+434n−1.【考点】等差数列的通项公式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）若以①为条件， S5S9=5a39a5=5×69a5=103a5=13，故a5=10，d=a5−a35−3=2，a1=a3−2d=2，故an=2+n−1×2=2n ，若以②为条件，可得方程组a1+2d=6a1+d2=a1⋅a1+3d 解得a1=2d=2故an=2+n−1×2=2n.（2）由（1）可知bn=22n=4n，故数列bn是以4为首项，4为公比的等比数列，∴ cn=an+bn=2n+4n，∴ 数列cn的前n项和Tn=n2+2n2+41−4n1−4=nn+1+434n−1.【答案】解：（1）由于样本平均数约为x=6×2+10×3+14×10+18×10+22×530≈15.7 （分钟），故可以估计该市初中八年级学生完成此学科作业的日平均时间为15.7分钟.(2)列联表填写如下∵ K2=6025×15−5×15230×30×20×40=7.5>6.635，∴ 有99%的把握认为作业是否超量与培训有关.【考点】众数、中位数、平均数独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由于样本平均数约为x=6×2+10×3+14×10+18×10+22×530≈15.7 （分钟），故可以估计该市初中八年级学生完成此学科作业的日平均时间为15.7分钟.(2)列联表填写如下∵ K2=6025×15−5×15230×30×20×40=7.5>6.635，∴ 有99%的把握认为作业是否超量与培训有关.【答案】解：（1）∵ 面EMN//面ABCD，面EMN∩面PBD=MN，面ABCD∩面PBD=BD，∴ MN//BD，∵ BD⊄面AMN，MN⊂面AMN，∴ BD//面AMN.(2)解：连接AC，交BD于O点，∵ 底面ABCD为菱形，BC=BD=2，∴ AC=23，∵ PC=BC，∠PBC=π4，∴ ∠PCB=π2，∴ PC⊥BC，∵ PC⊥BD，又BC∩BD=B，∴ PC⊥面ABCD，∴ ∠PCD=π2，∴ △PCD≅△PCB，∵ E为PC中点，∴ ED=EB=5，∴ △EBD的面积为S=12×2×52−12=2，因为三棱锥E−ABD的体积为V=13×12×2×3×1=33，设点A到平面EBD的距离为d，则V=13×2d=33.∴ d=32，故点A到平面EBD的距离为32.【考点】直线与平面平行的判定点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）∵ 面EMN//面ABCD，面EMN∩面PBD=MN，面ABCD∩面PBD=BD，∴ MN//BD，∵ BD⊄面AMN，MN⊂面AMN，∴ BD//面AMN.(2)解：连接AC，交BD于O点，∵ 底面ABCD为菱形，BC=BD=2，∴ AC=23，∵ PC=BC，∠PBC=π4，∴ ∠PCB=π2，∴ PC⊥BC，∵ PC⊥BD，又BC∩BD=B，∴ PC⊥面ABCD，∴ ∠PCD=π2，∴ △PCD≅△PCB，∵ E为PC中点，∴ ED=EB=5，∴ △EBD的面积为S=12×2×52−12=2，因为三棱锥E−ABD的体积为V=13×12×2×3×1=33，设点A到平面EBD的距离为d，则V=13×2d=33.∴ d=32，故点A到平面EBD的距离为32.【答案】解：（1）因为fx=ex−ax2−sinx所以f0=1，且f′x=ex−2ax−cosx，则f′0=0,所以fx在x=0处的切线方程为y=1 （2）当x≥0时，fx≥1−x−sinx, 即ex−ax2+x−1≥0，当x=0时， ex−ax2+x−1=0当x>0时， ex−ax2+x−1≥0, 令gx=ex+x−1x2x>0, 即a≤ex+x−1x2，则g′x=ex−1x−2x3，因为x>0，所以ex−1>e0−1=0当x>2时， g′x>0,gx在2,+∞上单调递增；当00时， ex−ax2+x−1≥0, 令gx=ex+x−1x2x>0, 即a≤ex+x−1x2，则g′x=ex−1x−2x3，因为x>0，所以ex−1>e0−1=0当x>2时， g′x>0,gx在2,+∞上单调递增；当00得x2−3px+p24=0，若Mx1,y1,Nx2,y2，则有x1+x2=3p，所以|MN|=x1+x2+p=4p=8时，有p=2，即抛物线E的方程为y2=4x.(2)由y2=4x求导得： 2y⋅y′=4，即y′=2y，所以抛物线E在点Ax0,y0处的切线方程为： y−y0=2y0x−x0，令y=0得x=−x0，即B−x0,0，所以|BF|=|AF|=|AC|，又因为AC//BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，所以四边形ACBF的形状为菱形． 【考点】抛物线的标准方程圆锥曲线的综合问题【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）设过点F且倾斜角为π4的直线方程为y=x−p2，代入y2=2pxp>0得x2−3px+p24=0，若Mx1,y1,Nx2,y2，则有x1+x2=3p，所以|MN|=x1+x2+p=4p=8时，有p=2，即抛物线E的方程为y2=4x.(2)由y2=4x求导得： 2y⋅y′=4，即y′=2y，所以抛物线E在点Ax0,y0处的切线方程为： y−y0=2y0x−x0，令y=0得x=−x0，即B−x0,0，所以|BF|=|AF|=|AC|，又因为AC//BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，所以四边形ACBF的形状为菱形． 【答案】解：(1)当t=1时， fx=|2x−1|+2|x+1|当x≤−1时， fx=1−2x−2x+1=−4x−1≥6 解得：x≤−74；当−10时， fx=|2x−t|+2|x+t|≥|2x−t−2x−2t|=|−3t|=3t=6，∴ t=2，∴ a+b=2，∴  1a+1b+1ab=a+b+1ab=3ab≥3a+b22=3 （当且仅当a=b=1时，等式成立）故1a+1b+1ab的最小值为3 .【考点】绝对值不等式的解法与证明基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当t=1时， fx=|2x−1|+2|x+1|当x≤−1时， fx=1−2x−2x+1=−4x−1≥6 解得：x≤−74；当−10时， fx=|2x−t|+2|x+t|≥|2x−t−2x−2t|=|−3t|=3t=6，∴ t=2，∴ a+b=2，∴  1a+1b+1ab=a+b+1ab=3ab≥3a+b22=3 （当且仅当a=b=1时，等式成立）故1a+1b+1ab的最小值为3 .