2021-2022学年福建省莆田市某校高一（下）期中考试数学试卷人教A版

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2021-2022学年福建省莆田市某校高一（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. 复数1−i的虚部是（        ） A.−1 B.−i C.i D.1 2. 以下问题不适合用全面调查的是（        ） A.调查某班学生每周课前预习的时间B.调查某中学在职教师的身体健康状况C.调查全国中小学生课外阅读情况D.调查某校篮球队员的身高 3. 在△ABC中，若AB=13，BC=3，∠C=120∘，则AC=(        ) A.1 B.2 C.3 D.4 4. 设2z+z+3z−z=4+6i，则z=(        ) A.1−2i B.1+2i C.1+i D.1−i 5. 已知|a→|=210，|b→|=10，a→与b→的夹角为π3，则|a→−2b→|=（        ） A.310 B.210 C.230 D.10 6. 为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某机构有青年人、中年人、老年人分别25人、100人、50人，欲采用分层抽样法组建一个35人的青年人、中年人、老年人的红歌传唱队，则应抽取中年人和老年人共（        ） A.21人 B.25人 C.28人 D.30人 7. 在平行四边形ABCD中，设CB→=a→,CD→=b→，E为AD的靠近A的三等分点，CE与BD交于F，则CF→= （        ） A.35a→+25b→ B.−35a→+25b→C.−25a→+35b→ D.25a→+35b→ 8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bc=43,sinA+2sinBcosC=0，则△ABC面积的最大值为（        ） A.1 B.3 C.2 D.23二、多选题  下列四式可以化简为PQ→的是(        ) A.AB→+PA→+BQ→ B.AB→+PC→+BA→−QC→C.QC→+CQ→−QP→ D.PA→+AB→−BQ→  某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评．工作人员在本区选取了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个地点进行现场测评，下表是两个街道的测评分数，则下列说法错误的是（        ） A.甲、乙两个街道的测评分数的极差相等B.甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等C.街道乙的测评分数的众数为87D.甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大  对于复数a+bia,b∈R，下列说法正确的是（        ） A.若a=0，则a+bi为纯虚数B.若a+b−1i=3−2i，则a=3,b=−1C.若b=0，则a+bi为实数D.i的平方等于1  在△ABC中， B=30∘,AB=43,AC=4，则△ABC的面积可能为（        ） A.23 B.43 C.63 D.83三、填空题  数据20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22的70%分位数为________.   设复数z满足1+iz=2−2i（i为虚数单位），则|z|=________.   已知a→，b→为单位向量，且a→⋅b→=0，若c→=2a→−5b→，则cos=________.   《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60∘方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________km． 四、解答题  在复平面内，复数z=a2−a−2+a2−3a−4i （其中a∈R）. (1)若复数z为纯虚数，求a的值； (2)若复数z>0，求a的值．  从某学校随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图，如图所示． (1)求频率分布直方图中x的值； (2)估计该校学生身高的平均数（每组数据以区间中点值为代表）； (3)估计该校学生身高的75%分位数．  已知向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=2，且a→与b→不共线． (1)若向量a→+kb→与ka→+2b→为共线，求实数k的值； (2)若向量a→与b→的夹角为60∘，求2a→+b→与a→−b→的夹角θ.  已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，c=2，acosC+3asinC=b+c. (1)求A； (2)若BC边上的中线AM为3，求b．  为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息： (1)求出图中a的值； (2)求该班学生这个周末的学习时间不少于20小时的人数； (3)如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．  在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b=a+1,c=a+2. (1)若2sinC=3sinA，求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2021-2022学年福建省莆田市某校高一（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】A2.【答案】C【考点】收集数据的方法【解析】此题暂无解析【解答】C3.【答案】A【考点】余弦定理【解析】本题考查解三角形．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcos120∘，则13=AC2+9+3AC，解得AC=1（负值舍去）.故选A.4.【答案】C【考点】复数代数形式的加减运算共轭复数【解析】此题暂无解析【解答】解：设z=a+bi，则z=a−bi，2z+z+3z−z=4a+6bi=4+6i，所以a=1，b=1，所以z=1+i.故选C．5.【答案】B【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】B6.【答案】D【考点】分层抽样方法【解析】此题暂无解析【解答】D7.【答案】B【考点】向量在几何中的应用【解析】此题暂无解析【解答】B8.【答案】D【考点】正弦定理余弦定理三角形的面积公式【解析】此题暂无解析【解答】D二、多选题【答案】A,B,C【考点】向量的线性运算性质及几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：A，AB→+PA→+BQ→=AB→+BQ→−AP→=PQ→，故A正确；B，AB→+PC→+BA→−QC→=AB→+BA→+PC→+CQ→=PQ→，故B正确；C，QC→+CQ→−QP→=PQ→，故C正确；D，PA→+AB→−BQ→=PB→−BQ→≠PQ→，故D错误.故选ABC.【答案】A,B,C【考点】众数、中位数、平均数极差、方差与标准差【解析】此题暂无解析【解答】ABC【答案】B,C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】BC【答案】B,D【考点】正弦定理三角形求面积【解析】此题暂无解析【解答】BD三、填空题【答案】28【考点】数列的概念及简单表示法【解析】此题暂无解析【解答】28【答案】2【考点】复数代数形式的乘除运算复数的模【解析】此题暂无解析【解答】2【答案】23【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知，∵a→⋅b→=0，∴a→⊥b→，∵c→=2a→−5b→,∴|c→|=22+(5)2=3，且c→与a→夹角小于π2,故cos⟨a→,c→⟩=a→⋅c→|a→|⋅|c→|=(2a→−5b→)⋅a→|a→|⋅|c→|=23.故答案为：23.【答案】1003+1【考点】解三角形的实际应用【解析】此题暂无解析【解答】1003+1四、解答题【答案】解：(1)由题意得，a2−0−2=0，a2−3a−4≠0，解得a=2.(2)由于z与0可以比较大小，所以z为实数，且z>0，所以a2−a−2>0a2−3a−4=0可得a=4.【考点】复数的基本概念复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意得，a2−0−2=0，a2−3a−4≠0，解得a=2.(2)由于z与0可以比较大小，所以z为实数，且z>0，所以a2−a−2>0a2−3a−4=0可得a=4.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，5x=1−5×(0.07+0.04+0.02+0.01)所以x=15(1−5×0.14)=0.06．（2）根据频率分布直方图，由平均数公式可得：x=162.5×0.05+167.5×0.35+172.5×0.30+177.5×0.20+182.5×0.1=172.25（3）180,185的人数占比为5×0.02=10% ，175,180的人数占比为5×0.04=20% ，所以该校100名生学身高的75%分位数落在175,180，设该校100名生学身高的75%分位数为x，则0.04180−x+0.1=25%．解得x=176.25故该校100名生学身高的75%分位数为176.25. 【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由频率分布直方图可知，5x=1−5×(0.07+0.04+0.02+0.01)所以x=15(1−5×0.14)=0.06．（2）根据频率分布直方图，由平均数公式可得：x=162.5×0.05+167.5×0.35+172.5×0.30+177.5×0.20+182.5×0.1=172.25（3）180,185的人数占比为5×0.02=10% ，175,180的人数占比为5×0.04=20% ，所以该校100名生学身高的75%分位数落在175,180，设该校100名生学身高的75%分位数为x，则0.04180−x+0.1=25%．解得x=176.25故该校100名生学身高的75%分位数为176.25. 【答案】解：(1)因为向量a→+kb→与ka→+2b→共线，∴ 存在实数λ，使a→+kb→=λka→+2b→，且a→,b→不共线，∴ kλ=1k=2λ解得λ=22或λ=−22,k=2或−2.(2)|2a→+b→|=4a→2+4a→⋅b→+b→2=4+4×1×2×12+4=23，|a→−b→|=a→2−2a→⋅b→+b→2=1−2×1×2×12+4=3，(2a→+b→)⋅(a→−b→)=2a→2−a→⋅b→−b→2=2×1−1×2×12−4=−3，所以cosθ=(2a→+b→)⋅(a→−b→)|2a→+b→||a→−b→|=−323×3=−12.因为θ∈0,π，所以θ=2π3 . 【考点】平行向量的性质数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的运算向量的模【解析】  【解答】解：(1)因为向量a→+kb→与ka→+2b→共线，∴ 存在实数λ，使a→+kb→=λka→+2b→，且a→,b→不共线，∴ kλ=1k=2λ解得λ=22或λ=−22,k=2或−2.(2)|2a→+b→|=4a→2+4a→⋅b→+b→2=4+4×1×2×12+4=23，|a→−b→|=a→2−2a→⋅b→+b→2=1−2×1×2×12+4=3，(2a→+b→)⋅(a→−b→)=2a→2−a→⋅b→−b→2=2×1−1×2×12−4=−3，所以cosθ=(2a→+b→)⋅(a→−b→)|2a→+b→||a→−b→|=−323×3=−12.因为θ∈0,π，所以θ=2π3 . 【答案】解：(1)acosC+3asinC−b−c=0∴ 由正弦定理可得，sinAcosC+3sinAsinC−sinB−sinC=0sinAcosC+3sinAsinC−sinA+C−sinC=0sinAcosC+3sinAsinC−sinAcosC−cosAsinC−sinC=03sinAsinC−cosAsinC−sinC=0∵ C∈0,π，∴ sinC≠0，∴  3sinA−cosA=1∴ 2sinA−π6=1，即sinA−π6=12∵ A∈0,π，∴ A−π6∈−π6,5π6∴ A−π6=π6，A=π3.（2）AM为BC边上的中线，∴ AM→=12AB→+AC→，∴ |AM→|2=14AB→+AC→⋅AB→+AC→=14|AB→|2+2|AB→|⋅cosA+|AC→|2，∴ 32=1422+2×2bcosπ3+b2，即3=1+14b2+12b，解得b=2.【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)acosC+3asinC−b−c=0∴ 由正弦定理可得，sinAcosC+3sinAsinC−sinB−sinC=0sinAcosC+3sinAsinC−sinA+C−sinC=0sinAcosC+3sinAsinC−sinAcosC−cosAsinC−sinC=03sinAsinC−cosAsinC−sinC=0∵ C∈0,π，∴ sinC≠0，∴  3sinA−cosA=1∴ 2sinA−π6=1，即sinA−π6=12∵ A∈0,π，∴ A−π6∈−π6,5π6∴ A−π6=π6，A=π3.（2）AM为BC边上的中线，∴ AM→=12AB→+AC→，∴ |AM→|2=14AB→+AC→⋅AB→+AC→=14|AB→|2+2|AB→|⋅cosA+|AC→|2，∴ 32=1422+2×2bcosπ3+b2，即3=1+14b2+12b，解得b=2.【答案】（1）解：因为频率分布直方图中，小矩形面积和为1，所以0.015+a+0.030+0.040+0.045+0.050×5=1 ，解得a=0.020.（2）解：由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为0.03+0.015×5=0.225，则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为40×0.225=9.（3）解：不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．【考点】频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】（1）解：因为频率分布直方图中，小矩形面积和为1，所以0.015+a+0.030+0.040+0.045+0.050×5=1 ，解得a=0.020.（2）解：由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为0.03+0.015×5=0.225，则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为40×0.225=9.（3）解：不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．【答案】解：（1）∵ 2sinC=3sinA ，∴ 根据正弦定理可得2c=3a,∴ b=a+1, c=a+2，∴ a=4, b=5, c=6，在△ABC中，运用余弦定理可得cosC=a2+b2+c22ab=42+52+622×4×5=18 ，sin2C+cos2C=1，∴  sinC=1−cos2C=1−182=378，∴  S△ABC=12absinC=12×4×5×378=1574.（II）∵ c>b>a，∴ △ABC为钝角三角形时，必角C为钝角，cosC=a2+b2−c22ab=a2+a+12−(a+2)22aa+1 ，∴ a2−2a−30，∴ 0a+2 ，即a>1，∴ 1a，∴ △ABC为钝角三角形时，必角C为钝角，cosC=a2+b2−c22ab=a2+a+12−(a+2)22aa+1 ，∴ a2−2a−30，∴ 0a+2 ，即a>1，∴ 1