中考数学模拟试卷(4月份)
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这是一份中考数学模拟试卷(4月份),共31页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
中考数学模拟试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.(3分)的值等于( )
A.3 B.﹣3 C.±3 D.
2.(3分)下列运算正确的是( )
A.(a3)2=a5 B.a3+a2=a5
C.(a3﹣a)÷a=a2 D.a3÷a3=1
3.(3分)如图,由5个完全相同的小正方体组合成的几何体,它的主视图为( )
A. B. C. D.
4.(3分)某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑,它们预赛的成绩各不相同,取前6名参加决赛,小颖已经知道了自己的成绩,她想知道自己能否进入决赛,还需要知道这13名同学成绩的( )
A.方差 B.极差 C.中位数 D.平均数
5.(3分)用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为( )
A.1 B.2 C.3 D.6
6.(3分)若关于x的不等式组的解集为x<3,则k的取值范围为( )
A.k>1 B.k<1 C.k≥1 D.k≤1
7.(3分)若一次函数y=kx+b,当x的值减小1,y的值就减小2,则当x的值增加2时,y的值( )
A.增加4 B.减小4 C.增加2 D.减小2
8.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2,且x12﹣x1x2=0,则a的值是( )
A.a=1 B.a=1或a=﹣2 C.a=2 D.a=1或a=2
9.(3分)如图,△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为( )
A. B. C.2 D.
10.(3分)如图,在等边△ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动,连接PD,以PD为边,在PD右侧按如图方式作等边△DPF,当点P从点E运动到点A时,点F运动的路径长是( )
A.8 B.10 C.3π D.5π
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
11.(3分)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
12.(3分)据媒体报道,我国因环境污染造成的巨大经济损失,每年高达680000000元,这个数用科学记数法表示为 元.
13.(3分)如图,BC∥DE,若∠A=35°,∠E=60°,则∠C等于
14.(3分)一个多边形的每个外角都等于72°,则这个多边形的边数为 .
15.(3分)已知一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的两根分别为x1、x2,那么x12+x22的值是 .
16.(3分)如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B是切点,点C是劣弧AB上的一个动点(点C不与点A、点B重合),若∠P=30°,则∠ACB的度数是 °.
17.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折,点B落在点E处,连接CE,则CE的长为 .
18.(3分)如图:双曲线经过点A(2,3),射线AB经过点B(0,2),将射线AB绕A按逆时针方向旋转45°,交双曲线于点C,则点C的坐标的为
三、解答题(本大题共10小题,共96分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(10分)(1)计算()﹣1﹣(2010﹣)0+4cos60°﹣|﹣2|;
(2)分解因式(x+2)(x+4)+x2﹣4.
20.(6分)解方程:﹣=1
21.(8分)如图,从地面B处测得热气球A的仰角为45°,从地面C处测得热气球A的仰角为30°,若BC为240米,求:热气球A的高度.
22.(9分)某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动,为了解情况,学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间,并将统计的时间(单位:小时)分成5组,A:0.5≤x<1,B:1≤x<1.5,C:1.5≤x<2,D:2≤x<2.5,E:2.5≤x<3,制作成两幅不完整的统计图(如图).
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)学生会随机调查了 名学生;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若全校有900名学生,估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有多少人?
23.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E,过点D作DF⊥AC于F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,BC=2,求DF的长.
24.(8分)在一个口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标号1,2,3,4.小明先随机地摸出一个小球后放回,小强再随机地摸出一个小球.记小明摸出球的标号为x,小强摸出球的标号为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则:当x>y时小明获胜,否则小强获胜.则他们制定的游戏规则公平吗?请说明理由.
25.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB=DC,E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是对角线BD、AC的中点.
(1)求证:四边形EGFH是菱形;
(2)若AB=1,则当∠ABC+∠DCB=90°时,求四边形EGFH的面积.
26.(10分)水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售,经过还价,实际价格每千克比原来少2元,发现原来买这种水果80千克的钱,现在可买88千克.
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元?
(2)王阿姨准备购进这种水果销售,若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图所示的一次函数关系.
①求y与x之间的函数关系式;
②请你帮王阿姨拿个主意,将这种水果的销售单价定为多少时,能获得最大利润?最大利润是多少?(利润=销售收入﹣进货金额)
27.(13分)如图,已知△ABC中,AB=8,BC=10,AC=12,D是AC边上一点,且AB2=AD•AC,连接BD,点E、F分别是BC、AC上两点(点E不与B、C重合),∠AEF=∠C,AE与BD相交于点G.
(1)求:BD的长;
(2)求证:△BGE∽△CEF;
(3)连接FG,当△GEF是等腰三角形时,直接写出BE的所有可能的长度.
28.(14分)如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于O(0,0),A(8,0)两点,顶点B的纵坐标为4.
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)若点C是抛物线上异于原点O的一点,且满足2BC2=OA2+2OC2,试判断△OBC的形状,并说明理由.
(3)在(2)的条件下,若抛物线上存在一点D,使得∠OCD=∠AOC﹣∠OCA,求点D的坐标.
中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.(3分)的值等于( )
A.3 B.﹣3 C.±3 D.
【分析】此题考查的是9的算术平方根,需注意的是算术平方根必为非负数.
【解答】解:∵=3,
故选:A.
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义,一个正数只有一个算术平方根,0的算术平方根是0.
2.(3分)下列运算正确的是( )
A.(a3)2=a5 B.a3+a2=a5
C.(a3﹣a)÷a=a2 D.a3÷a3=1
【分析】A、利用幂的乘方法则即可判定;B、利用同类项的定义即可判定;C、利用多项式除以单项式的法则计算即可判定;
D、利用同底数的幂的除法法则计算即可.
【解答】解:A、(a3)2=a6,故错误;
B、∵a3和a2不是同类项,∴a3+a2≠a5,故错误;
C、(a3﹣a)÷a=a2﹣,故错误;
D、a3÷a3=a0=1,正确.
故选:D.
【点评】此题主要考查了整式的运算,对于相关的法则和定义一定要熟练.
3.(3分)如图,由5个完全相同的小正方体组合成的几何体,它的主视图为( )
A. B. C. D.
【分析】根据主视图为正面所看到的图形,进而得出答案.
【解答】解:如图,由5个完全相同的小正方体组合成的几何体,它的主视图为:.
故选:A.
【点评】本题考查了三视图的知识,注意主视图即为从正面所看到的图形.
4.(3分)某校体育节有13名同学参加女子百米赛跑,它们预赛的成绩各不相同,取前6名参加决赛,小颖已经知道了自己的成绩,她想知道自己能否进入决赛,还需要知道这13名同学成绩的( )
A.方差 B.极差 C.中位数 D.平均数
【分析】由于比赛取前6名参加决赛,共有13名选手参加,根据中位数的意义分析即可.
【解答】解:13个不同的分数按从小到大排序后,中位数及中位数之后的共有7个数,
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了.
故选:C.
【点评】本题考查了方差和标准差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量.
5.(3分)用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为( )
A.1 B.2 C.3 D.6
【分析】易得扇形的弧长,除以2π即为圆锥的底面半径.
【解答】解:扇形的弧长==4π,
∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2.
故选:B.
【点评】考查了扇形的弧长公式;圆的周长公式;用到的知识点为:圆锥的弧长等于底面周长.
6.(3分)若关于x的不等式组的解集为x<3,则k的取值范围为( )
A.k>1 B.k<1 C.k≥1 D.k≤1
【分析】不等式整理后,由已知解集确定出k的范围即可.
【解答】解:不等式整理得:,
由不等式组的解集为x<3,
得到k的范围是k≥1,
故选:C.
【点评】此题考查了解一元一次不等式组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
7.(3分)若一次函数y=kx+b,当x的值减小1,y的值就减小2,则当x的值增加2时,y的值( )
A.增加4 B.减小4 C.增加2 D.减小2
【分析】此题只需根据已知条件分析得到k的值,即可求解.
【解答】解:∵当x的值减小1,y的值就减小2,
∴y﹣2=k(x﹣1)+b=kx﹣k+b,
y=kx﹣k+b+2.又y=kx+b,
∴﹣k+b+2=b,即﹣k+2=0,
∴k=2.
当x的值增加2时,
∴y=(x+2)k+b=kx+b+2k=kx+b+4,
当x的值增加2时,y的值增加4.
故选:A.
【点评】此题主要是能够根据已知条件正确分析得到k的值.
8.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2,且x12﹣x1x2=0,则a的值是( )
A.a=1 B.a=1或a=﹣2 C.a=2 D.a=1或a=2
【分析】根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2,所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1;②利用根的判别式等于0来求a的值.
【解答】解:解x12﹣x1x2=0,得
x1=0,或x1=x2,
①把x1=0代入已知方程,得
a﹣1=0,
解得:a=1;
②当x1=x2时,△=4﹣4(a﹣1)=0,即8﹣4a=0,
解得:a=2.
综上所述,a=1或a=2.
故选:D.
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义.解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a的另一值.
9.(3分)如图,△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为( )
A. B. C.2 D.
【分析】过B点作BD⊥AC,得AB的长,AD的长,利用锐角三角函数得结果.
【解答】解:过B点作BD⊥AC,如图,
由勾股定理得,
AB==,
AD==2,
cosA===,
故选:D.
【点评】本题考查了锐角三角函数和勾股定理,作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键.
10.(3分)如图,在等边△ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动,连接PD,以PD为边,在PD右侧按如图方式作等边△DPF,当点P从点E运动到点A时,点F运动的路径长是( )
A.8 B.10 C.3π D.5π
【分析】连结DE,作FH⊥BC于H,如图,根据等边三角形的性质得∠B=60°,过D点作DE′⊥AB,则BE′=BD=2,则点E′与点E重合,所以∠BDE=30°,DE=BE=2,接着证明△DPE≌△FDH得到FH=DE=2,于是可判断点F运动的路径为一条线段,此线段到BC的距离为2,当点P在E点时,作等边三角形DEF1,则DF1⊥BC,当点P在A点时,作等边三角形DAF2,作F2Q⊥BC于Q,则△DF2Q≌△ADE,所以DQ=AE=8,所以F1F2=DQ=8,于是得到当点P从点E运动到点A时,点F运动的路径长为8.
【解答】解:连结DE,作FH⊥BC于H,如图,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=60°,
过D点作DE′⊥AB,则BE′=BD=2,
∴点E′与点E重合,
∴∠BDE=30°,DE=BE=2,
∵△DPF为等边三角形,
∴∠PDF=60°,DP=DF,
∴∠EDP+∠HDF=90°
∵∠HDF+∠DFH=90°,
∴∠EDP=∠DFH,
在△DPE和△FDH中,
,
∴△DPE≌△FDH,
∴FH=DE=2,
∴点P从点E运动到点A时,点F运动的路径为一条线段,此线段到BC的距离为2,
当点P在E点时,作等边三角形DEF1,∠BDF1=30°+60°=90°,则DF1⊥BC,
当点P在A点时,作等边三角形DAF2,作F2Q⊥BC于Q,则△DF2Q≌△ADE,所以DQ=AE=10﹣2=8,
∴F1F2=DQ=8,
∴当点P从点E运动到点A时,点F运动的路径长为8.
故选:A.
【点评】本题考查了轨迹:点运动的路径叫点运动的轨迹,利用代数或几何方法确定点运动的规律.也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
11.(3分)若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x≥﹣2且x≠0 .
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+2≥0且x≠0,再解即可.
【解答】解:由题意得:x+2≥0且x≠0,
解得:x≥﹣2且x≠0,
故答案为:x≥﹣2且x≠0.
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件,以及分式有意义的条件,关键是掌握分式有意义,分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.
12.(3分)据媒体报道,我国因环境污染造成的巨大经济损失,每年高达680000000元,这个数用科学记数法表示为 6.8×108 元.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将680000000用科学记数法表示为6.8×108.
故答案为:6.8×108.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
13.(3分)如图,BC∥DE,若∠A=35°,∠E=60°,则∠C等于 25°
【分析】根据平行线的性质求出∠CBE,再根据三角形外角性质求出即可.
【解答】解:∵BC∥DE,∠E=60°,
∴∠CBE=∠E=60°,
∵∠A=35°,
∴∠C=∠CBE﹣∠A=60°﹣35°=25°,
故答案为:25°.
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质,能根据定理求出∠CBE=∠E和∠C=∠CBE﹣∠A是解此题的关键.
14.(3分)一个多边形的每个外角都等于72°,则这个多边形的边数为 5 .
【分析】利用多边形的外角和360°,除以外角的度数,即可求得边数.
【解答】解:多边形的边数是:360÷72=5.
故答案为:5.
【点评】本题考查了多边形的外角和定理,理解任何多边形的外角和都是360度是关键.
15.(3分)已知一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的两根分别为x1、x2,那么x12+x22的值是 19 .
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3,x1x2=﹣5,再利用完全平方公式变形得到x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2,然后利用整体代入的方法计算.
【解答】解:根据题意得x1+x2=3,x1x2=﹣5,
所以x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=32﹣2×(﹣5)=19.
故答案为19.
【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=,x1x2=.
16.(3分)如图,PA、PB是⊙O的切线,A、B是切点,点C是劣弧AB上的一个动点(点C不与点A、点B重合),若∠P=30°,则∠ACB的度数是 105 °.
【分析】连接OA,OB,由PA,PB为圆O的切线,利用切线的性质得到两个角为直角,再利用四边形的内角和定理求出∠AOB的度数,进而求出大角∠AOB的度数,利用圆周角定理即可求出∠ACB的度数.
【解答】解:连接OA,OB,
∵PA,PB分别为圆O的切线,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∵∠P=30°,
∴∠AOB=150°,
即大角∠AOB=360°﹣150°=210°,
则∠ACB=大角∠AOB=105°.
故答案为:105.
【点评】此题考查了切线的性质,四边形的内角和定理,以及圆周角定理,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.
17.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折,点B落在点E处,连接CE,则CE的长为 .
【分析】连接BE交AD于O,作AH⊥BC于H.首先证明AD垂直平分线段BE,△BCE是直角三角形,求出BC、BE,在Rt△BCE中,利用勾股定理即可解决问题.
【解答】解:如图所示:连接BE交AD于O,作AH⊥BC于H.
在Rt△ABC中,∵AC=4,AB=3,
∴BC==5,
∵CD=DB,
∴AD=DC=DB=,
∵•BC•AH=•AB•AC,
∴AH=,
∵AE=AB,
∴点A在BE的垂直平分线上,
∵DE=DB=DC,
∴点D在BE使得垂直平分线上,△BCE是直角三角形,
∴AD垂直平分线段BE,
∵•AD•BO=•BD•AH,
∴OB=,
∴BE=2OB=,
在Rt△BCE中,CE===;
故答案为:.
【点评】本题考查了翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会利用面积法求高,属于中考常考题型.
18.(3分)如图:双曲线经过点A(2,3),射线AB经过点B(0,2),将射线AB绕A按逆时针方向旋转45°,交双曲线于点C,则点C的坐标的为 (﹣1,﹣6)
【分析】过B作BF⊥AC于F,过F作FD⊥y轴于D,过A作AE⊥DF于E,则△ABF为等腰直角三角形,易得△AEF≌△FDB,设BD=a,则EF=a,进一步得到DF=2﹣a=AE,OD=OB﹣BD=2﹣a,根据AE+OD=3,列出2﹣a+2﹣a=3,求得a的值,即可求得F的坐标,根据待定系数法求得直线AF的解析式,然后和反比例函数的解析式联立方程,解方程即可求得.
【解答】解:如图,过B作BF⊥AC于F,过F作FD⊥y轴于D,过A作AE⊥DF于E,则△ABF为等腰直角三角形,易得△AEF≌△FDB,设BD=a,则EF=a,
∵点A(2,3)和点B(0,2),
∴DF=2﹣a=AE,OD=OB﹣BD=2﹣a,
∵AE+OD=3,
∴2﹣a+2﹣a=3,
解得a=,
∴F(,),
设直线AF的解析式为y=kx+b,则,解,
∴直线AF的解析式为y=3x﹣3,
∵双曲线经过点A(2,3),
∴k=2×3=6,
∴双曲线为y=,
解方程组,可得或,
∴C(﹣1,﹣6),
故答案为:(﹣1,﹣6).
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象交点问题,旋转的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征的运用,解决问题的关键是利用45°角,作辅助线构造等腰直角三角形,依据交点的性质列方程组进行求解.
三、解答题(本大题共10小题,共96分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(10分)(1)计算()﹣1﹣(2010﹣)0+4cos60°﹣|﹣2|;
(2)分解因式(x+2)(x+4)+x2﹣4.
【分析】(1)直接利用负指数幂的性质以及结合零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简进而得出答案;
(2)直接提取公因式(x+2),进而分解因式得出答案.
【解答】解:(1)原式═2﹣1+2﹣2
=1;
(2)原式=(x+2)(x+4)+(x+2)(x﹣2)
=(x+2)(2x+2)
=2(x+2)(x+1).
【点评】此题主要考查了实数运算以及分解因式,正确化简各数是解题关键.
20.(6分)解方程:﹣=1
【分析】分式方程变形后,去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:原方程可变为:﹣=1,
方程两边同乘(x﹣2),得3﹣(x﹣1)=x﹣2,
解得:x=3,
检验:当x=3时,x﹣2≠0,
∴原方程的解为x=3.
【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.
21.(8分)如图,从地面B处测得热气球A的仰角为45°,从地面C处测得热气球A的仰角为30°,若BC为240米,求:热气球A的高度.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D,设AD=x米,根据正确的定义用x分别表示出BD、CD,根据题意列出方程,解方程得到答案.
【解答】解:如图所示,过点A作AD⊥BC于点D,
由题意知,∠B=45°,∠C=30°,BC=240米,
设AD=x米,
∵∠B=45°,
BD=AD=x米,
在Rt△ADC中,tanC=,
∴CD==x,
由BC=BD+CD可得,x+x=240,
解得:x=120﹣120,
答:热气球A的高度为(120﹣120)米.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
22.(9分)某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动,为了解情况,学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间,并将统计的时间(单位:小时)分成5组,A:0.5≤x<1,B:1≤x<1.5,C:1.5≤x<2,D:2≤x<2.5,E:2.5≤x<3,制作成两幅不完整的统计图(如图).
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)学生会随机调查了 50 名学生;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若全校有900名学生,估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有多少人?
【分析】(1)根据D组人数及其所占百分比即可得出总人数;
(2)总人数乘以C组的百分比求得C组人数,总人数减去其余各组人数求得B人数人数即可补全条形图;
(3)总人数乘以样本中E组人数所占比例可得.
【解答】解:(1)学生会调查的学生人数为10÷20%=50(人),
故答案为:50;
(2)∵1.5≤x<2的人数为50×40%=20人,
∴1≤x<1.5的人数为50﹣(3+20+10+4)=13人,
补全图形如下:
(3)900×=72(人),
答:估计该校在这次活动中做家务的时间不少于2.5小时的学生有72人.
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.
23.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E,过点D作DF⊥AC于F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,BC=2,求DF的长.
【分析】(1)欲证明DF是⊙O的切线只要证明DF⊥OD,只要证明OD∥AC即可.
(2)连接AD,首先利用勾股定理求出AD,由△ADC∽△DFC可得=,列出方程即可解决问题.
【解答】(1)证明:连接OD,
∵OB=OD,
∴∠ABC=∠ODB,
∴AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ODB=∠ACB,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴DF⊥OD
∴DF是⊙O的切线
(2)连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥BC,又∵AB=AC
∴BD=DC=
∴AD===,
∵DF⊥AC,
∴△ADC∽△DFC
∴=,
∴=,
∴DF=.
【点评】本题考查切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
24.(8分)在一个口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标号1,2,3,4.小明先随机地摸出一个小球后放回,小强再随机地摸出一个小球.记小明摸出球的标号为x,小强摸出球的标号为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则:当x>y时小明获胜,否则小强获胜.则他们制定的游戏规则公平吗?请说明理由.
【分析】首先根据题意画出树状图,由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况,继而利用概率公式即可求得答案.
【解答】解:由条件,可列树形图如下:
共有16种等可能的结果,其中符合x>y的有6种,
∴,,
∵,
∴不公平.
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.
25.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB=DC,E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是对角线BD、AC的中点.
(1)求证:四边形EGFH是菱形;
(2)若AB=1,则当∠ABC+∠DCB=90°时,求四边形EGFH的面积.
【分析】(1)利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的四边相等,即可证得;
(2)根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°,得到菱形EGFH是正方形,利用三角形的中位线定理求得GE的长,则正方形的面积可以求得.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点,
∴FG=CD,HE=CD,FH=AB,GE=AB.
∵AB=CD,
∴FG=FH=HE=EG.
∴四边形EGFH是菱形.
(2)解:∵四边形ABCD中,G、F、H分别是BD、BC、AC的中点,
∴GF∥DC,HF∥AB.
∴∠GFB=∠DCB,∠HFC=∠ABC.
∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°.
∴∠GFH=90°.
∴菱形EGFH是正方形.
∵AB=1,
∴EG=AB=.
∴正方形EGFH的面积=()2=.
【点评】本题考查了三角形的中位线定理,菱形的判定以及正方形的判定,理解三角形的中位线定理是关键.
26.(10分)水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售,经过还价,实际价格每千克比原来少2元,发现原来买这种水果80千克的钱,现在可买88千克.
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元?
(2)王阿姨准备购进这种水果销售,若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图所示的一次函数关系.
①求y与x之间的函数关系式;
②请你帮王阿姨拿个主意,将这种水果的销售单价定为多少时,能获得最大利润?最大利润是多少?(利润=销售收入﹣进货金额)
【分析】(1)设现在实际购进这种水果每千克x元,根据原来买这种水果80千克的钱,现在可买88千克列出关于x的一元一次方程,解方程即可;
(2)①设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,将(25,165),(35,55)代入,运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式;
②设这种水果的销售单价为x元时,所获利润为w元,根据利润=销售收入﹣进货金额得到w关于x的函数关系式为w=﹣11(x﹣30)2+1100,再根据二次函数的性质即可求解.
【解答】解:(1)设现在实际购进这种水果每千克a元,则原来购进这种水果每千克(a+2)元,由题意,得
80(a+2)=88a,
解得a=20.
答:现在实际购进这种水果每千克20元;
(2)①设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,
将(25,165),(35,55)代入,
得,解得,
故y与x之间的函数关系式为y=﹣11x+440;
②设这种水果的销售单价为x元时,所获利润为w元,
则w=(x﹣20)y=(x﹣20)(﹣11x+440)=﹣11x2+660x﹣8800=﹣11(x﹣30)2+1100,
所以当x=30时,w有最大值1100.
答:将这种水果的销售单价定为30元时,能获得最大利润,最大利润是1100元.
【点评】本题考查了一元一次方程、一次函数、二次函数在实际生活中的应用,其中涉及到找等量关系列方程,运用待定系数法求一次函数的解析式,二次函数的性质等知识,本题难度适中.
27.(13分)如图,已知△ABC中,AB=8,BC=10,AC=12,D是AC边上一点,且AB2=AD•AC,连接BD,点E、F分别是BC、AC上两点(点E不与B、C重合),∠AEF=∠C,AE与BD相交于点G.
(1)求:BD的长;
(2)求证:△BGE∽△CEF;
(3)连接FG,当△GEF是等腰三角形时,直接写出BE的所有可能的长度.
【分析】(1)证明△ADB∽△ABC,可得,由此即可解决问题.
(2)想办法证明∠BEA=∠EFC,∠DBC=∠C即可解决问题.
(3)分三种情形构建方程组解决问题即可.
【解答】解:(1)∵AB=8,AC=12,又∵AB2=AD•AC
∴
∵AB2=AD•AC,
∴,又∵∠BAC是公共角
∴△ADB∽△ABC,
∴
∴=
∴.
(2)∵AC=12,,
∴,
∴BD=CD,
∴∠DBC=∠C,
∵△ADB∽△ABC
∴∠ABD=∠C,
∴∠ABD=∠DBC,
∵∠BEF=∠C+∠EFC,
即∠BEA+∠AEF=∠C+∠EFC,
∵∠AEF=∠C,
∴∠BEA=∠EFC,又∵∠DBC=∠C,
∴△BEG∽△CFE.
(3)如图1中,过点A作AH∥BC,交BD的延长线于点H,设BE=x,CF=y,
∵AH∥BC,
∴====,
∵BD=CD=,AH=8,
∴AD=DH=,
∴BH=12,
∵AH∥BC,
∴=,
∴=,
∴BG=,
∵∠BEF=∠C+∠EFC,
∴∠BEA+∠AEF=∠C+∠EFC,
∵∠AEF=∠C,
∴∠BEA=∠EFC,
又∵∠DBC=∠C,
∴△BEG∽△CFE,
∴=,
∴=,
∴y=;
当△GEF是等腰三角形时,存在以下三种情况:
①若GE=GF,如图2中,则∠GEF=∠GFE=∠C=∠DBC,
∴△GEF∽△DBC,
∵BC=10,DB=DC=,
∴==,
又∵△BEG∽△CFE,
∴==,即=,
又∵y=,
∴x=BE=4;
②若EG=EF,如图3中,则△BEG与△CFE全等,
∴BE=CF,即x=y,
又∵y=,
∴x=BE=﹣5+;
③若FG=FE,如图4中,则同理可得==,
由△BEG∽△CFE,可得==,
即=,
又∵y=,
∴x=BE=﹣3+.
【点评】本题属于相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识的综合运用.解题的难点是正确寻找相似三角形解决问题,运用分类思想是解决第(3)小题的关键.
28.(14分)如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于O(0,0),A(8,0)两点,顶点B的纵坐标为4.
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)若点C是抛物线上异于原点O的一点,且满足2BC2=OA2+2OC2,试判断△OBC的形状,并说明理由.
(3)在(2)的条件下,若抛物线上存在一点D,使得∠OCD=∠AOC﹣∠OCA,求点D的坐标.
【分析】(1)根据抛物线y=ax2+bx+c交x轴于O(0,0),A(8,0)两点,顶点B的纵坐标为4,根据待定系数法可求抛物线的解析式;
(2)设C(x,y),由勾股定理得点C(12,﹣12),则∠AOB=∠AOC=45°,∠BOC=90°,因此△OBC是直角三角形;
(3)作CE⊥x轴于E,根据三角函数可得直线与抛物线的交点即为所求点D.△OBC中,tan∠OCB==,可得直线上方的点D即为点B(4,4),由点B关于点O的对称点B'(﹣4,﹣4),且OB⊥OC,可得∠OCB=∠OCB',将直线B'C解析式为y=﹣x﹣6代入抛物线y=﹣+2x,可得点D的坐标.
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于O(0,0),A(8,0)两点,顶点B的纵坐标为4,
∴,
解得.
故抛物线的解析式是y=﹣+2x;
(2)△OBC是直角三角形.
如图1,设C(x,y),
由勾股定理得:OB2=42+42,OC2=x2+y2,BC2=(x﹣4)2+(y﹣4)2,
∵2BC2=OA2+2OC2,
∴化简得x=﹣y,
代入y=﹣+2x,
解得x=12,y=﹣12,
即点C(12,﹣12),
则∠AOB=∠AOC=45°,∠BOC=90°,
因此△OBC是直角三角形.
(3)如图2,作CE⊥x轴于E,则tan∠ACE=.
∵∠AOC=∠OCE=45°,
∴∠AOC﹣∠OCA=∠OCE﹣∠OCA=∠ACE,
∵∠OCD=∠AOC﹣∠OCA,
∴tan∠OCD=,
只要经过点C,在CO的上方与下方各作一条直线,使所作直线与CO所成锐角的正切值为,则直线与抛物线的交点即为所求点D.
∵△OBC中,tan∠OCB==,
∴直线上方的点D即为点B(4,4),
∵点B关于点O的对称点B'(﹣4,﹣4),且OB⊥OC,
∴∠OCB=∠OCB'
∵直线B'C解析式为y=﹣x﹣6
∴代入抛物线y=﹣+2x,
解得D(﹣2,﹣5).
综上所述,点D的坐标为(4,4)或(﹣2,﹣5).
【点评】本题主要考查了二次函数综合题,涉及运用待定系数法求抛物线解析式、直角三角形的判定、三角函数、勾股定理等知识,运用图形结合的思想是解题的关键.
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