二次函数与圆综合习题无答案
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二次函数与圆
一：相切问题
【例1】已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 并且线段CM的长为
（1）求抛物线的解析式。
（2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。
（3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。
【巩固】.如图，点，以点为圆心、为半径的圆与轴交于点．已知抛物过点和，与轴交于点．
⑴ 求点的坐标，并画出抛物线的大致图象．
⑵ 点在抛物线上，点为此抛物线对称轴上一个动点，求 最小值．
⑶ 是过点的的切线，点是切点，求所在直线的解析式．
已知：抛物线与轴相交于两点，
且．
（Ⅰ）若，且为正整数，求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若，求的取值范围；
（Ⅲ）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；
（Ⅳ）若直线过点，与（Ⅰ）中的抛物线相交于两点，且使，求直线的解析式．
二：线段最值问题
【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆交轴正半轴于点，
是的切线．动点从点开始沿方向以每秒个单位长度的速度运动，点从点开始沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，且动点、从点和点同时出发，设运动时间为(秒)．
⑴当时，得到、两点，求经过、、三点的抛物线解析式及对称轴；
⑵当为何值时，直线与相切？并写出此时点和点的坐标；
⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴上存在一点，使最小，求出点N的坐标并说明理由．
变式：如图，已知二次函数的图象与轴交于两点与轴交于点，⊙的半径为为⊙上一动点.
（1）点的坐标分别为（ ），（ ）；
（2）是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，若为的中点，连接，则的最大值= .
三: 三角形面积最值问题
【例3】已知抛物线经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．
变式: 如图，直角坐标系中，已知两点，，点在第一象限且为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴于点．
⑴ 求两点的坐标；
⑵ 求直线的函数解析式；
⑶ 设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的周长．试探究：的最大面积？
课后练习：
【例1】 已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，抛物线经过，两点．
⑴试用含的代数式表示；
⑵设抛物线的顶点为，以为圆心，为半径的圆被轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧
沿轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙内，它所在的圆恰与相切，求⊙半径的长及抛物线的
解析式；
⑶设点是满足()中条件的优弧上的一个动点，抛物线在轴上方的部分上是否存在这样的点
，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【例2】 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆交轴正半轴于点，
是的切线．动点从点开始沿方向以每秒个单位长度的速度运动，点从点开始沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，且动点、从点和点同时出发，设运动时间为(秒)．
⑴当时，得到、两点，求经过、、三点的抛物线解析式及对称轴；
⑵当为何值时，直线与相切？并写出此时点和点的坐标；
⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴上存在一点，使最小，求出点N的坐标并说明理由．
【例3】 在平面直角坐标系中，已知直线经过点和点，直线的函数表达式为，与相交于点．是一个动圆，圆心在直线上运动，设圆心的横坐标是．过点作轴，垂足是点．
⑴ 填空：直线的函数表达式是 ，交点的坐标是 ，的度数是 ；
⑵ 当和直线相切时，请证明点到直线的距离等于的半径，并写出 时的值．
⑶ 当和直线不相离时，已知的半径，记四边形的面积为(其中点是直线与的交点)．是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的值；若不存在，请说明理由．
【例4】 已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与
二次函数的图象交于两点(在的左侧)，且点坐标为．平行于轴的直线过点．
⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；
⑵ 判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；
⑶ 把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，二次函数的图象与轴交于两点，一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？
【例5】 如图1，的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在上运动．
⑴ 当点运动到与点、在同一条直线上时，试证明直线与相切；
⑵ 当直线与相切时，求所在直线对应的函数关系式；
⑶ 设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值．
【例6】 如图，已知点从出发，以个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：
⑴ 点的坐标（用含的代数式表示）；
⑵ 当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．
【例7】 已知：抛物线，顶点，与轴交于、两点，．
⑴ 求这条抛物线的解析式．
⑵ 如图，以为直径作圆，与抛物线交于点，与抛物线对称轴交于点，依次连接、、、，点为线段上一个动点(与、两点不重合)，过点作于，于，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
⑶ 在⑵的条件下，若点是线段上一点，过点作，分别与边、相交于点、(与、不重合，与、不重合)，请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【例8】 如图，已知点的坐标是，点的坐标是，以为直径作，交轴的负半轴于点，连接、，过、、三点作抛物线．
⑴ 求抛物线的解析式；
⑵ 点是延长线上一点，的平分线交于点，连结，求直线的解析式；
⑶ 在⑵的条件下，抛物线上是否存在点，使得？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【例9】 已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
⑴ 求的值及抛物线顶点坐标；
⑵ 过的三点的交轴于另一点，连结并延长交于点，过点的的切线分别交轴、轴于点，求直线的解析式；
⑶ 在条件⑵下，设为上的动点(不与重合)，连结交轴于点，问是否存在一个常数，始终满足，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．
【例10】 已知二次函数的图象经过点，并与轴交于点和点，顶点为．
⑴ 求这个二次函数的解析式，并在直角坐标系中画出该二次函数的图象；
⑵ 设为线段上的一点，满足，求点的坐标；
⑶ 在轴上是否存在一点，使以为圆心的圆与所在的直线及轴都相切？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【例11】 已知⊙的半径为，以为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形，顶点的坐标为，顶点在轴上方，顶点在⊙上运动．
⑴ 当点运动到与点、在一条直线上时，与⊙相切吗？如果相切，请说明理由，并求出所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；
⑵ 设点的横坐标为，正方形的面积为，求出与的函数关系式，并求出的最大值和最小值．
【例12】 如图，将置于平面直角坐标系中，其中点为坐标原点，点的坐标为，．
⑴ 若的外接圆与轴交于点，求点坐标．
⑵ 若点的坐标为，试猜想过的直线与的外接圆的位置关系，并加以说明．
⑶ 二次函数的图象经过点和且顶点在圆上，求此函数的解析式．
