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一元一次不等式（中上）学案-无答案
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这是一份一元一次不等式（中上）学案-无答案，共16页。学案主要包含了教学目标，知识梳理，一元一次不等式，一元一次不等式组，求参数范围，满足Ｘ，Ｙ的条件，求参数范围，根据三角形三边关系解不等式，应用题等内容，欢迎下载使用。
一元一次不等式（组）
一、教学目标
1. 理解一元一次不等式的含义。
2. 会用一元一次不等式解决问题。
二、知识梳理
考点一、不等式的概念
1、不等式
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法
考点二、不等式基本性质
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
考试题型：
考点三、一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
考点四、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
4、一元一次不等式组的两个步骤：
（1）求出这个不等式组中各个不等式的解集；
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集。
三 重难点分类解析
考点1 不等式及其性质
【考点解读】理解实数的运算法则，确定相关量的取值范围，然后用不等式来表示;要熟练掌握不等式的性质，特别注意当不等式两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号方向要改变.
例1 下列说法不一定成立的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【规律·技法】应用不等式的性质解决问题时，特别要注意当不等式的两边同乘或同除以同一个负数时不等号要改变方向.
反馈练习
1. (2018·南京期末)若，则下列式子错误的是( )
2. A. B.
C. D.
点拨:在不等式两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号方向要改变.
2.下列不等式变形正确的是( )
A.由，得 B.由，得
C.由，得 D.由，得
点拨:注意各选项中，不等号的方向是否需要改变.
考点2 解一元一次不等式
【考点解读】解一元一次不等式时，先认真分析不等式的特点，然后确定求解的步骤，在易错环节中要认真细致，紧扣变形依据.
例2 解小等式: ，并把它的解集在数轴上表示出来.
【规律·技法】本题主要考查对解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键.
反馈练习
3.解下列不等式:
(1); (2).
点拨:先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为“1”
考点3 解一元一次方程组
【考点解读】根据解一元一次不等式组的步骤，先求两个不等式的解集，然后借助数轴求得两个解集的公共部分.
例3 (2017·南京)解不等式组: .
请结合题意，完成本题的解答:
(1)解不等式①，得 ，依据是 ；
(2)解不等式③，得 ;
(3)把不等式①②和③的解集在数轴上表示出来:
(4)从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为 .
规律技法：本题考查一元一次不等式组的解法，确定一元一次不等式组的解集可以借助于数轴，也可以利用口诀:同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解).
反馈练习
4. 解不等式组:，并把解集表示在数轴上.
点拨:先分别求解两个不等式，并在数轴上表示两个解集，寻找公共部分即可.
考点4 用一元一次不等式解决实际问题
【考点解读】要明确列不等式解决实际问题的步骤与方法:理解题意，找出一个能表示实际问题意义的不等关系，然后设未知数，根据不等关系列出不等式，解这个不等式，检验并写出答案.
例4 每年5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况，他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息如图.
若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，则这份快餐最多含有多少克的蛋白质?
例5某校需购买一批课桌椅供学生使用，已知A型课桌椅230元/套，B型课桌椅200元/套.
(1)该校购买了A，B型课桌椅共250套，付款53 000元，则A，B型课桌椅各买了多少套?
(2)因学生人数增加，该校需再购买100套A，B型课桌椅，现只有资金22 000元，则最多能购买A型课桌椅多少套?
反馈练习
5.为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍?
6.某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向西部山区学校捐赠男、女两种款式的书包.已知男款书包的单价为50元/个，女款书包的单价为70元/个.
(1)原计划募捐3 400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个?
(2)在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4 800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个?
疑难点1 含参数的不等式问题
一元一次不等式组中参数范围的确定，是初中生学习一元一次不等式组的难点.由于涉及到未知数范围和参数范围及分类讨论，解此类题时，必须充分运用数轴，利用数形结合思想，才能达到深刻理解.
一、数形结合法
例1 若不等式组有解，取值范围会是什么?
二、赋值法
例2 已知不等式组无解，求的取值范围.
三、近远点策略
例3 若不等式组，有三个整数解，求的取值范围.
反馈练习
1.已知是不等式的一个解，如果是整数，那么的最大值是( )
A. B. C. D.
2.已知为常数，若的解集是，则的解集是( )
A. B.
C. D.
3.解关于的不等式.
疑难点2 含字母系数的一元一次不等式
根据不等式组的解集，确定不等式组中字母的取值范围，求解此类问题的关键在于熟练地求出一元一次不等式组的解集.解题中要特别注意考虑临界数值是否可取，必要时可以利用数轴帮助分析或进行分类讨论.
原题 若不等式组 , 的解集是,则 .
变式1 若不等式组 , 无解，则的取值范围是 .
变式2 若不等式组 只有4个整数解，则的取值范围是
变式3 若不等式组 ，无解，则的取值范围是 .
变式4 若不等式组 ，的解集是，则的取值范围是 .
变式5 不等式组 ，的解集是，则的取值范围是 .
变式6 不等式组 ，的解集是，则 .
疑难点3 方程组与一元一次不等式(组)的综合
1.已知，，且，求整数的值.
2.已知方程组的解满足为非正数，为负数.
(1)求的取值范围;
(2)化简:;
(3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为.
易错点1 混淆不等式的解与解集
下列说法正确的个数是( )
①是的解集;②不是的解;③的解集是;④中的任何一个数能使成立，因而是的解集.
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
易错点2 符号意义理解不清导致错误
给出下列不等式:①;②; ③;④.其中成立的是( )
A.②③ B.② C.①②④ D.②③④
错辨析:“”的含义是“>”或“=”，且二者不能同时成立.
易错点3 对非负整数的概念理解不清导致错误
(2018·苏州期末)写出不等式的所有非负整数解: .
易错辨析:非负整数包括零和正整数.
易错点4 忽略不等号的方向是否变化
若，则下列各式中，错误的是( )
A. B.
C. D.
易错辨析:在运用“不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变”这一性质时，关键是要注意乘的数是否是负数，如果是负数，不等号方向必须改变.这类题易出现的错误是运用此性质时，忽略了改变不等号的方向而导致选错答案
易错点5 解不等式常见错误
1.移项不变号
解不等式
2.去分母时，漏乘不含分母的项
解不等式
3.去分母时，忽视了分数线具有括号的作用
解不等式
4.去括号时，漏乘了括号内的项
.解不等式
易错点6 忽视字母在端点处的取值
若关于的一元一次不等式无解，则的取值范围是( )
A. B.
反馈练习
1.若，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
点拨:注意不等式两边同时乘或除以一个负数时不等号方向改变.
2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
点拨:分别解两个不等式，并将解集表示在数轴上，注意空心圆圈和实心圆点的使用.
3. 对于不等式组，下列说法正确的是( )
A.此不等式组无解
B.此不等式组有7个整数解
C.此不等式组的负整数解为
D.此不等式组的解集为
点拨:先解不等式组，根据解集判断即可.
4.不等式组的所有整数解是 .
点拨:先解不等式组，再根据解集分析出所有整数解.
5.满足不等式组的整数解为 .
点拨:先解不等式组，再根据解集分析出所有整数解.
探究与应用
探究1 确定不等式(组)中的参数取值范围
例1 若不等式组的解集为，求不等式的解集.
规律提示：确定不等式(组)中参数的取值范围的常用方法:(1)根据不等式(组)的解集确定;(2)分类讨论确定;(3)借助数轴确定.
举一反三
1.已知关于的方程组的解满足，求的取值范围.
2.若不等式组的解集是，求不等式的解集.
探究2 根据解集或整数解来确定系数的值或取值范围
例2 如果不等式组的整数解仅为，那么适合这个不等式组的整数的有序数对共有( )
A. 17对 B. 6 4对 C. 72对 D. 81对
规律提示：由已知不等式(组)的解集或整数解确定待定系数的值或取值范围，常用的方法是先求得含待定系数的不等式(组)的解集，再代入已给出的条件中，即可求出待定系数的值或取值范围.
举一反三
3.已知关于的不等式组只有四个整数解，则实数的取值范围是 .
4.已知不等式的正整数解为，求的取值范围.
探究3 求含有多个未知数的式子的最值
例3 已知是三个非负数，并且满足，，设，若为的最大值，为的最小值，求的值.
规律提示：要求含有多个未知数的式子的最值，把多个未知数转化为含一个未知数的式子，再由题目的约束条件求出这个未知数的取值范围，最后求出最值.
举一反三
5.已知均为非负数，且满足，求的最大值和最小值.
探究4 优惠方案的选择问题
例4甲、乙两商场以同样的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同.甲商场规定:凡购买超过1 000元的电器，超出的金额按90%实收;乙商场规定:凡购买超过500元的电器，超出的金额按95%实收.顾客怎样选择商场购买电器才能获得最大的优惠?
规律提示：寻找不等关系的方法:(1)利用事实不等关系，这里指的是不需要题设的表述就已经存在的不等关系.如生产用量供给量;(2)利用明确表达的不等关系，如常见的“不少于”“最多”“不超过”“最小”等;(3)利用题中隐藏的不等关系，如“哪一种方式更优惠”“如何安排运输的方案”等，其字里行间便隐藏着不等关系.
举一反三
6.某商场响应“家电下乡”的惠农政策，决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的数量是乙种电冰箱的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132000元.已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为1200元/台、1600元/台、2000元/台.
(1)至少购进乙种电冰箱多少台?
(2)若要求甲种电冰箱的数量不超过丙种电冰箱的数量，则有哪些购买方案?
探究5 不空不满类型问题
例5 学校为离家远的同学安排住宿，现有房间若干间.若每间住5人，则还有14人安排不下;若每间住7人，则最后一间房间里还余一些床位.学校可能有几间房间可以安排同学住宿?住宿的同学可能有多少人?
规律提示：放缩法，即将代数式的某些部分恰当地放大或缩小，从而得到相应的不等式，以达到解决问题的目的.放缩法的实质是构造不等式，通过缩小范围逼近求解，放缩法体现了化“相等”为“不等”，以“不等”求“相等”的策略和思想.
举一反三
7.将若干只鸡放入若干个笼子中，若每个笼子里放4只，则有一只鸡无笼可放;若每个笼子里放5只，则有一笼无鸡可放.问:至少有多少只鸡，多少个笼子?
一元一次不等式和一元一次不等式组题型归纳练习
一． 对一元一次不等式定义的理解
1.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、
2.下列式子①3x＝5；②a＞2；③3m－1≤4；④5x＋6y；⑤a＋2≠a－2；⑥－1＞2中，不等式有（ ）个
A、2 B、3 C、4 D、5
3.下列说法，错误的是（ ）
Ａ、的解集是 Ｂ、－１０是的解
Ｃ、的整数解有无数多个 Ｄ、的负整数解只有有限多个
4.下列不等关系中，正确的是（ ）
A、 a不是负数表示为a＞0； B、x不大于5可表示为x＞5
B、 x与1的和是非负数可表示为x＋1＞0；D、m与4的差是负数可表示为m－4＜0
二． 已知范围，求正确的结论
1.若a为有理数，则下列结论正确的是（ ）
A. a＞0 B. －a≤0 C. a2＞0 D. a2＋1＞0
2.下列四个命题中，正确的有（ ）
①若a＜b，则a＋1＜b＋1；②若a＜b，则a－1＜b－1；③若a＜b，则－2a＞－2b；④若a＜b，则2a＞2b.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.若a＞b，且c是有理数，则下列各式正确的是（ ）1.ac＞bc ②ac＜bc ③ac2＞bc2 ④ac2≥bc2 ⑤ ＞ A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.下列结论：①若a＞b，则ac2＞bc2；②若ac＞bc，则a＞b；③若a＞b，且c＝d，则ac＞bd；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中正确的有_________________
5.已知a＞b,c为任意实数，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A、a+c＜b+c B、a－c＞b－c C、ac＜bc D、ac＞bc
6.若则必为（ ）A、负整数 Ｂ、 正整数 Ｃ、负数 Ｄ、正数
7.若<<０，则下列答案中，正确的是（ ）Ａ、<Ｂ B、> Ｃ、< D、>
8.如果，那么下列结论不正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
9..已知０，则a,ab,ab2之间的大小关系是（ ）
A 、 Ｂ、Ｃ、 Ｄ、
10.下列说法中：①若a＞b，则a－b＞0；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac＞bc，则a＞b；④若ac2＞bc2，则a＞b.正确的有__________________
11.如果不等式ax＜b的解集是x＜，那么a的取值范围是（ ）
A、a≥0 B、a≤0 C、a＞0 D、a＜0
12.若0
三．根据绝对值性质解不等式
1.如果，则的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
2.已知2（1-x）<-3x，化简│x+2│-│-4-2x│.
3.若,则x的取值范围是_____________________
四、求整数解。
1.已知不等式5x－2＜6x＋1的最小正整数解是方程3x－ax＝6的解，求a的值.
2.已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数的取值范围是 __
3.关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是____________
4.已知关于x的不等式组有五个整数解，这五个整数是_______,a的取值范围是____________
5.已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是_____________
五、求参数范围
1若不等式组有解，则的取值范围是_____．
2.方程组的解为负数，求的范围__________
3.已知关于的不等式组无解，则的取值范围是_____________
4.已知关于的不等式组的整数解有５个，则的取值范围_________
5.关于的方程若其解是非正数，则的取值范围是____________
6.不等式组的解集是，则的取值范围是____________
7. 如果关于x的不等式（a＋1）x＞a＋1的解集为x＜1，那么a的取值范围是___________________
8.若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是.......
9.若不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
六、满足Ｘ，Ｙ的条件，求参数范围
1.为何值时，方程组的解满足均为正数？
2.如果不等式组的解集是x＞7，则n的取值范围是（ ）
3.关于的方程的解在2与10之间，则的取值范围是（ ）
4.若不等式组的解集为－1＜＜1，那么的值等于 。
5、已知中的x，y满足0＜y－x＜1，求k的取值范围．
七、根据三角形三边关系解不等式
1．三根木棍的长分别为，，，其中，，则应满足_____时，它们可以围成一个三角形．三角形三边长分别为4，a，7，则a的取值范围是 .
2.一个三角形的三边长分别为3、5、则的取值范围是 ；
3.已知三角形的两边，，则这个三角形的第三边的取值范围是（ ）
八、应用题
1.已知一个两位数的十位数字比个位数字小，若这个两位数大于而小于，求这个两位数？
2.乘某城市的一种出租车起价是１０元（即行驶路程在５Km以内都付10元车费），达到或超过5Km后，每增加1Km加价1.2元，（不足1部分按1Km计），现某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程是多少？
3.某城市一种出租汽车起步价是10元行驶路程在5km以内都需10元车费)，达到或超过5km后，每增加1km，1.2元(不足1km，加价1.2元；不足1km部分按1km计)。现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付17.2元，则从甲地到乙地路程大约是多少？
4.实验学校为初一寄宿学生安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
5.学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，并且还有一间房也不满。有多少间宿舍，多少女生
6.小记者团有48人要在某招待所住宿，招待所一楼没住客的客房比二楼少5间，如果全部住一楼，每间住5人，则住不满；每间住4人，则不够住，如果全部住在二楼，每间住4人，则住不满；每间住3人，则不够住。招待所一楼和二楼各有几间尚未住客的客房？
—元一次不等式 单元培优测试
一、选择题
1．x与y的和的一半是非负数，用不等式表示为 ( )
A．x＋y>0 B．(x＋y)>0
C．(x＋y)≤0 D．(x＋y)≥0
2．若m>n，则下列不等式中成立的是 ( )
A．m＋a
A．a>0 B．a>1
C．a<0 D．a<1
4．已知关于x的不等式2x－a<3的解集如图所示，则a的值等于 ( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是 ( )
6．若a－b>a，a＋b
C．a＋b>0 D．a－b<0
7．在方程组中，若未知数x、y满足x＋y>0，则m的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )
8．如果不等式组的解集是x>－1，那么m的值是 ( )
A．1 B．3
C．－1 D．－3
9．若三个连续的自然数的和不大于12，则符合条件的自然数有 ( )
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
10．某市打市话的收费标准是：每次3 min以内(含3 min)收费0.2元，以后每分收费0.1元(不足1 min按1 min计)．某天小芳给同学打了一个6 min的市话，所用电话费为0.5元；小刚现准备给同学打市话6 min，他经过思考以后，决定先打3 min，挂断后再打3 min，这样只需电话费0.4元．如果你想给某同学打市话，准备通话10 min，则你所需要的电话费至少为( )
A．0.6元 B．0.7元
C．0.8元 D．0.9元
二、填空题
11．关于x的某个不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，
则原不等式组的解集是_______．
12．已知－a－3>－b－3，则4－3a_______4－3b．(填“>”
或“<”)
13．不等式x＋3>x的负整数解是_______．
14．若关于x的方程3x＋k＝4的解是正数，则k的取值范围是_______．
15．若不等式(a－1)x>a－1的解集是x<1，则a的取值范围是_______．
16．不等式组的解集是_______．
17．若不等式组的解集为－1
19．已知一个三角形的两边长为3和8，第三边长是3的倍数，则周长为_______．
20．已知不等式组的解集为－1< x<2，则(m＋n)2013＝_______．
三、解不等式(组)，并将解集在数轴上表示出来．
21．
22．
四、解答题
23．(8分)求不等式组的非负整数解．
24．(10分)阅读探究，
分别就x<－3，x＝－3，－32五种情况，考虑一下x＋3，x－2和(x＋3)(x－2)的符号，填入下表相应的空格中(填“＋”“＝”或“0”)，并写出(x＋3)(x－2)＝0的解及不等式(x＋3)(x－2)>0和(x＋3)(x－2)≤0的解集．
(1)方程(x＋3)(x－2)＝0的解为_______；
(2)不等式(x＋3)(x－2)>0的解集为_______；
(3)不等式(x＋3)(x－2)≤0的解集为_______．
25．下表为某届奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．
(1)若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？
(2)若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张？
26．为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
(1)购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7 500元，但不超过7 650元，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
一元一次不等式（组）
一、教学目标
1. 理解一元一次不等式的含义。
2. 会用一元一次不等式解决问题。
二、知识梳理
考点一、不等式的概念
1、不等式
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法
考点二、不等式基本性质
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
考试题型：
考点三、一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
考点四、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
4、一元一次不等式组的两个步骤：
（1）求出这个不等式组中各个不等式的解集；
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集。
三 重难点分类解析
考点1 不等式及其性质
【考点解读】理解实数的运算法则，确定相关量的取值范围，然后用不等式来表示;要熟练掌握不等式的性质，特别注意当不等式两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号方向要改变.
例1 下列说法不一定成立的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【规律·技法】应用不等式的性质解决问题时，特别要注意当不等式的两边同乘或同除以同一个负数时不等号要改变方向.
反馈练习
1. (2018·南京期末)若，则下列式子错误的是( )
2. A. B.
C. D.
点拨:在不等式两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号方向要改变.
2.下列不等式变形正确的是( )
A.由，得 B.由，得
C.由，得 D.由，得
点拨:注意各选项中，不等号的方向是否需要改变.
考点2 解一元一次不等式
【考点解读】解一元一次不等式时，先认真分析不等式的特点，然后确定求解的步骤，在易错环节中要认真细致，紧扣变形依据.
例2 解小等式: ，并把它的解集在数轴上表示出来.
【规律·技法】本题主要考查对解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键.
反馈练习
3.解下列不等式:
(1); (2).
点拨:先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为“1”
考点3 解一元一次方程组
【考点解读】根据解一元一次不等式组的步骤，先求两个不等式的解集，然后借助数轴求得两个解集的公共部分.
例3 (2017·南京)解不等式组: .
请结合题意，完成本题的解答:
(1)解不等式①，得 ，依据是 ；
(2)解不等式③，得 ;
(3)把不等式①②和③的解集在数轴上表示出来:
(4)从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为 .
规律技法：本题考查一元一次不等式组的解法，确定一元一次不等式组的解集可以借助于数轴，也可以利用口诀:同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解).
反馈练习
4. 解不等式组:，并把解集表示在数轴上.
点拨:先分别求解两个不等式，并在数轴上表示两个解集，寻找公共部分即可.
考点4 用一元一次不等式解决实际问题
【考点解读】要明确列不等式解决实际问题的步骤与方法:理解题意，找出一个能表示实际问题意义的不等关系，然后设未知数，根据不等关系列出不等式，解这个不等式，检验并写出答案.
例4 每年5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况，他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息如图.
若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，则这份快餐最多含有多少克的蛋白质?
例5某校需购买一批课桌椅供学生使用，已知A型课桌椅230元/套，B型课桌椅200元/套.
(1)该校购买了A，B型课桌椅共250套，付款53 000元，则A，B型课桌椅各买了多少套?
(2)因学生人数增加，该校需再购买100套A，B型课桌椅，现只有资金22 000元，则最多能购买A型课桌椅多少套?
反馈练习
5.为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍?
6.某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向西部山区学校捐赠男、女两种款式的书包.已知男款书包的单价为50元/个，女款书包的单价为70元/个.
(1)原计划募捐3 400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个?
(2)在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4 800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个?
疑难点1 含参数的不等式问题
一元一次不等式组中参数范围的确定，是初中生学习一元一次不等式组的难点.由于涉及到未知数范围和参数范围及分类讨论，解此类题时，必须充分运用数轴，利用数形结合思想，才能达到深刻理解.
一、数形结合法
例1 若不等式组有解，取值范围会是什么?
二、赋值法
例2 已知不等式组无解，求的取值范围.
三、近远点策略
例3 若不等式组，有三个整数解，求的取值范围.
反馈练习
1.已知是不等式的一个解，如果是整数，那么的最大值是( )
A. B. C. D.
2.已知为常数，若的解集是，则的解集是( )
A. B.
C. D.
3.解关于的不等式.
疑难点2 含字母系数的一元一次不等式
根据不等式组的解集，确定不等式组中字母的取值范围，求解此类问题的关键在于熟练地求出一元一次不等式组的解集.解题中要特别注意考虑临界数值是否可取，必要时可以利用数轴帮助分析或进行分类讨论.
原题 若不等式组 , 的解集是,则 .
变式1 若不等式组 , 无解，则的取值范围是 .
变式2 若不等式组 只有4个整数解，则的取值范围是
变式3 若不等式组 ，无解，则的取值范围是 .
变式4 若不等式组 ，的解集是，则的取值范围是 .
变式5 不等式组 ，的解集是，则的取值范围是 .
变式6 不等式组 ，的解集是，则 .
疑难点3 方程组与一元一次不等式(组)的综合
1.已知，，且，求整数的值.
2.已知方程组的解满足为非正数，为负数.
(1)求的取值范围;
(2)化简:;
(3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为.
易错点1 混淆不等式的解与解集
下列说法正确的个数是( )
①是的解集;②不是的解;③的解集是;④中的任何一个数能使成立，因而是的解集.
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
易错点2 符号意义理解不清导致错误
给出下列不等式:①;②; ③;④.其中成立的是( )
A.②③ B.② C.①②④ D.②③④
错辨析:“”的含义是“>”或“=”，且二者不能同时成立.
易错点3 对非负整数的概念理解不清导致错误
(2018·苏州期末)写出不等式的所有非负整数解: .
易错辨析:非负整数包括零和正整数.
易错点4 忽略不等号的方向是否变化
若，则下列各式中，错误的是( )
A. B.
C. D.
易错辨析:在运用“不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变”这一性质时，关键是要注意乘的数是否是负数，如果是负数，不等号方向必须改变.这类题易出现的错误是运用此性质时，忽略了改变不等号的方向而导致选错答案
易错点5 解不等式常见错误
1.移项不变号
解不等式
2.去分母时，漏乘不含分母的项
解不等式
3.去分母时，忽视了分数线具有括号的作用
解不等式
4.去括号时，漏乘了括号内的项
.解不等式
易错点6 忽视字母在端点处的取值
若关于的一元一次不等式无解，则的取值范围是( )
A. B.
反馈练习
1.若，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
点拨:注意不等式两边同时乘或除以一个负数时不等号方向改变.
2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
点拨:分别解两个不等式，并将解集表示在数轴上，注意空心圆圈和实心圆点的使用.
3. 对于不等式组，下列说法正确的是( )
A.此不等式组无解
B.此不等式组有7个整数解
C.此不等式组的负整数解为
D.此不等式组的解集为
点拨:先解不等式组，根据解集判断即可.
4.不等式组的所有整数解是 .
点拨:先解不等式组，再根据解集分析出所有整数解.
5.满足不等式组的整数解为 .
点拨:先解不等式组，再根据解集分析出所有整数解.
探究与应用
探究1 确定不等式(组)中的参数取值范围
例1 若不等式组的解集为，求不等式的解集.
规律提示：确定不等式(组)中参数的取值范围的常用方法:(1)根据不等式(组)的解集确定;(2)分类讨论确定;(3)借助数轴确定.
举一反三
1.已知关于的方程组的解满足，求的取值范围.
2.若不等式组的解集是，求不等式的解集.
探究2 根据解集或整数解来确定系数的值或取值范围
例2 如果不等式组的整数解仅为，那么适合这个不等式组的整数的有序数对共有( )
A. 17对 B. 6 4对 C. 72对 D. 81对
规律提示：由已知不等式(组)的解集或整数解确定待定系数的值或取值范围，常用的方法是先求得含待定系数的不等式(组)的解集，再代入已给出的条件中，即可求出待定系数的值或取值范围.
举一反三
3.已知关于的不等式组只有四个整数解，则实数的取值范围是 .
4.已知不等式的正整数解为，求的取值范围.
探究3 求含有多个未知数的式子的最值
例3 已知是三个非负数，并且满足，，设，若为的最大值，为的最小值，求的值.
规律提示：要求含有多个未知数的式子的最值，把多个未知数转化为含一个未知数的式子，再由题目的约束条件求出这个未知数的取值范围，最后求出最值.
举一反三
5.已知均为非负数，且满足，求的最大值和最小值.
探究4 优惠方案的选择问题
例4甲、乙两商场以同样的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同.甲商场规定:凡购买超过1 000元的电器，超出的金额按90%实收;乙商场规定:凡购买超过500元的电器，超出的金额按95%实收.顾客怎样选择商场购买电器才能获得最大的优惠?
规律提示：寻找不等关系的方法:(1)利用事实不等关系，这里指的是不需要题设的表述就已经存在的不等关系.如生产用量供给量;(2)利用明确表达的不等关系，如常见的“不少于”“最多”“不超过”“最小”等;(3)利用题中隐藏的不等关系，如“哪一种方式更优惠”“如何安排运输的方案”等，其字里行间便隐藏着不等关系.
举一反三
6.某商场响应“家电下乡”的惠农政策，决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的数量是乙种电冰箱的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132000元.已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为1200元/台、1600元/台、2000元/台.
(1)至少购进乙种电冰箱多少台?
(2)若要求甲种电冰箱的数量不超过丙种电冰箱的数量，则有哪些购买方案?
探究5 不空不满类型问题
例5 学校为离家远的同学安排住宿，现有房间若干间.若每间住5人，则还有14人安排不下;若每间住7人，则最后一间房间里还余一些床位.学校可能有几间房间可以安排同学住宿?住宿的同学可能有多少人?
规律提示：放缩法，即将代数式的某些部分恰当地放大或缩小，从而得到相应的不等式，以达到解决问题的目的.放缩法的实质是构造不等式，通过缩小范围逼近求解，放缩法体现了化“相等”为“不等”，以“不等”求“相等”的策略和思想.
举一反三
7.将若干只鸡放入若干个笼子中，若每个笼子里放4只，则有一只鸡无笼可放;若每个笼子里放5只，则有一笼无鸡可放.问:至少有多少只鸡，多少个笼子?
一元一次不等式和一元一次不等式组题型归纳练习
一． 对一元一次不等式定义的理解
1.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、
2.下列式子①3x＝5；②a＞2；③3m－1≤4；④5x＋6y；⑤a＋2≠a－2；⑥－1＞2中，不等式有（ ）个
A、2 B、3 C、4 D、5
3.下列说法，错误的是（ ）
Ａ、的解集是 Ｂ、－１０是的解
Ｃ、的整数解有无数多个 Ｄ、的负整数解只有有限多个
4.下列不等关系中，正确的是（ ）
A、 a不是负数表示为a＞0； B、x不大于5可表示为x＞5
B、 x与1的和是非负数可表示为x＋1＞0；D、m与4的差是负数可表示为m－4＜0
二． 已知范围，求正确的结论
1.若a为有理数，则下列结论正确的是（ ）
A. a＞0 B. －a≤0 C. a2＞0 D. a2＋1＞0
2.下列四个命题中，正确的有（ ）
①若a＜b，则a＋1＜b＋1；②若a＜b，则a－1＜b－1；③若a＜b，则－2a＞－2b；④若a＜b，则2a＞2b.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.若a＞b，且c是有理数，则下列各式正确的是（ ）1.ac＞bc ②ac＜bc ③ac2＞bc2 ④ac2≥bc2 ⑤ ＞ A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.下列结论：①若a＞b，则ac2＞bc2；②若ac＞bc，则a＞b；③若a＞b，且c＝d，则ac＞bd；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中正确的有_________________
5.已知a＞b,c为任意实数，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A、a+c＜b+c B、a－c＞b－c C、ac＜bc D、ac＞bc
6.若则必为（ ）A、负整数 Ｂ、 正整数 Ｃ、负数 Ｄ、正数
7.若<<０，则下列答案中，正确的是（ ）Ａ、<Ｂ B、> Ｃ、< D、>
8.如果，那么下列结论不正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
9..已知０，则a,ab,ab2之间的大小关系是（ ）
A 、 Ｂ、Ｃ、 Ｄ、
10.下列说法中：①若a＞b，则a－b＞0；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac＞bc，则a＞b；④若ac2＞bc2，则a＞b.正确的有__________________
11.如果不等式ax＜b的解集是x＜，那么a的取值范围是（ ）
A、a≥0 B、a≤0 C、a＞0 D、a＜0
12.若0
三．根据绝对值性质解不等式
1.如果，则的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
2.已知2（1-x）<-3x，化简│x+2│-│-4-2x│.
3.若,则x的取值范围是_____________________
四、求整数解。
1.已知不等式5x－2＜6x＋1的最小正整数解是方程3x－ax＝6的解，求a的值.
2.已知关于x的不等式组只有四个整数解，则实数的取值范围是 __
3.关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是____________
4.已知关于x的不等式组有五个整数解，这五个整数是_______,a的取值范围是____________
5.已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是_____________
五、求参数范围
1若不等式组有解，则的取值范围是_____．
2.方程组的解为负数，求的范围__________
3.已知关于的不等式组无解，则的取值范围是_____________
4.已知关于的不等式组的整数解有５个，则的取值范围_________
5.关于的方程若其解是非正数，则的取值范围是____________
6.不等式组的解集是，则的取值范围是____________
7. 如果关于x的不等式（a＋1）x＞a＋1的解集为x＜1，那么a的取值范围是___________________
8.若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是.......
9.若不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
六、满足Ｘ，Ｙ的条件，求参数范围
1.为何值时，方程组的解满足均为正数？
2.如果不等式组的解集是x＞7，则n的取值范围是（ ）
3.关于的方程的解在2与10之间，则的取值范围是（ ）
4.若不等式组的解集为－1＜＜1，那么的值等于 。
5、已知中的x，y满足0＜y－x＜1，求k的取值范围．
七、根据三角形三边关系解不等式
1．三根木棍的长分别为，，，其中，，则应满足_____时，它们可以围成一个三角形．三角形三边长分别为4，a，7，则a的取值范围是 .
2.一个三角形的三边长分别为3、5、则的取值范围是 ；
3.已知三角形的两边，，则这个三角形的第三边的取值范围是（ ）
八、应用题
1.已知一个两位数的十位数字比个位数字小，若这个两位数大于而小于，求这个两位数？
2.乘某城市的一种出租车起价是１０元（即行驶路程在５Km以内都付10元车费），达到或超过5Km后，每增加1Km加价1.2元，（不足1部分按1Km计），现某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程是多少？
3.某城市一种出租汽车起步价是10元行驶路程在5km以内都需10元车费)，达到或超过5km后，每增加1km，1.2元(不足1km，加价1.2元；不足1km部分按1km计)。现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付17.2元，则从甲地到乙地路程大约是多少？
4.实验学校为初一寄宿学生安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
5.学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，并且还有一间房也不满。有多少间宿舍，多少女生
6.小记者团有48人要在某招待所住宿，招待所一楼没住客的客房比二楼少5间，如果全部住一楼，每间住5人，则住不满；每间住4人，则不够住，如果全部住在二楼，每间住4人，则住不满；每间住3人，则不够住。招待所一楼和二楼各有几间尚未住客的客房？
—元一次不等式 单元培优测试
一、选择题
1．x与y的和的一半是非负数，用不等式表示为 ( )
A．x＋y>0 B．(x＋y)>0
C．(x＋y)≤0 D．(x＋y)≥0
2．若m>n，则下列不等式中成立的是 ( )
A．m＋a
A．a>0 B．a>1
C．a<0 D．a<1
4．已知关于x的不等式2x－a<3的解集如图所示，则a的值等于 ( )
A．0 B．－1
C．1 D．2
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是 ( )
6．若a－b>a，a＋b
C．a＋b>0 D．a－b<0
7．在方程组中，若未知数x、y满足x＋y>0，则m的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )
8．如果不等式组的解集是x>－1，那么m的值是 ( )
A．1 B．3
C．－1 D．－3
9．若三个连续的自然数的和不大于12，则符合条件的自然数有 ( )
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
10．某市打市话的收费标准是：每次3 min以内(含3 min)收费0.2元，以后每分收费0.1元(不足1 min按1 min计)．某天小芳给同学打了一个6 min的市话，所用电话费为0.5元；小刚现准备给同学打市话6 min，他经过思考以后，决定先打3 min，挂断后再打3 min，这样只需电话费0.4元．如果你想给某同学打市话，准备通话10 min，则你所需要的电话费至少为( )
A．0.6元 B．0.7元
C．0.8元 D．0.9元
二、填空题
11．关于x的某个不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，
则原不等式组的解集是_______．
12．已知－a－3>－b－3，则4－3a_______4－3b．(填“>”
或“<”)
13．不等式x＋3>x的负整数解是_______．
14．若关于x的方程3x＋k＝4的解是正数，则k的取值范围是_______．
15．若不等式(a－1)x>a－1的解集是x<1，则a的取值范围是_______．
16．不等式组的解集是_______．
17．若不等式组的解集为－1
19．已知一个三角形的两边长为3和8，第三边长是3的倍数，则周长为_______．
20．已知不等式组的解集为－1< x<2，则(m＋n)2013＝_______．
三、解不等式(组)，并将解集在数轴上表示出来．
21．
22．
四、解答题
23．(8分)求不等式组的非负整数解．
24．(10分)阅读探究，
分别就x<－3，x＝－3，－3
(1)方程(x＋3)(x－2)＝0的解为_______；
(2)不等式(x＋3)(x－2)>0的解集为_______；
(3)不等式(x＋3)(x－2)≤0的解集为_______．
25．下表为某届奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．
(1)若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？
(2)若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张？
26．为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
(1)购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7 500元，但不超过7 650元，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
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